[exo] Propagation des ondes EM dans un conducteur ( Effet de peau )

[bboykeen]

Bonjour,

Je viens solliciter votre aide pour un exercice d'électromagnétisme sur lequel je penche depuis hier soir. Dans un souci de clarté de ma question, je préfère poster l'énoncé complet puis vous expliquer où j'en suis dans ma démarche.
L'exercice semble être de niveau prépa mais venant d'un DUT informatique, je bloque complètement sur une des dernières questions.

Voici l'énoncé :

La densité de courant dans un conducteur peut être calculée à partir de la loi d’Ohm locale ( l’équivalent de U = R I ) où \sigma est la conductivité électrique exprimée en s.m-1 .

Pour un conducteur en cuivre, = 5.9 107 s.m-1 . On donne cuivre = = 4π 10-7 H.m-1 .

a) Montrer que dans l’équation de Maxwell , le terme est négligeable devant le terme .

b) Montrer à partir de l’équation de Maxwell que l’on obtient une équation de propagation égale à : . Cette équation est une équation de diffusion.

c) Si le champ électrique se propage suivant l’axe z, montrer que satisfait l’équation de diffusion précédente et en déduire que ( avec i^2 = -1).

d) En utilisant la relation , montrer que et que si l’on pose alors .

e) A partir de la loi d’Ohm locale et de l’expression du courant I dans le conducteur : , en déduire que .

f) Que vaut δ lorsque f = 50 Hz , f = 300 kHz , f = 109 Hz ?

g) Pourquoi une antenne est-elle souvent faite d’un simple tube plutôt que d’une barre pleine ?



Voici ma démarche :

a) Analyse dimensionnelle pour montrer que

b) En appliquant le rotationnel à et en utilisant le résultat trouvé au dessus puis en simplifiant on finit par trouver l'équation de propagation.

c) Je ne sais pas si c'est juste mais j'ai remplacé dans l'équation de propagation jusqu'à pouvoir factoriser en deux termes. L'un étant E0... et l'autre (. De là, je peux retrouver l'équation demandée en supposant que c'est ce terme qui s'annule. Ma démarche n'est peut-être pas des plus rigoureuses..

d) Pour la première relation, j'ai remplacé dans l'équation pour trouver le bon résultat. Pour la deuxième partie de la question, je suis parti de ce que l'on me demandait de trouver en essayant de remonter dans l'autre sens (manipulation, factorisation) car je n'arrivais pas à faire le lien dans le sens direct. Au final, je pense m'en être correctement sorti.

e) Pour cette question, je bloque complètement.. J'ai essayé de remplacer dans l'équation ce qui me donne
. A partir de là, à part extraire , je ne sais plus quoi faire..
f) Application numérique

g) Phénomène d'effet de peau (compris grâce à Wikipédia, non pas grâce aux questions :-/)

Je sollicite donc votre aide en particulier sur la question e) afin de m'aiguiller dans la bonne direction.

Merci d'avance.
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[albanxiii]

Bonjour,

Pour la question e) vous devez utiliser l'expression du champ électrique que vous avez trouvé à la question d), si je ne m'abuse...
Vous avez , il vous reste à faire un petit dessin pour définir comment vous calculer le courant , à travers quelle surface ? quelle normale à cette surface, etc. ?

@+

[bboykeen]

Merci de ton aide Albanxiii.
Je ne voudrais pas paraître ignorant mais quelle est la norme pour représenter un conducteur ?
Un parallélépipède ?

[VirGuke]

Salut,

Es-tu sûr de ne pas avoir introduit une coquille dans l'énoncé ? Je trouve ça une peu surprenant d'avoir un champ parallèle à la direction de propagation d'une onde plane.

En fait comme le sujet c'est l'effet de peau il me semblerait plus naturel d'avoir l'onde plane qui passe du vide en z<0 au métal en z>0. D'après tes calculs tu en déduit qu'il y a un courant induit qui est créé selon la direction ex et qui est exponentiellement décroissant lorsque tu t'enfonce dans le métal.
De là tu peux en déduire l'intensité du courant surfacique dirigé selon ex juste en intégrant l'exponentielle selon z.

La conclusion c'est que l'intensité du courant volumique décroît exponentiellement avec la profondeur donc il n'y a pour ainsi dire du courant que sur la "peau" du métal, c'est l'effet de peau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bboykeen]

Salut VirGuke,

Je viens de vérifier l'énoncé et je ne pense pas avoir introduit d'erreur. Cela dit, je suis incapable de me rendre compte si l'énoncé s'avère juste ou faux puisque j'arrive à peine à saisir les implications physiques des résultats que je trouve.

Admettons que la bonne formule du champ soit celle-ci, dois-je procéder de la même manière que tu l'as expliqué dans ton post ?

Merci

[LPFR]

Bonjour.
a) L'analyse dimensionnelle ne peut pas vous permettre de démontrer ça. De toute façon ce que l'on vous demande de démontrer n'est pas une relation générale. Elle dépend des propriétés du milieu et de la fréquence. Ce n'est donc pas démontrable sans faire intervenir sigma et oméga.

- La façon classique d'aborder l'effet de peau est d'admettre que le terme de est négligeable (sans démonstration). Se placer dans le cas sinusoïdal et dire de 'j' à une orientation parallèle à la surface et B est perpendiculaire à 'j' et parallèle à la surface aussi.
Voir par exemple ici (pdf de 11 pages):
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&...57799294,d.d2k

Le cas avec l'onde plane qui se réfléchit sur la surface du conducteur et qui pénètre un peu est aussi valable. Mais ce n'est pas vraiment l'effet de peau qui apparaît quand un fait circuler un courant alternatif dans un conducteur.

D'où la contradiction relevée par VirGuke dans le post #4.

Au revoir.

[bboykeen]

Bonjour LPFR,

Je prends note de vos remarques.
Je vais commencer par lire le document fourni, cela me permettra peut-être de combler certaines lacunes et de répondre à certaines incompréhensions.
Je reviendrai vers vous si quelque chose m'échappe encore.

Merci