Oscillateur spatial avec frottements fluides

[invite1e5f0300]

Bonjour,

Voilà je suis en classe de MPSI (1ère année de prépa Scientifique).
Et je suis soumis ici à un petit exercice de mécanique newtonienne.


Ma difficulté réside dans la première question.
Je ne vois pas comment démontrer que le mouvement s'effectue dans un certain plan P.

J'ai effectué quelques petites recherches pour mieux cernes le problème et je suis d'abors tombé sur cette petite animation très claire :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...cillateur.html (une ellispe)
Seulement ici : pas de frottement!

Sur cette animation-ci, on a rajouté les frottements fluides mais je ne comprends rien à l'anim :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...Oscillat2.html



Remarque : l'exo s'inspire de la première partie du sujet : http://centrale-supelec.scei-concour...ujets/phys.pdf
La même question ayant été posé au concours ci-dessus mais pourtant il n'y avait pas de frottement.

Alors les frottements fluides ne modifiraient en rien la nature uni/bi/tri-dimensionnelle du mouvement ? (mouvement suivant un axe, sur un plan, ou dans l'espace)

En tout cas je ne vois pas comment le démontrer proprement.
Faut-il se servir du fait que F est une force centrale ?
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[zoup1]

Oui, c'est bien le fait que F soit une force centrale qu'il faut utiliser (en fait il suffit qu'elle soit radiale).

Le moment cinétique par rapport au centre de force est défini comme le produit vectoriel du vecteur position r par le vecteur quantité de mouvement p. Le moment cinétique est donc perpendiculaire à r et à p.
Dès lors, le mouvement à lieu dans le plan perpendiculaire au moment cinétique (au moins instantanément). Comme la force est centrale, elle ne modifie pas le moment cinétique et donc le mouvement reste dans le plan qui lui est perpendiculaire. L'ajout d'une force de frottement proportionnelle à la vitesse, va avoir pour effet de modifié l'amplitude du moment cinétique mais pas son orientation. Donc coup le mouvement à toujours lieu dans ce même plan perpendiculaire au moment cinétique.

Est-ce clair ?

[invite1e5f0300]

Oui très clair : vraiment!, merci beaucoup, vous avez répondu précisément à l'ensemble de mes interrogations en une seule fois!

Merci beaucoup!

[invite1e5f0300]

J'avais une question par rapport au 3. : la résolution de l'équa diff trouvée.
A la question 2., j'ai négligé le poids devant les autres forces (à l'échelle atomique) pour arriver à l'équa diff vectorielle :

d²vecteur(OM)/dt² + w0/Q * dvecteur(OM)/dt + w0² * vecteur(OM) = vecteur(nul)

où w0 et Q sont les variables réduites habituellement utilisées.

Je suis en coordonnées polaires dans le plan du mouvement (puisque le mouvement est plan), ainsi d²vecteur(OM)/dt² et dvecteur(OM)/dt se décomposent faisant intervenir du téta. Je ne vois pas comment résoudre une telle équation différentielle, en cours nous n'avons résolu que des équations pour un seul degré de liberté, jamais plus.

Merci beaucoup

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

NOte bien que l'on ne te demande pas de résoudre cette équation différentielle mais simplement de la mettre sous forme canonique..

[invite1e5f0300]

NOte bien que l'on ne te demande pas de résoudre cette équation différentielle mais simplement de la mettre sous forme canonique..

Après l'avoir mise sous forme canonique(ce que j'ai fait), il faut la résoudre (question suivante : 3.).

[zoup1]

Désolé , mais l'image du texte ne s'affichait plus entièrement chez moi (Je l'ai de nouveau)...
Il faut en effet réflichir à la façon d'intégrer cette équation différentielle. Sans doute en essayant de faire une séparation des variables...

[zoup1]

En fait la séparation des variables se fait tout simplement car il n'y a pas de couplage entre ce qui se passe suivant l'axe 0x et ce qui se passe suivant l'axe Oy.
En projetant ton équation canonique suivant ces 2 axes, tu obtiendras donc 2 équations différentielles indépendantes que tu pourras intégrer indépendamment.