Calcul déformation d'une planche en flexion

[dasch999]

Tout d'abord bonjour à tous. Merci de prendre le temps de lire ce message.
Brève intro, j'ai 22 ans, bac S, licence de bio, DEUG de chimie, j'ai pour projet de faire un terrain de basket chez moi, et faire le maximum moi même afin de minimiser les couts et aussi surtout pour obtenir un produit de meilleure qualité que ce que l'on trouve dans le commerce.
Rentrons dans le vif du sujet, un panier de basket est composé d'une planche et d'un cercle. Ici le problème se situe au niveau de la planche; typiquement en haut niveau elle est en PMMA (plexi) de 12 à 20 mm d'épaisseur, mais ce genre de plaque est chère. Je me tourne donc vers quelquechose de solide, pas cher, le contreplaqué.
Pour déterminer l'épaisseur dont j'ai besoin j'ai réussis à trouver un test de résistance utilisé par la FIBA pour déterminer si le panneau est assez résistant

Lorsqu’une traverse de section carrée (250 mm de côté et 1100 mm de long)
ayant le poids de 50 kg est posée au centre du panneau de verre (sans
l’armature), le panneau étant posé horizontalement sur deux barres en bois,
parallèles écartées de 1200 mm (Figure 3), la déformation verticale maximum
doit être de 3 mm.

Donc en gros on peut assimiler ça à tous les exemple concernant les déformation de poutres que l'on voit sur internet, sauf qu'ici il s'agit d'une planche.
J'ai donc énuméré tous mes facteurs :
Le module de Young d'une planche de CP, c'est aux alentours de 10 GPa
Module de Young d'une planche de plexi 3.3 GPa
La déformation (ou flèche) doit être inférieur à 3 mm
50 Kg statiques génère 490.3325 N

J'ai fait les calculs sur différents sites, j'obtiens une épaisseur de 24 à 30 mm pour du CP selon les sites et les valeur de modules de Young.
J'ai également fait le calcul pour le plexi et j'obtiens encore plus épais (normal vu que le module de young est plus faible), mais c'est étrange vu que l'épaisseur de ces planches sur des paniers homologués sont comprises entre 12 et 20 mm.
Je me suis donc dis que je devais mal appliquer la chose, et puis bon faut dire que la mécanique c'était pas mon fort
Donc du coup je sollicite votre aide pour me dire quelle valeurs vous trouvez afin de vérifier si mes calculs étaient exacts.

Voici les sites que j'ai utilisés pour calculer l'épaisseur
http://www.pats.ch/formulaire/resmat/resmat4.aspx
http://jean.lamaison.free.fr/flexion.html
http://www.lyceedupaysdesoule.fr/mic...ntreplaque.htm

A noter que pour le premier lien j'ai eu un peu de mal à calculer le moment d'inertie et de résistance, donc je ne pense pas que mon calcul soit très rigoureux.
Autre point, sur les test soit le poids est répartis en 1 point, soit sur toute la longueur, je ne sais pas si cela à une importance ou non dans le résultat mais ici comme montré au dessus le poids est répartis sur 25mm*1100m

Toute aide est la bienvenue pour m'aider à calculer l'épaisseur minimum de CP ou de plexi.

(Ah oui pour ceux qui se demandaient, au début j'aurais souhaité faire le test en pratique plutôt qu'en théorie, mais les couts des planches (100 € et +) et le fait qu'il ne soit pas possible de les redonner après m'empêche de procéder de la sorte. Au moins ça me fera réviser ma physique ^^)
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[Jaunin]

Bonjour, Dasch999,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
On va parler du moment quadratique et pas du moment d'inertie.
Donc pour le poids de teste c'est 490.5 [N] représenté par une masse de 250 [mm] de large part une longueur de 1100 [mm] et épaisseur x et non pas

mais ici comme montré au dessus le poids est répartis sur 25mm*1100m

Le plateau à calculer son épaisseur pour avoir une flèche 3 [mm] en son centre est de 1200 [mm] de large et de 1100 [mm] de long(si je peu dire).
C'est bien ça l'idée.
Cordialement.
Jaunin__

[sitalgo]

B'jour,

Il suffit de faire quelques proportionnalité. l'épaisseur e ne varie qu'en fonction de EI, I ne varie qu'avec e^3 et on a les E.
e1^3 = e2^3.E2/E1
Il faudrait aussi tenir compte de la masse surfacique du panneau qui influe sur le rebond du ballon (loin des appuis) mais c'est coton à calculer.
À noter que si la traverse et rigide, ça ne fait pas 50 kg au milieu mais 2 fois 25kg espacés de 25 cm en raison de la déformation du panneau. Des fois qu'on veuille faire le calcul.

[dasch999]

Bonjour, Dasch999,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
On va parler du moment quadratique et pas du moment d'inertie.
Donc pour le poids de teste c'est 490.5 [N] représenté par une masse de 250 [mm] de large part une longueur de 1100 [mm] et épaisseur x et non pas

Le plateau à calculer son épaisseur pour avoir une flèche 3 [mm] en son centre est de 1200 [mm] de large et de 1100 [mm] de long(si je peu dire).
C'est bien ça l'idée.
Cordialement.
Jaunin__

Merci de l'accueil,
Pour la masse elle fais 250 * 250 * 1100 mm mais je ne pensais pas que les 25 mm d'épaisseur importais vu qu'ils n'étaient pas en contact avec la plaque. Pour moi c'était une masse de 50 Kg sur une surface (25 * 1100) ce qui me donnait une pression créant la déformation.
Le moment quadratique j'ai regardé hier soir sur wiki ce a quoi ça correspondait et ce n'est pas très clair dans ma tête. J'avais utilisé cette formule là vu que la section de ma plaque est un rectangle
Avec b = 1800 et h mon inconnue (l'épaisseur de la planche), mais ça ne m'avance pas, j'ai du mal comprendre la manière d'utiliser cette formule.
Comment intégrer ça concrètement dans mon calcul de déformation ?
J'ai par ailleurs utilisé ce matin le logiciel RDM6, Sans titre.jpg et avec une épaisseur au hasard de 30 mm, cela me donne presque 0.9 m de déformation, bien loin des 3 mm recherchés...

B'jour,

Il suffit de faire quelques proportionnalité. l'épaisseur e ne varie qu'en fonction de EI, I ne varie qu'avec e^3 et on a les E.
e1^3 = e2^3.E2/E1
Il faudrait aussi tenir compte de la masse surfacique du panneau qui influe sur le rebond du ballon (loin des appuis) mais c'est coton à calculer.
À noter que si la traverse et rigide, ça ne fait pas 50 kg au milieu mais 2 fois 25kg espacés de 25 cm en raison de la déformation du panneau. Des fois qu'on veuille faire le calcul.

Honnêtement, désolé mais je n'ai pas compris grand chose, surtout la première phrase en fait
Pour répondre à ta deuxième question, pour l'instant je me contente de suivre les normes FIBA, ce qui apparait déjà assez compliqué à mettre en place. Derrière la planche il y aura bien sur une armature en acier de forte section qui fera tout le tour et qui divisera le panier en 3 bandes dans le sens de sa largeur afin qu'il soit le plus rigide possible.
Pour la troisième remarque, c'est vrai ce que tu dis, je l'ai donc intégré dans mon calcul de ce matin (cf plus haut) mais avec un résultat assez surprenant ( je ne pense pas que ce soit du au fait qu'il y ait deux point d'appuis pour la masse mais plutôt une erreur de compréhension de ma part dans l'utilisation des données et des logiciels.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour, Dasch999,

Pour moi c'était une masse de 50 Kg sur une surface (25 * 1100)

Si on utilise les mêmes unité la surface est de (250 * 1100) [mm].
Pourriez-vous faire un croquis de votre planche vue de dessus pour que l'on puisse voir ses dimensions, la position de la masse et le cadre métallique qui va venir au tour.
Je ne crois pas que vous avez pris le bon moment quadratique pour la flexion.
Cordialement.
Jaunin__

[sitalgo]

Une formule toute faite de flèche est du type y = k P L³/ EI. À kPL identiques il ne reste que E et I comme paramètres à modifier.
Pour remplacer du PMMA de 20 par du CPL il faut une épaisseur e^3 = 0,02^3 . 3,3/10.

La formule que tu as trouvée sert pour la torsion. Dans ton cas c'est I = bh³/12. h sera l'épaisseur.

[dasch999]

Jaunin > Je peux vous transmettre les dimensions du cadre mais je ne vois pas en quoi ce sera utile, le test ici s'appuie sur la planche en elle même et non sa structure.

J'ai utilisé un autre logiciel, inflexion, et je trouve une flèche de 4.9 mm pour 20 mm de PMMA ce qui me parait plus réaliste que tout le reste que j'ai pu trouver. Pour avoir une flèche de 3mm avec du CP il me faudrait une épaisseur de 15.75 mm.
Est ce que quelqu'un pourrait donc me confirmer vers quelle valeur je devrais me tourner, laquelle est correcte ? 15 mm ou 30 comme je trouvais avant ?

[dasch999]

sitalgo, si j'ai bien compris ta formule pour 20 mm de PMMA on a la même résistance qu'avec 13.82 mm de CPL ?
Dans ce cas pour 12mm j'ai trouvé 8.29 mm de CPL.
Mais ça ne me dis toujours pas si le PMMA de 20 ou le CPL de 14 mm a une flèche inférieure à 3 mm, normalement oui vu que le PMMA de 20 est utilisé, mais bon ici on est dans la supposition... Même au plus haut niveau cela m'étonnerais que la fédération ou les arbitres vérifient cela.
En tout cas étant donné les valeurs précédemment trouvées on se tournerais vers du 14-15 mm d'épaisseur, et les calculs me donnant 30 mm d'épaisseur seraient donc erronés.
J'espère avoir trouvé la bonne valeur, ça m'embêterais d'avoir passé autant de temps à calculer quelque chose de faux et d'avoir acheté quelque chose qui ne convient pas...

[sitalgo]

sitalgo, si j'ai bien compris ta formule pour 20 mm de PMMA on a la même résistance qu'avec 13.82 mm de CPL ?

Pas la même résistance, la même déformation.

Dans ce cas pour 12mm j'ai trouvé 8.29 mm de CPL.
Mais ça ne me dis toujours pas si le PMMA de 20 ou le CPL de 14 mm a une flèche inférieure à 3 mm, normalement oui vu que le PMMA de 20 est utilisé, mais bon ici on est dans la supposition...

Il n'y a pas de CPL de 14, c'est 12, 15 ou 18.
Tu peux calculer la flèche avec la formule y = P.L³/(8.E.I)
L =1,20 m ; I = bh³/12 avec h l'épaisseur et b = 1,10 m ; P = 500 N.

[dasch999]

Merci d'avoir expliqué, j'ai beaucoup mieux compris.
Le E correspond au module de Young je suppose ?
J'ai fait une feuille excel vite fait, et pour 15 cm d'épaisseur j'ai 34 m de déformation je dois avoir une erreur d'unité quelque part je pense.
J'ai joint ma feuille excel, j'ai tout exprimé en m, N et MPa, donc la déformation devrait être en m également, j'ai loupé quelque chose ?

[Jaunin]

Bonjour, Dasch999,
Pourriez-vous mettre les unités juste dans votre discussion, pour 15 [cm] d'épaisseur vous avez une flèche de 34 [m].
Pourriez vous aussi m'indiquer les cotes justes de votre panneau pour le teste, car un panneau de bassette à une largeur de 1800 [mm] et 1050 [mm] de hauteur.
Vous avez un entre-axe de 1200 [mm], quel est l'autre dimension du plateau ? 1100 [mm] ?????
Cordialement.
Jaunin__

[dasch999]

Bonjour,

Je n'en sais pas plus que ce qu'il y a marqué sur le premier post, qui est issus du réglement de la FIBA.
La panneau fait 1.8 m de long pour 1.05 m de large et une épaisseur à déterminer.
La traverse fait 0.25 m de côté, elle est de section carrée, et fait 1.1 m de long (elle dépasse donc légèrement du panneau). Elle pèse 50 kg.
La planche est posée sur deux tasseaux carrés de 5 cm de section, et espacés de 1.2 m.
J'espère que c'est plus clair ainsi avec toute les unités précisées.
J'ai fait le calcul (cf : ma feuille excel dans la post précédent, avec toute les mesures nécessaires en mètre, Newton (Kg.m/s²) et Mpa (N/m²), ce qui me semble cohérent. Pour moi le résultat devrait donc être en mètre mais j'obtiens une valeur très élevée (34.21 m) de flèche, pour une épaisseur de 15 cm (0.15m)

[dasch999]

Voici un schéma vu du dessus, qui en complément de celui vu de côté permettra un compréhension plus aisée du problème

planche.jpg

Lorsqu’une traverse de section carrée (250 mm de côté et 1100 mm de long)
ayant le poids de 50 kg est posée au centre du panneau de verre (sans
l’armature), le panneau étant posé horizontalement sur deux barres en bois,
parallèles écartées de 1200 mm (Figure 3), la déformation verticale maximum
doit être de 3 mm.
3f3c.jpg

[dasch999]

A noter l'interpretation différente sur mon schéma de la distance de 1200 mm qui pour moi d'après le texte seraient entre les deux tasseaux non compris, et pour la FIBA, les 1200 mm sont la distance entre le milieu des deux tasseaux, peu importe un différence de entre 1200 et 1150 sur la distance sans appuis ne devrais influencer significativement le calcul.

[sitalgo]

L'unité de base pour le calcul est le Pa, pas le MPa.
Après un bon schéma, b c'est plutôt 1,05m.

[dasch999]

D'après la formule que vous m'avez donné j'obtiens une épaisseur minimale de 35mm de contreplaqué, ça me parait un peu élevé (en dehors du fait qu'au delà de 30mm il n'y a plus de CP extérieur de commercialisé), j'ai vu du 30 mm et c'est vraiment épais, et pour le plier il faut une sacré force, même sur la longueur totale de la planche (+ de 2 m).
Pouvez vous me confirmer cette valeur ou bien le test pratique sera-t-il le seul moyen d'estimer de manière fiable la déformation.
Depuis le début du topic j'ai du passer au moins 15h à calculer cette flèche en obtenant des valeurs d'épaisseur variant de 14 à 35 mm, bref ça ne m'a pas avancé d'un poil...

[sitalgo]

Mets ta formule avec les valeurs, on verra où ça coince.

[dasch999]

Bonjour,

J'ai utilisé la formule que tu m'avais donné, y = P.L³/(8.E.I)

y étant la déformation.
P = 490 N
L = 1.2 m
E = 10E9 Pa
I = bh³/12 = (1.05m * 0.035m ^3) /12 = 3.752E-06 m^4

J'obtiens le résultat en mètre que je multiplie par 1000 pour avoir des millimètres.

[sitalgo]

E = 10E9 Pa

E = 10 GPa et non 1 GPa.

[Jaunin]

Bonjour, Dasch999, Sitalgo,
J'ai fait quelques essais sur l'épaisseur de la planche selon les dimensions mentionnées.
Pour la charge de 490 [N] et un module de Young standard de 11 [GPa].
Donc:
pour une épaisseur de 10 [mm] j'ai une flèche de 3.42 [mm].
pour une épaisseur de 11 [mm] j'ai une flèche de 2.65 [mm].
pour une épaisseur de 12 [mm] j'ai une flèche de 1.87 [mm].

Sans vouloir, allez trop loin, je pense qu'il faudrait passer par le calcul d'une plaque rectangulaire sur deux appuis (Roark's).
D'autre part, le module de Young du contreplaqué peut varier de beaucoup en fonction des essences et de la fabrication.
(Je ne vous parle pas du coefficient de Poisson)
Je ne savais pas qu'un panneau de basket était si compliqué.
Cordialement.
Jaunin__

http://www.cndb.org/live/produits_et...treplaques.pdf

http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Cla...d%20strain.pdf

http://www.wisaplywood.com/en/downlo...andbook_fr.pdf

[dasch999]

Ah mais oui, mais quel boulet je fais...
Je trouve maintenant une épaisseur de 16 mm de CP et 25 mm de PMMA, ce qui est beaucoup plus réaliste.
Merci beaucoup à tous, je sais maintenant quoi acheter, il ne reste plus qu'à se mettre au boulot =)

[dasch999]

Jaunin > Après ça devient assez compliqué et puis je ne sais pas si l'investissement en temps est "rentable", je veux dire par là que la vie de personne n'est en jeu ici contrairement à des poutres.
Je vais donc partir sur une épaisseur de 12 ou 15 mm selon les prix et disponibilités de mes fournisseurs, ça devrais le faire ^^
Merci encore pour toi, à Jaunin et aussi Sitalgo, je sais que je suis un peu lent à comprendre certains trucs mais l'important c'est d'y arriver au final