Le poids d'un sablier

[invité576543]

Bonjour,

Un (autre) petit résumé de ce qui est discuté.

Le problème initial était celui d'une mouche dans un bocal, mais qui a été traité en détail, et de manière satisfaisante, dans des discussions antérieures.

A été posée ensuite la question du poids d'un sablier sur une balance, une variante du problème proposé, la variante venant du fait qu'une partie du sable est en chute libre. Le résultat proposé a été que le poids diminue entre le début de la chute du premier grain de sable et son arrivée, puis augmente lentement tant qu'il a du sable qui tombe, puis plus rapidement entre le début de la chute du dernier grain de sable et son arrivée, pour revenir au poids de départ. La formule exacte n'est pas claire, le mouvement de chute des grains dans le compartiment supérieur, ceux non encore passés en chute libre, n'étant pas clair.

Ensuite a été posé la question du sablier immergé dans un liquide de même masse volumique que le sablier. On suppose le sablier équilibré de manière à ce que centre de poussée soit toujours au-dessus du centre de masse, quelle que soit la position du sable.

La question est le mouvement vertical du sablier, et en particulier son état final, hauteur et vitesse.

Les aspects énergétiques semblent avoir été résolus, une énergie potentielle, égale à g fois la la masse du sable fois la hauteur de chute du sable mesurée dans le repère du sablier, est convertie en chaleur et/ou énergie cinétique du sablier et/ou de l'eau.

Ce qui se passe dans le compartiment supérieur posant un problème particulier, un cas particulier est analysé, le cas d'un seul grain, ou disons d'une bille qui tombe dans le sablier.

Le point qui achoppe depuis pas mal de messages est la valeur de la poussée d'Archimède quand le sablier se déplace et surtout quand il accélère. Les autres termes ne sont pas en
contention.

Le total des forces qu'exerce l'eau sur le sablier peut s'exprimer en toute généralité comme



La force qui est exercée par le sablier sur l'eau est, par le principe d'action et de réaction, exactement opposée.

L'aquilibre au départ donne , la symétrie du problème donne c₁ = 0.

Tout le monde est d'accord sur l'existence d'un terme proportionnel à la vitesse si la viscosité n'est pas nulle, terme qu'on renote avec c₂ = -k.

On obtient comme force, en renommant c₃



d'où,

(1)


La contention porte sur m' que mariposa affirme avoir démontrer qu'elle (la masse) est nulle, alors que je propose qu'elle soit positive non nulle, et de valeur dépendant de la forme du sablier.


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Arguments pour m' positif

a) La référence citée par Zoup

b) La nécessité d'une force non nulle accélérant l'eau dans le sens inverse du sablier quand la vitesse est nulle. Cela découle d'un simple raisonnement géométrique sur le mouvement du centre de masse de l'eau, montrant que la quantité de mouvement de l'eau est .


Cordialement,
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[deep_turtle]

Bonjour,

Ce fil provient de la discussion suivante :

http://forums.futura-sciences.com/thread54896-17.html

Suite à ce joli résumé de mmy, il semble souhaitable de repartir d'ici, dans un nouveau fil.

Pour la modération.

[GillesH38a]

Si la discussion porte sur la valeur de m', il me semble clairement que les éminents hydrodynamiciens cités par zoup montrent que m' = Me/2 dans le cas d'un fluide non visqueux. Il est impossible que m' = 0 dans le cas visqueux.
Tel que je vois les choses, le facteur 1/2 doit venir de la répartition de pression dans tout le fluide, et il est fort possible qu'il soit indépendant de la forme de l'objet. imaginons un volume d'eau fini entourant le sablier (la frontière étant fixe) On peut écrire pour le sablier (en négligeant la viscosité)

où les deux premiers termes sont le poids et la force d'Archimède hydrostatique, et est la force hydrodynamque rappelée par zoup, incorporable par une"masse ajoutée". Elle correspond à nécessité de mettre le fluide en mouvement accéléré, et est le résultat de l'intégrale de la parturbation de pression (par rapport à la pression hydrostatique) sur la surface du sablier.
Pour la masse d'eau dans le volume, on a
, ou la première force est par réaction l'opposé de la force hydro s'exerçant sur le sablier, et la deuxième la résultante des perturbations des forces de pression s'exerçant sur la frontière extérieure du volume (je ne mets pas le poids de l'eau et la pression hydrostatique qui s'équilibrent). Comme il y a un facteur 1/2 dans la force , il faut que apporte la deuxième moitié de la composante. Ca doit donc résulter d'un théorème général que l'écoulement accéléré conduit à une répartition de pression contribuant à deux moitiés égales, une sur la surface intérieure et une sur la surface extérieure (probablement la perturbation de pression tend vers 0 lorsque la surface extérieure augmente mais son intégrale tend vers une valeur finie).

[zoup1]

Merci d'avoir scindé la discussion.
Il me semble cependant qu'un point de scission interessant de la discussion aurait été séparer le cas fluide parfait du cas avec viscosité. En effet, la limite à viscosité nulle est une limite singulière en hydrodynamique. Le post, avec la référence, auquel fait référence mmy se place dans le cadre de le cadre des fluides sans viscosité qui ne peut s'appliquer dans le cas du sablier du fait
1) que l'écoulement est à faible nombre de Reynolds
2) La sablier n'est pas un objet profilé.

J'aimerais donc que l'on précise dans quel cadre on se place pour ce nouveau fil.
Est il souhaitable de se placer dans le cadre de sans viscosité ?

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Pour reprendre le post de mmy,

Le total des forces qu'exerce l'eau sur le sablier peut s'exprimer en toute généralité comme

Je ne suis pas bien sur que l'expression ci dessus reflète la totale généralité des forces qui peuvent s'exercer sur un objet en déplacement dans un liquide. Le terme en ne me semble pas être le seul terme dépendant de la vitesse. C'est ainsi que la force de trainée à bas nombre de Reynolds qui s'exerce sur un objet est plutot donné par la loi de Stockes qui donne une force proportionnelle au carré de la vitesse.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Merci d'avoir scindé la discussion
Il me semble cependant qu'un point de scission interessant de la discussion aurait été séparer le cas fluide parfait du cas avec viscosité. En effet, la limite à viscosité nulle est une limite singulière en hydrodynamique.

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Excellente remarque:
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J'ai expliqué plusieurs fois que pour tous les fluides même """"""""parfaits""""""""" on ne peut pas annuler la viscosité.
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La raison fondamentale c'est que la viscosité c'est fondamentalement le terme de couplage entre particules fluides. si on supprime ce terme de couplage il n'y a plus de mécanique des fluides.
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J'ai également expliqué que l'équation de Naviers-Stokes est une équation qui permet de déterminer le champ de vitesse, et rien d'autres. A haut nombre de Reynods le champ de vitesse est controlé par le terme d'advection. C'est pourquoi pour calculer ce champ on peut ignorer le terme de diffusion de la quantité de mouvement.
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A Nombre de Reynolds gigantesque nous sommes dans le régime de turbulence développée.On peut encore plus négliger le terme de diffusion pour la détermination du champ de vitesse.
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Néanmoins la cascade de tourbillon est pilotée par le terme de viscosité. En effet un tourbillon d'une échelle donnée est instable par le terme de cissaillement (la viscosité).
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en fait tous les post qui veulent annuler la viscosité assimilent la viscosité a la dissipation. ceci est faux.
La viscosité traduit l'échange de quantité de mouvement entre particules fluides et entre autres conséquences la dissipation.
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On peut vérifier que l'équation de diffusion de la quantité de mouvement et l'équation de diffusion de la chaleur c'est la même chose. 2 visages pour un même phénomène car en définitive tout est affaire de collisions entre paticules qui cherchent à ramener sans cesse le fluide à l'équilibre thermodynamique.
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L'hélium est le cas où la viscosité est nulle. Ce n'est pas un contre exemple car la dynamique de l'Hélium obéit aux lois de la MQ qui n(offre aucune solution de continuité avec la mécanique classique
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Si l'on continue a considerer que la viscosité est nulle même à nombre de reynolds élevé. je crains que ce fil va durer une éternité. en effet faire de la MF en supprimant le couplage entre particules de fluide est absurde (terme utilisé par courtoisie).
Cordialement,[/QUOTE]

[invité576543]

Je ne suis pas bien sur que l'expression ci dessus reflète la totale généralité des forces qui peuvent s'exercer sur un objet en déplacement dans un liquide. Le terme en ne me semble pas être le seul terme dépendant de la vitesse. C'est ainsi que la force de trainée à bas nombre de Reynolds qui s'exerce sur un objet est plutot donné par la loi de Stockes qui donne une force proportionnelle au carré de la vitesse.

Merci de la correction. Je tiens à souligner que cela ne change pas l'argument principal, qui est ce qui se passe à v=0.

Cordialement,

[GillesH38a]

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La raison fondamentale c'est que la viscosité c'est fondamentalement le terme de couplage entre particules fluides. si on supprime ce terme de couplage il n'y a plus de mécanique des fluides.

Je suis un peu surpris de ce que tu dis quand même. On peut définir un fluide parfait comme un fluide dans lequel le tenseur de pression est scalaire, il obeit mathématiquement à l'équation d'Euler et il y a bien un couplage hydrodynamique entre les particules fluides via le gradient de pression. Même si c'est une idealisation, comme les transformations réversibles , on peut quand même étudier mathématiquement les solutions, comme dans le paradoxe de d'Alembert !

[invité576543]

en fait tous les post qui veulent annuler la viscosité assimilent la viscosité a la dissipation. ceci est faux.
La viscosité traduit l'échange de quantité de mouvement entre particules fluides et entre autres conséquences la dissipation.

(...)

Si l'on continue a considerer que la viscosité est nulle même à nombre de reynolds élevé. je crains que ce fil va durer une éternité. en effet faire de la MF en supprimant le couplage entre particules de fluide est absurde (terme utilisé par courtoisie).
Cordialement,

[/QUOTE]

Si tu lisais avec attention, il a été dit plusieurs fois que ce n'était pas le fond du problème. Il suffit de prendre v=0 dans tes équations pour réaliser que, de par le couplage entre l'accélération du sablier et celui de l'eau, la seule solution est v=0.

Il manque dans ton équation un terme pour faire bouger l'eau à v=0, et si l'eau ne bouge pas, le sablier ne bouge pas. Fin de l'intégration de ton équation.

Le point n'est pas vraiment visqueux ou non. Dire que l'effet de l'eau se limite à un terme constant plus des termes s'annullant avec v n'est pas une conclusion que tu peux tirer des fondements de la MF. C'est dans ce passage entre les deux que ton argumentation n'est pas suffisamment étayée.

Tu as dit toi-même que le terme d'accélération est négligé. Mais, lis le poste de Gilles, la moitié de la masse est un peu difficile à accepter comme "négligeable".

Cordialement,

[invite6b1a864b]

Moi j'ai pas tout compris à votre probléme de viscosité, mais en tout cas, une chose est sur : il faut fournir de l'énergie pour déplacer une masse de liquide. Il y a donc toujours une force à fournir pour l'accélérer le temps du mouvement. Même une fluide qui ne s'échaufferais pas nécessite au moins un travail pour être déplacer.
J'espère que j'ai bien compris ce que Mariposa veut dire concernant l'inexistance de viscosité nulle même pour les fluides parfait..

[invite6b1a864b]

J'essaye de comprendre vos points de vue.
Deux éléments fluides se maintiennent à distance par la répulsion des atomes qui le constitue.
L'interaction nécessite bien un mouvement. Si il n'y pas d'échauffement, cela signifie que l'énergie totale du mouvement globale des élements fluides correspond uniquement à leur déplacement : les éléments sont tous interchangeable : il ne s'agit pas d'une simple queleuleu à pousser, parce que, par exemple, le mouvement du fluide qui contourne le sablier est compensé par l'ajout de leur poid sur les cotés. Bref, dans le liquide, les éléments sont réélement interchangeable, et le bilan finale du déplacement d'un sablier, correspond bien au seul changement d'état des molécules d'eau entre avant et aprés. D'ailleurs, à priori si je ne m'abuse, dans un fluide sans dissipation de chaleur, tout vitesse donné à un objet doit bien continuer éternellement (bien sur il faudrait un objet superhydrodynamique pour qu'aucune dissipation de chaleur n'est lieu entre les surfaces lors du déplacement, précisément il faudrait que les molécules d'eau ne rebondissent pas sur le sablier). Donc outre le travail fournit pour déplacer le sablier, et en l'absence de dissipation (eau/eau et sablier/eau), seul le travail pour déplacer l'eau, uniquement de l'endroit ou il en avait vers là ou il n'y en avait pas, est nécessaire.
D'ailleurs ça serait trés clair, si au lieu d'un sablier, on avait un dispositif qui déplace l'eau sans frais (seul moyen d'éviter les frottements).

[mariposa]

Bonjour,
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Le total des forces qu'exerce l'eau sur le sablier peut s'exprimer en toute généralité comme
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..Cordialement,

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Bonjour mmy
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J'avoue ne pas comprendre ta formule. Je te suggère la mienne afin que l'on puisse faire des comparaisons.
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La force qui s'exerce sur le corps s'écrit.
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...Integr sur la surface du corps de f.dS (produit scalaire).
.
La force f s'écrit:
.
...-P.n + Eta.[e].n où:
.
...n est la normale à la surface.
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...P est la pression qui est un scalaire.
.
..[e] est le tenseur de déformation de rang 2 completement symétrique. celui vaut:
.
...e(i,j) = dv(i)/dx(j).
.
Donc pour calculer La force "exate" qui s'exerce sur un solide il faut calculer le champ de vitesse, puisd en déduire le champ da gradient de vitesse sur le contour du solide.
. on note que si on fait Eta = 0 la force qui s'exerce sur le solide est la pression hydrostatique.
.
On peut donc conclure que les effets de retroaction du liquide sur le solide par la mise en mouvement du solide s'exprime par la médiation du coefficient de viscosité.
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..je me suis contenter d'appliquer les principes de MF (voir n'importequel livre) et je ne vois pas comment déduire ta formule que tu dis générale. elle n'est pas du tout générale et me semble fausse pour les raisons que j'ai maintes fois évoquées.
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Très cordialement

[invité576543]

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elle n'est pas du tout générale et me semble fausse pour les raisons que j'ai maintes fois évoquées.

Cette formule contient comme sous-cas la formule que tu as proposée comme la "solution finale" dans un poste ancien. Si elle est fausse, expliques sur quel point où tu as changé d'avis.

Sinon, Zoup demande d'ajouter un terme. Il vient



Soit en prenant en compte la situation initiale et en renommant certains coefficients

(1)

Cordialement,

[mariposa]

Je suis un peu surpris de ce que tu dis quand même. On peut définir un fluide parfait comme un fluide dans lequel le tenseur de pression est scalaire, il obeit mathématiquement à l'équation d'Euler et il y a bien un couplage hydrodynamique entre les particules fluides via le gradient de pression. Même si c'est une idealisation, comme les transformations réversibles , on peut quand même étudier mathématiquement les solutions, comme dans le paradoxe de d'Alembert !

.
Je suis content que tu sois surpris, puisque cela suscite la réflexion.
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Tout ce que tu as dit est correcte mais il y a des choses cachées sous le tapis.
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Si je m'intéresse à un fluide réel (les seuls qui existent) à très grand nombre de Reynolds nous sommes dans un cas de turbulence développée (c'est le chaos apparent).
La description de la turbulence est cachée dans l'équation d'Euler parceque le champ de vitesse est déterminé par 2 facteurs:
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Le terme diffusif et le terme d'advection et c'est l'advection qui l'importe.
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Hélas l'équation d'Euler est fortement non linéaire ce qui implique une multitude de solutions. Il ne faut pas perdre de vue qu'une équation non linéaire aux dérivées partielles est équivalent à un jeu infini d'équations différentielles ordinaires non linéaires. le fait que l'on impose une contrainte de conservation de l'énergie (par exemple) n'a que peu d'influence.
.
Une solution (a un moment donné) est sélectionnée par le terme de diffusion (mécanisme de cisaillement). Le principe de sélection se traduit par le faite que un tourbillon donné est rapidement instable et doit bifurquer vers une multitude de tourbillons plus petits qui eux mêmes sont instables etc...
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..Donc schématiquement l'équations D'Euler contient une multitude de solution dont "une" est choisi par le terme de diffusion.(ne pas perdre de vue qu'il y a, non pas 1 mais des tourbillons de toutes tailles).
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Il y a donc une dialectique subtile entre le role du terme advection et du terme de diffusion de la quantité de mouvement. Il est donc impossible d'ignorer le role du terme diffusif et donc de le déclarer nul.
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David Ruelle n'était pas content de la proposition de Landau pour expliquer la turbulence développée, mais la théorie de l'attracteur étrange ne résoud pas le problème. Ce qui ne va pas dans la théorie de landau (à mon avis) c'est que les bifurcations se font sur des objets qui ne possèdent la symétrie de translation ce qui interdit (ou rend incompréhensible) une analyse en termes de pertes de stabilité par décomposition de Fourier).
.
..Pour bien comprendre ce que je dis il faut bien étudier par soi-même (par exemple) l'apparation des cellules de convection Raley-Bénard et leurs modes de sèlection.
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Cordialement

[invité576543]

mais il y a des choses cachées sous le tapis. (...)

Ce que tu dis là est intéressant, mais n'est pas nécessairement le sujet. On peut imaginer des cas où les turbulences n'ont pas un rôle important, du moins en première hypothèse.

Par exemple on peut mettre le sablier dans un tube vertical de section à peine plus grande que le sablier, et connecter le haut de l'eau avec le bas via un tuyau tel que le flux reste laminaire dans tout le volume de l'eau.

Ces expériences de la pensée sont intéressantes pour tester des propriétés présentées comme universelles.

Selon ma compréhension, cela montre un effet d'inertie que tu sembles ne pas accepter.

Une fois de plus, je n'ai pas d'objections contre ton approche, mais sur la conclusion, conclusion qui est atteinte avec un trou important dans la démonstration.

Par ailleurs, le fait que tu ais répondu "NON" à l'existence d'une quantité de mouvement de l'eau et/ou à la formule proposée, est très surprenant. D'un côté tu évoques une grande théorie, les cellules de Bénard, etc. et de l'autre tu opposes sans justification un calcul vérifiable par un lycéen (du moins sur des cas simples).

Si tu acceptais de descendre des hautes sphères de la Mécanique des Fluides avec turbulences pour regarder la simple distribution de la quantité de mouvement, et de se mettre d'accord sur ce qu'elle est, la discussion progresserait mieux.

Cordialement,

[mariposa]

Cette formule contient comme sous-cas la formule que tu as proposée comme la "solution finale" dans un poste ancien. Si elle est fausse, expliques sur quel point où tu as changé d'avis.

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1- Quand je suis rentré dans le fil (essentieelement avec ton aide) , j'ai mis 2H a comprendre le problème.
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2- Penser l'équation d'évolution m'as pris 10s.
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3- Ecrire l'équation sur le post el la signification des grandeurs environ 3mn.
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4- Résoudre l'évolution de la quantité de mouvement et de l'energie dans chaque partie du système (il y en 4 et non pas 3) m'a pris entre 2 et 3H) en régime stationnaire et dans l'approximation quasi-hydrostatique (écoulement lents).
.
5- L'équation que j'ai proposée tiend compte complètement du mouvement du fluide sous la forme du facteur k (qui dépend du coefficient de viscosité et d'un facteur de forme qui prend en compte la géométrie de l'écoulemen). Si tu remplace le sablier par ton bol il faut changer le facteur k qui sera beaucoup plus petit.
.
6- C'est toi qui a commencer a vouloir comprendre ce qui se passe vraiment dans le fluide. C'est pourquoi j'ai pris la peine d'écrire les équations fondamentales dans mon post précédent. Pour la discussion commune j'ai pris les notations du livre de Guyon que beaucoup possèdent. En espérant ainsi incoporer d'autres intervenants que nous deux.
.
7- Si tu appliques ces équations à notre cas tu trouveras automatiquement mon équation désormais bien connue.
.
8- J'avais suggéré que tout le monde regarde le cas de la sphère ( et non d'un sablier) qui est traitée dans tous les livres. on trouve mon équation où la constante k vaut:
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...6.pi.R.Eta
.
9 - Bien entendu je te laisse l'entière responsabilité de mettre en cause cette démonstration qui je crois devrait faire autorité.
.
cordialement;

[invité576543]

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9 - Bien entendu je te laisse l'entière responsabilité de mettre en cause cette démonstration qui je crois devrait faire autorité.
.
cordialement;

S'il te plaît, daignes m'expliquer juste la quantité de mouvement de l'eau. Je ne veux rien remettre en cause. Je voudrais juste humblement comprendre, en particulier les aspects les plus triviaux, énergie et quantité de mouvement.

La formule que tu as donnée, avec le facteur k, n'est que celle du sablier. Donner l'équation d'évolution de la quantité de mouvement de l'eau (juste le résultat de l'intégrale, pas le champ!) devrait te prendre 10 secondes. L'écrire 3 minutes. Ce n'est pas beaucoup demander, non?

Cordialement,

[mariposa]

S'il te plaît, daignes m'expliquer juste la quantité de mouvement de l'eau. Je ne veux rien remettre en cause. Je voudrais juste humblement comprendre, en particulier les aspects les plus triviaux, énergie et quantité de mouvement.
La formule que tu as donnée, avec le facteur k, n'est que celle du sablier. Donner l'équation d'évolution de la quantité de mouvement de l'eau (juste le résultat de l'intégrale, pas le champ!) devrait te prendre 10 secondes. L'écrire 3 minutes. Ce n'est pas beaucoup demander, non?
Cordialement,

J'ai déjà répondu à ta question dans un post précédent. Je fais donc un copié collé que je prolonge par un comme taire:
.
La quantité de mouvement dans le liquide s'écrit:
.
P (t) = Intégrale sur tout le volume du liquide du produit:
.
...rho.v(r,t).d3r
.
v(r,t) represente le champ de vitesse dans le liquide
.
A t= 0 P(t) = 0
.
Pour un débit de sable constant Im = Dm/dt l'expression asymptotique (après le régime transitoire s'écrit):
.
...P(t) = m.g. t - Ps
.
En effet la source de quantité de mouvement est en régime permanent est:
.
...P°(t) = m.g.t
.
Le sablier a acquis pendant le régime transitoire la quantité de mouvement:
.
..Ps = (M°-m).Vs.
.
Ce qui signifie que l'intégralité de la quantité de mouvement de la source est transférée au le liquide.
.
Attention: ceci est valable tant que la diffusion de la quantité de mouvement ne touche pas les parois qui sont en contact avec le sol.
.
A ce moment là la quantité de mouvement est diffusée vers le sol. la quantité de mouvement dans le liquide tend vers une valeur stationnaire Ps. Tout nouvel apport de quantité de mouvement est encaissée par la Terre.
.
Quand la réserve de sable est épuisée le sablier se débarasse de sa quantité ce mouvement en faveur du liquide et tend vers le repos. Le liquide se débarasse à son tour de sa quantité de mouvement au profit de la Terre. La Terre quant à elle garde la quantité de mouvement (puisqu'elle ne peut pas s'en débarasser.
.
Au bilan on a:
.
La quantité de mouvement de l'ensemble:
.
sable + sablier + eau + Terre est restée en permanence conservée à tous les instants.
.
On peut traduire ceci en disant que le centre de gravité de l'ensemble n'a pas bougé.
.
Dans ton raisonnement du calcul de la quantité de mouvement l'erreur que tu fais est de considérer que tout les particules fluides on la même vitesse, ce qui fait que ton centre de gravité est mal situé. Pour t'en rendre compte est de considérer que ton bocal est infini (par exemple horizontalement).
.
Ton calcul vient du fait que tu veux a tout pris que l'inertie de l'eau dont tu parles soit pris en compte sous la forme que tu préconises.
.
Ton idée de l'inertie de l'eau dont tu parles est physiquement juste. Tu as 100% raison et même plus. Là où sa pèche c'est la traduction mathématique.
.
Pour chercher a comprendre tu as eu cette excellente idée du bol. Tu ressents dans ce cas que tout se passe comme si l'eau était "contenu" dans le bol d'où la ,nécessité dans ta façon de penser d'ajouter un terme supplémentaire. Cette idée est très juste, ce qui ne va pas c'est sa traduction mathématique.(J'ai même poussé ta logique au cas ou l'eau est quasi emprisonnée).
.
En fait que soit une sphère, un sablier cylindrique ou un bol l'inertie de l'eau sera toujors pris en compte par un facteur k qui sera d'autant plus important que l'écoulement est difficile).
.
Dans le cas de la sphère on peut calculer le facteur "facilement". Dans les autres cas il faur recourir à l'ordinateur ou à l'experience (méthode conseillée).
.
Rappel: les solutions que j'ai donné se font dans le cas de l'approximation des écoulements quasi-statiques. Implicitement je suppose que l'excursion de vitesse est faible de sorte que la linéarité de F = -k.v soit conservée.
.
Cordialement

[pmdec]

Bon, je suis finalement « passé devant un PC » et je vois que la question a pas mal évolué … mais a peut-être perdu son but (décrire le mouvement du sablier) pour se perdre dans … des tourbillons ?

Une chose est sûre dans cette histoire de sablier, ainsi que cela a été très tôt rappelé dans « l’ancien fil », d’abord sans considérer l’eau, puis en la prenant en compte : le centre de gravité de l’ensemble Terre + aquarium vide + eau contenue dans l’aquarium + sablier vide + sable aura la même position au début (avant la chute du sable dans le sablier) et à la fin.
L’aquarium étant supposé fixe par rapport à la Terre, on peut se placer dans le repère de l’aquarium pour étudier la position du centre de gravité.
Si l’on suppose une masse nulle pour le sablier et l’air qu’il contient, il ne reste que l’eau et le sable.

Je prends un axe des z dirigé vers le haut et ayant pour origine le fond de l’aquarium.

On met en place un cylindre imaginaire ayant pour diamètre la section maximale du sablier. A l’évidence, le centre de gravité de la masse d’eau située à l’extérieur de ce cylindre sera au même endroit au début et à la fin, quels que soient les éventuelles quantité de mouvement qui l’auront affectée pendant la manip. On peut donc considérer seulement ce cylindre pour l’étude du déplacement des centres de gravité de l’eau et du sable pour l’état initial et final.

Supposons le sablier cylindrique, de hauteur H et de diamètre D (de masse nulle), contenant une masse M de sable qui peut chuter d’une hauteur h et occupe dans le sablier un volume cylindrique tel que sa hauteur est q.
Soit A la hauteur de la colonne d’eau (masse volumique 1g/cm3) et a la hauteur de la colonne d’eau sous le sablier avant la chute du sable.
S = pi.D²/4
Au début :
Z du centre de gravité du cylindre d’eau de masse a.S sous le sablier : a/2
Z du centre de gravité du sable de masse M : a + h + q/2
Z du centre de gravité du cylindre d’eau de masse (A-H-a).S au-dessus du sablier : a + H + (A-H-a)/2
Le centre de gravité de l’eau est situé en [(a.S) .(a/2)+(A-H-a).S.(a+H+(A-H-a)/2)]/((A-H).S) = (A+H)/2 – aH/(A-H)

Soit a’ la nouvelle valeur de a une fois le système revenu au repos après la fin de l’écoulement (cad que le sablier s’est déplacé de a-a’). On a :
Z du centre de gravité du cylindre d’eau de masse a’.S sous le sablier : a’/2
Z du centre de gravité du sable de masse M : a’ + q/2
Z du centre de gravité du cylindre d’eau de masse (A-H-a’).S au-dessus du sablier : a’ + H + (A-H-a’)/2
Le centre de gravité de l’eau est situé en (A+H)/2 – a’H/(A-H). Il s’est déplacé de (a’-a)H/(A-H).
Le centre de gravité du sable s’est déplacé de a’-a-h

De deux choses l’une : soit le centre de gravité du sable s’est déplacé, soit il est à sa place de départ.
Dans ce deuxième cas, a’-a-h = 0, soit a’=a+h (le sablier a dû « monter » de h, car le sable est « au fond. Donc le centre de gravité de l’eau s’est déplacé de hH/(A-H), qui est non nul : l’immobilité du centre de gravité de l’ensemble n’est pas respectée … et Newton est noyé !
Donc le centre de gravité du sable de masse M se déplace. Soit z cette distance. Pour ne pas noyer Newton dans l’aquarium, il faut qu’une masse d’eau m se déplace dans l’autre sens de telle façon que M(a’-a-h)=-m((a’-a)H/(A-H) ou encore M(z-h)=-mzH/(A-H).
Mz – Mh =-mzH/A + mz
z(M + mH/A – m) = Mh
d’où z = Mh/( M + mH/A – m)

Mais l’eau ne se déplace pas n’importe comment : pour déplacer une masse m, il faut déplacer le sablier de m/1000D (masse volumique de l’eau supposée = 1g/cm3).

Donc m = 1000Dz

z = Mh/( M + 1000DzH/A – 1000Dz)

zM + z²(1000DH/A) – 1000Dz² = Mh

1000D(1 + H/A)z² - Mz+ Mh = 0

Il y a sûrement des erreurs, car c’est écrit au fil du texte (avec un schéma que je n’ai pas le temps de reproduire) et que je suis « surpris » de trouver le terme H/A.

Mais il me semble que tout ce baratin permet de dire qu’il y a une position fixe à la fin, pas trop difficile à calculer si delta est positif. Reste à faire en sorte que les calculs plus savants de déplacements arrivent environ au même endroit (à la viscosité près …)

A+

PS pour mariposa : à quand le calcul de l'exemple numérique demandé (niveau bac ...) ???

[invité576543]

J'ai déjà répondu à ta question dans un post précédent. Je fais donc un copié collé que je prolonge par un commentaire:

Je l'avais lu en détail, et maintenant comme dans le temps, ça ne répond pas à la question. Mais pmdec cherche à faire le calcul... Avec un peu de chance, tu seras d'accord avec le résultat de pmdec...

En fait que soit une sphère, un sablier cylindrique ou un bol l'inertie de l'eau sera toujors pris en compte par un facteur k qui sera d'autant plus important que l'écoulement est difficile).

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Ca ne te pose vraiment pas de problème un terme nul pour décrire une inertie non nulle? (Le terme -kv est nul à t=0.) Et comment expliquer une inertie qui change avec la vitesse? Connais-tu d'autres cas en physique d'un tel phénomène, en dehors des hautes vitesses en relativité restreinte?

Cordialement,

[invité576543]

Z du centre de gravité du cylindre d’eau de masse a.S sous le sablier : a/2
Z du centre de gravité du sable de masse M : a + h + q/2
Z du centre de gravité du cylindre d’eau de masse (A-H-a).S au-dessus du sablier : a + H + (A-H-a)/2
Le centre de gravité de l’eau est situé en [(a.S) .(a/2)+(A-H-a).S.(a+H+(A-H-a)/2)]/((A-H).S) = (A+H)/2 – aH/(A-H)

Donc la hauteur du sablier est

a = (A+H)/2 – aH/(A-H)

La dérivée vaut

-H/(A-H) da/dt

En multipliant par la masse de l'eau (A-H)S rho, et en remplaçant la notation a par x, on trouve la quantité de mouvement

q = -HS rho dx/dt = -V rho dx/dt

avec V le volume du sablier.

Il y a sûrement des erreurs, car c’est écrit au fil du texte (avec un schéma que je n’ai pas le temps de reproduire) et que je suis « surpris » de trouver le terme H/A.

Ca me surprend aussi. Mais le calcul de la hauteur de centre de gravité de l'eau et de sa quantité de mouvement est suffisant pour la suite des raisonnements.

Si tout le monde est d'accord sur le résultat, il reste à fournir une équation donnant les forces d'exerçant sur l'eau, c'est à dire son poids, la force opposée à celle de l'eau sur le sablier, et la force exercée par la paroi du récipient sur l'eau. C'est cette somme qu'il me semble utile que Mariposa propose dans le cadre de son approche. Il ne manque qu'un seul terme, le dernier.

Cordialement,

[mariposa]

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Ca ne te pose vraiment pas de problème un terme nul pour décrire une inertie non nulle? (Le terme -kv est nul à t=0.) Et comment expliquer une inertie qui change avec la vitesse? Connais-tu d'autres cas en physique d'un tel phénomène, en dehors des hautes vitesses en relativité restreinte?
Cordialement,

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J'ai écrit au moins 73 fois dans ces post que tenu compte de la vitesse lente et de l'accélération lente du sablier je me plaçais dans l'approximation quasi-statique. comme je vois que tu comprends pas bien ce que cela veut dire, j'ai cru bon de citer une phrase du cours de polytechnique qui manifestement ne t'as pas provoqué de déclic.
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Je vais préparer a ton attention une explication sur ce qu'est l'approximation adiabatique sur un fil séparé (je ferais ça demain sur un problème d'électricité pour que soit simple et propre).
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Bien entendu si l'accélération du corps solide était très forte l'équation que je propose ne serait pas valable. si tu veux discuter de ce problème il faut prendre un autre système physique. La démarche que je fais est de faire des modèles appropriés au système physique(c'était mon métier, je suis en retraite).
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Si tu veux que j'abandonne l'approximation adiabatique il faut changer de système physique. peut-être un sous- marin nucléaire qui accélerait à la vitesse d'une voiture.
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Je dois m'en aller et faire 300 km. Donc bonsoir et à demain, si tu le veux bien.

[invité576543]

Je vais préparer a ton attention une explication sur ce qu'est l'approximation adiabatique sur un fil séparé (je ferais ça demain sur un problème d'électricité pour que soit simple et propre).

C'est gentil (?), mais je n'en ressent pas le besoin. Je préfèrerais de loin l'équation d'évolution de la quantité de mouvement totale de l'eau.

Et ce, même avec des coefficients à déterminer, même avec des approximations. Si celle du sablier peut s'exprimer en quelques termes simples fonction de x et de ses dérivées, et se défendre péremptoirement, je ne vois pas de raison que quelque chose du même genre ne puisse pas être présentée pour la qm de l'eau...

Bien entendu si l'accélération du corps solide était très forte l'équation que je propose ne serait pas valable. si tu veux discuter de ce problème il faut prendre un autre système physique. La démarche que je fais est de faire des modèles appropriés au système physique(c'était mon métier, je suis en retraite)

Je comprends cela fort bien, tu ne perçois pas mon point de vue si tu ne le réalises pas.

Ne t'en déplaise, je pense très bien comprendre ton point de vue. Mon problème semble en dehors de ton champ de vision. Par exemple, dans la phase initiale, les premières millisecondes si tu veux, l'accélération non nulle ne peut pas être négligée devant la vitesse nulle. J'aime comprendre ce qui est négligeable ou non, plutôt que ce soit décidé a priori.

Cela ne veut pas dire que ton approche n'est pas correcte. Elle répond peut-être au problème, ou à une partie du problème posé par CE système physique. Mais elle ne répond pas aux questions que je me pose sur ce même système.

Réalises aussi que l'absence de réponse directe à des questions simples, posées par d'autres ou moi, et des réponses comme le NON à la position du cdm et la qm de l'eau, ne sont pas vraiment satisfaisant.

Cordialement,

[mariposa]

C'est gentil (?), mais je n'en ressent pas le besoin. Je préfèrerais de loin l'équation d'évolution de la quantité de mouvement totale de l'eau.

Et ce, même avec des coefficients à déterminer, même avec des approximations. Si celle du sablier peut s'exprimer en quelques termes simples fonction de x et de ses dérivées, et se défendre péremptoirement, je ne vois pas de raison que quelque chose du même genre ne puisse pas être présentée pour la qm de l'eau...



Je comprends cela fort bien, tu ne perçois pas mon point de vue si tu ne le réalises pas.

Ne t'en déplaise, je pense très bien comprendre ton point de vue. Mon problème semble en dehors de ton champ de vision. Par exemple, dans la phase initiale, les premières millisecondes si tu veux, l'accélération non nulle ne peut pas être négligée devant la vitesse nulle. J'aime comprendre ce qui est négligeable ou non, plutôt que ce soit décidé a priori.

Cela ne veut pas dire que ton approche n'est pas correcte. Elle répond peut-être au problème, ou à une partie du problème posé par CE système physique. Mais elle ne répond pas aux questions que je me pose sur ce même système.

Réalises aussi que l'absence de réponse directe à des questions simples, posées par d'autres ou moi, et des réponses comme le NON à la position du cdm et la qm de l'eau, ne sont pas vraiment satisfaisant.

Cordialement,

Bonjour mmy.

Au point ou nous en sommes, je pense qu'il est temps de discuter la résolution excate (ou la force motrice dépend du temps ce qui veut dire que sablier et le liquide possédent des accélérations cad des termes d'inertie) du problème tel que on le résoudrait avec un ordinateur. Avec bien sur une discussion suivie toute particulière de l'inertie de l'eau que tu penses que je ne l'ai pas pris en compte.
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Je propose que l'on fasse ça en 4 étapes:
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1- Ecriture des équations d'évolutions.

Ecriture complète de l'equation d'évolution d'un solide plongé dans un liquide Newtonien. Le solide étant soumis à une force extérieure F(t).
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Ecriture de l'équation d'évolution du fluide (Equation de NS).
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Ecriture des conditions aux limites spatiales et temporelles.
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2- Algoritme de résolution du problème couplé solide-liquide.
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avec une attention toute particulière des termes d'inertie.
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3- Etude de l'approximation adiabatique sur un cas simple.
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Je propose l'étude du circuit RC série sous l'influence d'une tension F(t) variable. Ce problème est complétement soluble. il est donc facile de comparer la solution excate et la solution dans l'approximation adiabatique.
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On verra que selon cette méthode on peut dans un problème mécanique a) négliger le terme d'inertie pour la résolution de l'équation. b) calculer le terme d'inertie à partir de la solution trouvée. c) Vérifier après coup que cette approximation adiabatique est valable en comparant le terme d'inertie avec les autres termes de l'équation.
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3- Application de l'approximation adiabatique à notre cas.
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On appliquera l 'approximation adiabatique à notre problème dans le cas ou le terme d'advection est négligeable. On exprimera complètement le terme d'inertie de l'eau.
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On pourra discuter après coup l'effet de l'advection et on montrera que la force de rétro-action doit être modifiée de sorte que le terme linéaire doit une fonction de la vitesse non linéaire et généralisera le mécanisme d'Ossen décit dans le livre de Guyon (précedemment évoqué).
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L'ensemble est très lourd et je n'ai pas envie de bazarder tout çà d'un coup. Comme il s'agit de discuter à fond de tout les problèmes avec la rigueur qu'exige la physique je propose que l'on procède par étapes.
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Comme c'est l'occasion de repartir à zéro j'aimerais avoir l'accord de tous ceux qui ont participé récemment afin que la discussion soit fructueuse. Dans l'ordre je pense à mmy, pmdec, zoup1, gilles38. L'idée serait de passer à l'étape suivante quand tout le monde est d'accord. On rappelle que le point de divergence etant la prise en compte de l'inertie, ce point doit être toujours le centre de la discussion

[pmdec]

.../... Donc le centre de gravité du sable de masse M se déplace. Soit z cette distance. Pour ne pas noyer Newton dans l’aquarium, il faut qu’une masse d’eau m se déplace dans l’autre sens de telle façon que M(a’-a-h)=-m((a’-a)H/(A-H) ou encore M(z-h)=-mzH/(A-H).
Mz – Mh =-mzH/A + mz
z(M + mH/A – m) = Mh
d’où z = Mh/( M + mH/A – m)

Mais l’eau ne se déplace pas n’importe comment : pour déplacer une masse m, il faut déplacer le sablier de m/1000D (masse volumique de l’eau supposée = 1g/cm3).

Donc m = 1000Dz

z = Mh/( M + 1000DzH/A – 1000Dz)

zM + z²(1000DH/A) – 1000Dz² = Mh

1000D(1 + H/A)z² - Mz+ Mh = 0

Il y a sûrement des erreurs, car c’est écrit au fil du texte (avec un schéma que je n’ai pas le temps de reproduire) et que je suis « surpris » de trouver le terme H/A.

Mais il me semble que tout ce baratin permet de dire qu’il y a une position fixe à la fin, pas trop difficile à calculer si delta est positif. Reste à faire en sorte que les calculs plus savants de déplacements arrivent environ au même endroit (à la viscosité près …)

A+

PS pour mariposa : à quand le calcul de l'exemple numérique demandé (niveau bac ...) ???

Bon … Dans mon post #18, j’ai oublié la masse volumique de l’eau dans les calculs de masse de l’eau, mais ça ne change rien aux premiers « résultats ». Par contre, tous les calculs sont faux à partir de « Donc le centre de garvité du sable de masse M se déplace ». Il faut donc remplacer ce qui est cité ci-dessus par :

Donc le centre de gravité du sable de masse M se déplace, et le centre de gravité de l’eau se déplace en sens contraire pour que le centre de gravité « global » ne bouge pas. Pour que le centre de gravité de l’eau se déplace, il faut que le sablier bouge.
Soit z ce déplacement, qui vaut a’-a.
On a donc, d’après les formules donnant l’emplacement des centres de gravité du sable et de l’eau :
Déplacement du centre de gravité du sable : z-h, soit la distance h-z vers le bas.
Déplacement du centre de gravité de l’eau : zH/(A-H) (positive, vers le haut).
Masse du sable : M. Masse de l’eau : m = 1000S(A-H) si on prend 1g/cm3.

Pour que le centre de gravité de l’ensemble reste immobile, il faut que :
M(h-z) = mzH/(A-H) = 1000SHz

soit z = Mh/(1000SH+M)

Ce résultat semble beaucoup plus « homogène » que le précédent ! Il est intéressant de noter (si mes calculs sont justes !) qu’au dénominateur 1000SH est la masse du volume de liquide qui sert à « compenser » M et donc qu’introduire l’équilibre indifférent (ce qui n’a pas été fait jusqu’à maintenant, équivaut à M = 1000SH !

Donc, si l’équilibre est indifférent, z = h/2 (j’y crouapa !!!)

[invité576543]

Bonjour,

Je propose l'étude du circuit RC série sous l'influence d'une tension F(t) variable. Ce problème est complétement soluble. il est donc facile de comparer la solution excate et la solution dans l'approximation adiabatique.
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On verra que selon cette méthode on peut dans un problème mécanique a) négliger le terme d'inertie pour la résolution de l'équation. b) calculer le terme d'inertie à partir de la solution trouvée. c) Vérifier après coup que cette approximation adiabatique est valable en comparant le terme d'inertie avec les autres termes de l'équation.

Pourquoi ce système plutôt qu'un autre?

Personnellement, je n'ai aucune doute qu'il existe des équations d'évolution (des système physiques modélisables par...) telles que la démarche que tu proposes permette de conclure que l'on peut négliger tel ou tel terme. Je suis (et étais bien avant) convaincu de l'existence de tels cas.

Or m'échappe l'intérêt d'un système électrique (domaine dans lequel on "fabrique" les équations diffs selon les besoins!) autrement que pour une telle preuve d'existence.

En d'autres termes, si le but n'est qu'une preuve d'existence, ça enfoncera une porte ouverte en ce qui me concerne.

J'ai regardé en détail les cas mécaniques proches, le sablier sur divers types de balances, de systèmes de type équilibre neutre, en particulier divers cas de suspension à des poulies. Je cherchais s'il y avait une quelconque règle pour l'inertie rajoutée. La conclusion semble être qu'il n'y a pas de règle, à part son existence. La valeur semble différer selon les systèmes de démultiplication. En particulier, il semble qu'on peut la rendre faible devant la masse du sablier, ce qui la rend négligeable non pas parce qu'elle est incluse dans un terme propotionnel à une vitesse, mais simplement parce qu'elle est faible devant la quantité à laquelle elle s'ajoute.

Notons que la quantité de mouvement du contrepoids, elle, semble bien toujours l'opposée de la qm du sablier! Le résultat me semblait un peu incohérent avec une inertie variable, et j'ai déjà tout refait pour vérifier...

Cela m'a amené à me demander s'il n'y avait pas un critère autre dont dépend le terme d'inertie dans l'eau, et je pense l'avoir trouvé, comme je l'ai exposé, à savoir la forme du sablier.

Cela pour dire que je n'ai pas de doutes sur

1) L'existence de systèmes d'équa diffs tels que le terme d'inertie puisse être négligé tout en fournissant des prédictions utiles en pratique;

2) le terme d'inertie dépend de la forme du sablier;

3) il se peut qu'il existe des cas tels que le terme d'inertie soit négligeable; (mais je n'ai pas de cas permettant de la rendre aussi petite que l'on veut...)

4) MAIS, il existe des formes (pas vraiment pratique, genre bol ou vase) telles que l'inertie soit grande et non négligeable.

Ces conclusions qualitives me suffisent en fait. La seule chose qui me fait continuer la discussion est liée aux interventions de Mariposa.

Ceci pour répondre à la question principale que mettre une grosse machine en route genre résolution de Naviers-Stokes n'est certes pas inintéressant, mais, en ce qui concerne les questions que j'aimerais résoudre, est quand même genre marteau-pilon pour écraser une mouche!

Cordialement,

[invité576543]

Donc, si l’équilibre est indifférent, z = h/2 (j’y crouapa !!!)

Il y a un problème là. Tu ne peux pas conclure sur la position finale par un tel moyen. Tu peux donner la position du centre de gravité de l'eau en fonction de la hauteur du sablier et éventuellement du sable dans sablier, mais cela ne contraint pas plus l'évolution; toutes les positions finales sont compatibles avec l'équilibre indifférent en ne raisonnant que sur le centre de gravité.

Je pense que l'erreur est dans l'inversion de signe dans

Déplacement du centre de gravité du sable : z-h, soit la distance h-z vers le bas.

A étudier!

Cordialement,

[mariposa]

A l'attention de mmy et de pmdec.
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En relisant rapidement vos derniers post je crains que l'on ne discute jamais en même temps du même problème.
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Je fais de court développement numérotés et vous me dites si vous êtes d'accord ou pas d'accord.
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1- Il y a plusieurs classes de problèmes.
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Il y a la problématique régime transitoire et la problématique régime asymptotique (cad ce qui se passe après le régime traisitoire).
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Il y a la problématique chute d'un grand unique de masse m et la problématique d'un débit continu Im (t) de grains fins.
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Par combinaison cela fait 4 classes de problèmes.
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2- les problèmes que j'ai traités.
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J'ai d'abord traité complètement quantitativement le cas unique du grain en abscence de traitement. Pour mémoire j'ai démontré que le sablier monte à vitesse constante et s'arrète à x° = m/M°.H°. On note qu'il y a 2 discontinuitéd de vitesses.
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J'ai discuté qualitativement la cas du grain unique dans le cas où il y a du frottement.
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J'ai ensuite traité complétement le cas du flux continu à débit constant de grains dans le régime asymptotique. J'ai calculer la vitesse du sablier mais également la répartition des énergies et des quantités de mouvement y compris dans la Terre. Seule l'entropie a été qualitativement discutée.
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dans les post suivant j'ai argumenté que la solution à débit variable pouvait être traitée de la même façon que la solution à débit constant sous réserve que l'approximation adiabatique soit valable. Ce qui permet d'englober le régime transitoire.
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3- Les problèmes que je nai pas traités.
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A la lecture des problèmes traités il apparait que le seul problème que j'ai discuté qualitativement est celui du grain unique en présence de frottement.
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En effet ce problème présente une difficulté particulière: La force présente une discontinuité à l'origine ce qui interdit par définition d'utiliser l'approximation adiabatique. Autrement dit il faut dans l'équation de Navier-Stokes garder le terme de dérivée partielle dv/dt ce qui fait exploser les difficultés. A vue de nez il n'y a pas d'alternatives à la solution numérique. peut-être que dans le cas d'une sphère on peut faire quelquechose (mais assurement pas pour un sablier, même cylindrique)
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C'est pourquoi je n'ait pas traité ce problème quantitavement mais seulement qualitativement (hormis qu'il ne présente a mon avis aucun interet).
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D'accord ou pas d'accord sur l'état des lieux.
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A bientôt.

[invité576543]

2- les problèmes que j'ai traités.
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J'ai d'abord traité complètement quantitativement le cas unique du grain en abscence de traitement. Pour mémoire j'ai démontré que le sablier monte à vitesse constante et s'arrète à x° = m/M°.H°. On note qu'il y a 2 discontinuitéd de vitesses.

"absence de traitement" ???

Une discontinuité de vitesse = une accélération infinie. Il n'y a pas de terme infini (choc) dans ce que tu as proposé comme "traitement complet" du problème d'un seul grain avec ou sans frottement. C'est pour cela que je disais que la seule solution possible de l'équation proposée est v=0 (plus de discontinuit&#233, parce que c'est le seul moyen que l'accélération reste négligeable si elle dépend de la vitesse. (Je suppose que l'accélération de l'eau est le terme kv, et ce jusqu'à proposition d'une autre équation pour l'évolution de la quantité de mouvement de l'eau. Cela revient à considérer la force exercée par les parois comme la simple réaction au poids.

3- Les problèmes que je nai pas traités.
.
A la lecture des problèmes traités il apparait que le seul problème que j'ai discuté qualitativement est celui du grain unique en présence de frottement.
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En effet ce problème présente une difficulté particulière: [B]La force présente une discontinuité à l'origine

Dans la cas d'une bille, il n'y a pas de problème à ce que la force présente une discontinuité. Toutes les solutions proposées partage cette propriété.

S'il n'y a aucun problème avec une discontinuité de la force et donc de l'accélération, une discontinuité de vitesse demande un choc, une impulsion. Il n'y en a pas au début, mais il y en a une à la fin. Toute solution doit donc présenter une vitesse continue au départ, mais pa nécessairement à l'arrivée.

Cordialement,

[mariposa]

"absence de traitement" ???

Une discontinuité de vitesse = une accélération infinie. Il n'y a pas de terme infini (choc) dans ce que tu as proposé comme "traitement complet" du problème d'un seul grain avec ou sans frottement. C'est pour cela que je disais que la seule solution possible de l'équation proposée est v=0 (plus de discontinuité), parce que c'est le seul moyen que l'accélération reste négligeable si elle dépend de la vitesse. (Je suppose que l'accélération de l'eau est le terme kv, et ce jusqu'à proposition d'une autre équation pour l'évolution de la quantité de mouvement de l'eau. Cela revient à considérer la force exercée par les parois comme la simple réaction au poids.



Dans la cas d'une bille, il n'y a pas de problème à ce que la force présente une discontinuité. Toutes les solutions proposées partage cette propriété.

S'il n'y a aucun problème avec une discontinuité de la force et donc de l'accélération, une discontinuité de vitesse demande un choc, une impulsion. Il n'y en a pas au début, mais il y en a une à la fin. Toute solution doit donc présenter une vitesse continue au départ, mais pa nécessairement à l'arrivée.

Cordialement,

Désolé. Là ou j'ai écrit discontinuité de vitesses il fallait en fait que j'écrive discontinuité de forces. c'est évident.
Quand j'ai écrit le post j'ai pensé discontinuité de la dérivée des vitesses qui s'est transformé en écriture en discontinuité des vitesses.
J'espère que tu ne me crois pas idiot au point de croire qu'une discontinuité de vitesse puisse exister.
Donc tenu compte de la correction ce cette coquille peux-tu relire mon post et savoir si tu es d'accord ou pas sur l'etat des lieux.

[invité576543]

Désolé. Là ou j'ai écrit discontinuité de vitesses il fallait en fait que j'écrive discontinuité de forces. c'est évident.

Désolé, mais il y a aussi

j'ai démontré que le sablier monte à vitesse constante et s'arrète à x° = m/M°.H°.

Cette solution contient bien deux discontinuités de vitesse. Et il n'est pas choquant d'avoir une discontinuité de vitesse à la fin. Je ne trouve rien d'idiot à parler de discontinuité de vitesse. Je repète que c'est uniquement la discontinuité du début qui ne va pas, parce que le lacher de la bille n'est pas percussif.

J'ai toujours eu en tête une solution où l'accélération est à peu près constante au début, avec un passage progressif vers une vitesse limite. Selon la valeur de k, elle est atteinte plus ou moins vite, et cette partie-là ne m'a jamais posé de problème. La phase initiale est pour moi nécessairement accélérée et c'est la valeur de cette accélération que je cherche. Elle ne peut pas être infinie (percussive) de par le système même.

Cordialement,