Mecanique quantique, observable
Bonjour,
ma question est la suivante :
A quelle(s) condition(s) l’opérateur H constitue t’il une observable ?
Je dirais que l'opérateur est hermitique et homogène à une énergie et nous savons qu'on appelle observable un opérateur hermitique dont les kets propres forment une base de l'espace des états.
Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie ?
Merci de m'éclairer
Juste une remarque: dire que l'on a un opérateur hermitien/hermitique n'est qu'un critère mathématique, lié au fait que ses "valeurs propres" sont alors réelles.
Pour ce qui est de la physique, on pourrait se demander, quand est ce qu'un nombre est une observable? quand est ce qu'une matrice est une observable ?En revanche si l'on dit voila tous les "états" de mon système (il faut que cet ensemble d'état satisfasse un certain nombre de conditions) on peut y associer une algèbre d'observables (C*algebre ou algèbre von neumann). On peut aussi procéder dans l'autre sens, dire que l'on connait cet algèbre des observables, les états sont alors déterminés. Dans une représentation de l'algèbre des observables certains etats sont décrit par un vecteur de la représentation. (au sens représentation de groupe, d'anneau, d'algèbre)
Deuxième remarque: ces histoires de bra et ket sont finalement plutot bien compris du point de vue mathématique et liée de très près au théorème spectrale pour les opérateurs autoadjoint. Une des conséquences de ce théorème est qu'un opérateur hermitien définit sur un sous-espace dense (de l'espace de Hilbert) a une famille de kets propres formant une base de l'espace. En particulier, si l'opérateur est borné, il est définit partout.
Bonjour,
Justement la situation est nettement plus compliqué pour des operateurs auto-adjoints quelconques sur un espace de Hilbert.
Il n'existe pas en general de base (hilbertiennes) de vecteurs propres. C'est vrai si l'operateur a un spectre discret cela dit.
vecteurs generalisees, cf rigged hilbert space
justement dans le cas d operateurs non borne
H est un opérateur Hamiltonien. Toute observable est diagonale dans la base de ses états propres lorsque ses valeurs propres ne sont pas dégénérées. Pour répondre à ceque vous m'avez dit, une matrice est une observable quand elle est diagonalisable, non ?
Mon exercice concerne le cas un système dont l’espace des états est de dimension 3.
Dans le cas d’un système à 3 états de base et en représentation matricielle dans la base des états solutions de H (états stationnaires) :
H11 0 0 (c1)
0 H22 0 (c2) = (ih(barre)/dt)*d(c1)(c2)(c3)
0 0 H33 (c3)
Mais ce n'est pas une démonstration si ?
Aussi par définition un opérateur est dit hermitique (ou hermitien ou encore auto-adjoint) s'il est
égal à son adjoint :
Aˆ =Aˆ†
Je fais intervenir un opérateur hermitique en posant K=H/ih(barre)
L'adjoint est donné par K†=H†/-ih(barre)=H/-ih(barre)=-K
Donc on voit bien que H est hermitique, on l'appelle opérateur Hamiltonien.... vrai ?
Aussi un observable est un opérateur hermitique dont les vecteurs propres forment une base
pour l’espace des états. je ne sais pas comment montrer cela avec H...
Merci de vos réponses
Dernière modification par Dymelo ; 13/12/2013 à 22h02.
Ce sur quoi je voulais insister c'est qu'il ne faut pas prendre les axiomes de la MQ pour des commandement de la Bible, et montrer que ce sont simplement des conditions raisonnables. Ces conditions ne sont pas physique, mais ce sont des critères mathématiques:
-"Diagonalisable" est la traduction mathématique de l'idée que l'on veut que cet opérateur se comporte comme un nombre dans le sens suivant:Imaginons que l'on soit en dimension finie, A une matrice diagonale:et P un polynome. On a alors
-On veut par ailleurs que ses valeurs propres soient réelles, parce que on décrit les grandeurs physique, mesurables par des nombres réels.
Ensuite, selon les situations, les sytèmes que l'on décrit, on peut soit considérer que tous les opérateurs auto-adjoint sont des observables ou pas. Parfois justement on dit que l'on a un "groupe de jauge du 1er type" et que seuls les opérteurs auto-adjoint invariant sous l'action du groupe sont des observables. On peut rafiner l'axiome.
Pour ces histoires d'existence base de valeurs propres c'est une distinction technique. C'est fondamentalement liée à la définition du spectre d'un opérateur auto-adjoint (Rappel: auto-adjoint est une condition équivalent à "diagonalisable et à valeurs propres réelles", valable en dimension finie et infini (quand meme dans la restriction que l'on considère des opérateurs sur un espace de Hilbert)):
Dans n'importe quel cours de physique, on se passe des ses détails et écrit toujours par exemple:
Dans ton exemple, soit tu considères vraiment un espace de dimension 3, dans ce cas la; il n'y a pas de dérivée. Soit tu considère un espace de fonction d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel et il est probable que c'est un espace de dimension infini. Mais je ne comprends pas de démonstration? qu'est ce que tu veux démontrer?
Dernière modification par Noix010 ; 14/12/2013 à 15h19.
Ah, peut être est il necessaire de revoir la définition d'auto-adjoint.
On n'a pas besoin que ce soit de dimension fini et d'expliciter une matrice, en revanche on a besoin d'un produit scalaire. La definition d'adjoint est fondamentalement caractérisée par le produit scalaire. Si l'on veut montrer que qqch est auto adjoint, on a besoin de ce produit scalaire.
typiquement
Finalement c'est très intéressant quand un opérateur autoadjoint n'a pas de vecteur propre. ça veut dire que dans le système, il n'y a pas d'état qui a avec certitude une certaine valeur propre donnée: ex. pas d'état "physique" position x. Cela même sans la non commutativité avec une autre observable.
Mais il n'y a pas ici d'argument qui dirait qu'avec un autre système, il n'y ait pas un vecteur propre.
Dernière modification par Noix010 ; 14/12/2013 à 15h34.
J'ai lu attentivement ce que vous m'avez répondu.
Donc si je comprends bien, quand on me pose la question "A quelle(s) condition(s) l’opérateur Hˆ (opérateur hamiltonien du système) constitue t’il une observable dans l'espace à trois dimension ?" je ne dois pas faire de démonstration mais faire une suite d'explication basé sur des définitions ?
Maintenant on a la définition Hlphi,i>=Elphi,i> avec i=1,2...3 et E1<E2<E3
Comment donne t'on la représentation matricielle de l'observable H dans la base lphi1> lphi2 lphi3> ?
J'aurais pensé faire,
ih(barre)dci(t)/dt=Eici(t)
L’hamiltonien est donc diagonal dans cette base. En fait toute observable est diagonale dans la base de ses états propres lorsque ses valeurs propres ne sont pas dégénérées (considère non dégénérées).Dans le cas d’un système à 3 états de base et en représentation matricielle dans la base des états solutions de H (états stationnaires):
H11 0 0 (c1)
0 H22 0 (c2) = ih(barre)d(c1,c2,c3)/dt
0 0 H33 (c3)
est ce la repésentation matricielle de l'observable H que j'ai donné ?
Pour donner la représentation matricielle de chacun des états de base dans la base à 3 dimensions, je ne comprends pas, c'est la représentation matrcielle de phi1 phi2 et phi3 que l'on me demande?
Ta deuxieme ligne est une question dont la réponse est sur ta première ligne qui montre que l'hamiltonien est diagonal dans la base de ses etats propres.Envoyé par Dymelo
Ce sera plus simple avec l'énonce. C'est un td que l'on a pas pu corrigé, et j'ai besoin de mettre ça au clair poour l'examen.
Donc je ne peux répondre à la question ce qu'on a mis au dessus...
je regarderai ce TD.
Mais juste brièvement: quand j'ai dit qu'il fallait revenir à la définition de auto-adjoint, c'est lorsque l'on est en dimension infinie et que l'on ne peut pas écrire de matrice infinie. Et aussi, parce que pour démonter que qqch est auto-adjoint, il vaut mieux avoir une définition précise, mieux que transposé conjugué qui n'est valable qu'en dimension finie.
D'autre part, valeurs propres dégénérées ou pas je ne crois pas que ce soit pertinent. Mais je regarderai ça de plus près.
1) Il n'y a pas a demontrer quoi que ce soit mais simplement énoncer qu'il faut effectivement que ce soit auto-adjoint. (ou diagonale et a valeurs propres réelles si tu veux )
2) oui il suffit d'écrire la matrice diagonale (), mais tu peux meme mettre directement E_i a la place des H_ii
3) (1 0 0) etc..
4) Une ineptie totale. mais on pourrait se dire ok pour 3) des vecteurs colonnes et 4) des vecteurs lignes...
5) diag(1,0,0) + diag(0,1,0)+diag(0,0,1) = Id
6) sans entrer dans les details de ce que sont N particules, N fois le resultat pour une particule:
7)divise par N
8)
je ne me rapelle plus de la definition de stationnaire, mais un vecteur multiplier car un nombre complexe correspond au meme etat, donc probablement oui.
9) oui
10) meme calcul que 6) un coup exp+i un coup pour le ket et - pour le bra ou l'inverse
11) D doit est hermitien implique d doit etre reel
12) ecrire le commutateur des deux matrices. c'est non nul, ne satisfait pas la definition precedente de constante
Comme on peut le remarquer, grossière erreur à la réponse 8)...
dernier commentaire: dire que l'hamiltonien est l'observable energie n'est pas si évident.
Pour éclairer (sans pour autant répondre à toutes les questions que l'on pourrait se poser) le lecteur interessé, cf. theoreme de noether
Dernière modification par Noix010 ; 15/12/2013 à 16h56.
Bonsoir,
justement pour la question de trouver un bra avec la relation de fermeture en partant d'un ket, je ne vois pas... Je sais que le résultat ressemble à lphi>=c1*c2*c3*....cN mais quand à 'calculer' cela....
Un bra est un vecteur de l'espace dual.
Si on a un produit scalaire on a effectivement un isomorphisme entre l'espace de Hilbert de départ et son dual.
Mais un bra c'est un bra et un ket un ket, un bra n'est pas une combination de kets. La "relation de fermeture" c'est juste l'opérateur identité, pour moi ça ne relie pas un bra et un ket.
Si tu dois répondre qqch:
On suppose tout ça orthonormé. Maintenant si les composantes d'un vecteur dans l'espace de départ est un vecteur colonne (a,b,c), son dual est un vecteur ligne (a^*,b^*,c^*). * pour conjugaison.
Merci bien, je comprends tout à fait, je pensais plus ou moins la même chose au niveau de l'identité c'est plus logique, c'es pour ça que je penais sur cette question...
Bonsoir et bonnes fêtes,
je reviens vers vous pour la question 8 !
Voilà ce que j'ai fait ci joint; Comment répond on à la question de savoir si c'est stationnaire ou pas ?
Merci de votre aide !
Bonjour,
Un etat est stationnaire si le module (au carré) est independant du temps.
Donc tu calcules <F(t)|F(t)>
Stationnaire veut dire que ça n'évolue pas dans le temps. C'est plus contraignant que ce que Mariposa dit. On voit bien que prenant une famille quelconque d'opérateurs unitaires
Donc il y a pour commencer la définition de stationnaire (qu'il faut modifier sur le wikipedia français...), mais plus fondamentalement celle d'état. Si j'ai le temps je regarderai ce qui se dit sur wiki, mais disons que dans notre cas c'est un "rayon", i.e. on identifie deux vecteurs proportionnels
Un moyen de montrer qu'un état est stationnaire est de dire qu'il est un vecteur propre non-dégénéré d'un opérateur indépendant du temps. Inversement, considérant un état dépendant du temps
Remplace ce dernier produit scalaire par l'expression explicite et tu devrais trouver que c'est non stationnaire, il me semble me souvenir que c'est le prototype d'"oscillation" de je ne sais quoi.
Il y a par ailleurs deux fautes dans ta réponse:
- "k+k*" n'est pas négligeable, il est exactement nul par définition de "générateur" d'une transformation unitaire. Ce qui aurait été négligeable c'est le terme kk* que tu n'as pas écrit.
- si tu recopies explicitement U(t+dt,t)= I +k dt, tu obtiens k|\psi>(t)=1/dt (|\psi(t+dt)>-|\psi>(t)) , pas ce que tu as écrit juste avant l'équation de Schrödinger
ok jetzt kannst du wiki vertrauen
j'ai modifié l'article wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...e_quantique%29
Bonjour,Stationnaire veut dire que ça n'évolue pas dans le temps. C'est plus contraignant que ce que Mariposa dit
Mariposa ecrit n'importe quoi. Ce que j'ai écrit c'est la conservation de la norme.
l'evolution c'est bien sur:
qui decrit que la projection sur l'etat initial depend du temps, ce qui correspond bien a l'evolution du ket dans l'espace de Hilbert.
Bonjour ! Ok pour vos réponses je vais me dépatouiller dans tout cela ^^
petite question, je glisse une pièce jointe, il y a marqué que cela s'intègre facilement pour avoir c1(t) et c2(t)
je ne vois pas comment intégrer moi par contre et trouver ces deux coefficients... Si vous pouviez me montrer comment il faut faire s'il vous plaît, merci beaucoup.
Salut, c'est une intégration toute simple du type : y'(t)+ay(t)=0 avec des solutions exponentielles (celles qu'on voit en terminale S ou première année après le bac). Une façon de retrouver ce résultat est la suivante (même si je ne suis pas sûr que ce soit parfaitement rigoureux à cause du fait que la fonction peut-être a priori négative ou nulle) :
Ensuite on applique l'exponentielle et on retombe sur le résultat.
Une fonction complexe ne peut pas être négative, cela n'a pas de sens...
La solution est quand même en exponentielle, complexe si besoin.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Oui, tu as raison. Mais la méthode que j'ai utilisée pourrait s'appliquer à une fonction réelle. Et quand je la passe au dénominateur ou dans un logarithme, ça peut éventuellement manquer de rigueur du point de vue d'un mathématicien, je pense. C'est ce que je voulais dire dans la phrase que tu cites.
Oui, mais la méthode que tu utilise est bourrine.
ds/dt=s est une définition de la fonction exponentielle (y compris complexe) si on ajoute s(0)=1.
Pourquoi s'emmerder plus et surtout avec des logarithme qui font chier tout le temps avec une coupure?
http://forums.futura-sciences.com/ma...e-coupure.html
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
J'essaie d'aider l'auteur de la question à pouvoir retrouver la solution à son problème comme il l'a demandé. Malheureusement, je n'ai pas eu l'occasion d'assister à un cours d'analyse complexe ; j'ai l'impression d'être passé à côté de quelques concepts intéressants au vu de ton lien. Et c'est vrai qu'on peut dire que c'est la définition de l'exponentielle, ce qui évite les problèmes. Mais si on ne le voit pas d'emblée, autant avoir une méthode bourrine de secours pour se remémorer les choses.
