Conservation locale et charge de Noether

[invite473b98a4]

Bonjour,
les équations de continuité sont, parait-il, les lois de conservation locales. Si par exemple j'ai un champ dans l'espace qui obéit à la loi:
où f et sont des fonctions qui caractérisent le champ, alors en intégrant ces lois sur un volume, et en appliquant le théorème de gauss, on obtient:



Du coup si mon est nul à l'infini j'obtiens



dont on peut tirer que



Avec cette constante qui ne dépend pas du temps, autrement dit qui est conservée.

Oui mais voilà, je choisis deux fonction qui vérifient l'équation locale:

avec a positif
et dont les intégrales sur un volume donnent



Comme il semble que à cause de l'exponentielle je précise.
on doit avoir

Oui mais voilà
a l'évidence l'intégrale dépend du temps, et donc on devrait avoir


C'est surement un truc bête que je ne comprends pas, quelqu'un peut il m'aider?
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,
les équations de continuité sont, parait-il, les lois de conservation locales. Si par exemple j'ai un champ dans l'espace qui obéit à la loi:
où f et sont des fonctions qui caractérisent le champ, alors en intégrant ces lois sur un volume, et en appliquant le théorème de gauss, on obtient:



Du coup si mon est nul à l'infini j'obtiens



dont on peut tirer que



Avec cette constante qui ne dépend pas du temps, autrement dit qui est conservée.

Oui mais voilà, je choisis deux fonction qui vérifient l'équation locale:

avec a positif
et dont les intégrales sur un volume donnent

Bonjour,


D'ou sort tu l'expression de g(r,t)?

[invite473b98a4]

elle est arbitraire, ma question porte surtout sur les mathématiques, pas vraiment la physique, comment une fonction qui vérifie effectivement type "conservation locale" semble mener à une contradiction dans certains cas.

[invite7ce6aa19]

elle est arbitraire, ma question porte surtout sur les mathématiques, pas vraiment la physique, comment une fonction qui vérifie effectivement type "conservation locale" semble mener à une contradiction dans certains cas.

Bonjour,

Les fonctions f et g sont liées et ne sont pas arbitraires. Le choix arbitraire de l'une impose la forme de l'autre.

Quand on écrit Div J (r,t) + dr/dt rho(r,t) = 0

qui représente la conservation de la charge.

Le choix de l'une implique automatiquement l'autre.

Si tu choisis au "hasard" Les deux il n y a aucune chance qu il y ait conservation de la charge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite473b98a4]

Le point n'est pas là, les lois de conservation apparaissent moyennant des relations physiques, mais tout le reste est mathématique.
1)Si tu regardes mes fonctions f et g choisies, elles obéissent bien à une équation du type d/dt+ div = 0.
2)Mon g s'annule à l'infini, donc quand j'applique une intégration sur tout l'espace de sa divergence, je calcule l'intégrale de sa valeur sur la surface à l'infini, elle vaut 0.
3)Il ne reste que mon expression d/dt
4) pourtant on voit bien que l'intégrale dépend du temps.

[invite7ce6aa19]

Le point n'est pas là, les lois de conservation apparaissent moyennant des relations physiques, mais tout le reste est mathématique.
1)Si tu regardes mes fonctions f et g choisies, elles obéissent bien à une équation du type d/dt+ div = 0.

.[/QUOTE]

Pourrais-tu préciser si tu travailles en coordonnées cartésiennes ou sphériques, car j'ai l'impression que tu mélanges les deux.

[invite473b98a4]

Non non, c'est sphérique. C'est la divergence mais en sphérique, qui vaut pour la composante r
, et ici

[invite57f37970]

L'équation de conservation locale n'est pas vérifiée car le terme de divergence contient un terme avec une distribution de Dirac à l'origine et pas le terme de dérivée temporelle.

[invite473b98a4]

Elle est vérifiée "presque partout", mais peut-être que ça pose problème à l'origine, je n'ai pas vu que la divergence en sphérique n'était pas définie à l'origine, est-ce le cas?


et


Je pense bien que c'est une histoire de terme source, mais où est le dirac exactement? Comment le faites vous apparaitre?

[invite57f37970]

Elle est vérifiée "presque partout", mais peut-être que ça pose problème à l'origine, je n'ai pas vu que la divergence en sphérique n'était pas définie à l'origine, est-ce le cas?


et


Je pense bien que c'est une histoire de terme source, mais où est le dirac exactement? Comment le faites vous apparaitre?

Cela vient de , qu'on peut retrouver en utilisant .

En électrostatique par exemple, ça permet de voir que le champ en 1/r^2 correspond à une charge ponctuelle à l'origine via .

Dans le cas présent, les fonctions f et choisies ne vérifient donc pas l'équation de conservation locale à l'origine, donc la grandeur intégrée K varie dans le temps. On peut considérer qu'il y a une source ou un puits de K à l'origine.

[invite473b98a4]

OK merci, ça m'a éclairé.

[invite473b98a4]

Du coup si ma fonction f était:
et que comment se comporte ? et les puissances d'après?

[invite57f37970]

Du coup si ma fonction f était:
et que comment se comporte ? et les puissances d'après?

Je ne suis pas sûr du comportement à l'origine de pour ; cependant de toute façon pour ce choix de fonction f l'intégrale de volume définissant K est divergente à l'origine et donc la question de départ sur la non-invariance de K dans le temps n'est plus pertinente.

[invite473b98a4]

Oui c'est entendu pour l'histoire d'invariance dans le temps, encore que je me pose quelques questions concernant des cas plus concrets. C'est à dire que je reprenais l'argument:

Cela vient de , qu'on peut retrouver en utilisant .

Ici l'intégrand est nul à l'infini et pourtant ça diverge sec à l'origine.

[invite57f37970]

En utilisant le même genre d'arguments, si je décomposais () où serait la partie singulière localisée à l'origine, alors on obtiendrait que quel que soit R
, soit une partie singulière non seulement infinie en zéro mais également d'intégrale infinie...



Entre parenthèses, un vortex irrotationnel a lui aussi un rotationnel nul partout sauf en Dirac à l'origine, comme la divergence du .

[invite473b98a4]

Ah oui ça me fascine cette idée de vortex irrotationnel, il y en a un qui n'a pas de Dirac au centre mais qui diverge sur une surface cylindrique, il faudrait que je retrouve le nom, mais bien sur il diverge aussi, ça doit être un .
Par contre, autant j'ai du voir la divergence du ur/r^2 il y a longtemps, autant je ne crois pas savoir ce que tu as fait juste au dessus. C'est une histoire de régularisation dimensionnelle? C'est loin tout ça, je ne l'ai jamais appliqué. Si tu te sens de faire un petit résumé je suis preneur.

[invite473b98a4]

A bien y réfléchir, si j'utilise la formule:

on obtient:

[invite57f37970]

C'est une histoire de régularisation dimensionnelle? C'est loin tout ça, je ne l'ai jamais appliqué. Si tu te sens de faire un petit résumé je suis preneur.

Non c'est beaucoup plus simple que ça : j'écris l'intégrale de la divergence sur une sphère de rayon R, d'une part comme une intégrale sur la surface de la sphère, et d'autre part comme une intégrale de volume (entre r = et R) et j'égalise les deux. Dans l'intégrale de volume, je sépare la partie "naïve" en et la partie singulière en zéro (un éventuel Dirac par exemple) et je passe la partie naïve dans le membre de droite. Tout cela pour avoir des infos sur .

A bien y réfléchir, si j'utilise la formule:

on obtient:

J'y ai pensé aussi mais je ne sais pas si c'est mathématiquement valide, si quelqu'un avait une idée là-dessus ?

[invite473b98a4]

ah ok, je n'avais pas lu attentivement, c'est plus clair maintenant. Je ne sais pas non plus si c'est valide, mais bon les recettes les plus simples sont souvent les meilleures, dommage qu'on ait pas le même résultat avec les deux calculs.

[invite57f37970]

dommage qu'on ait pas le même résultat avec les deux calculs.

Ils me paraissent compatibles, la partie singulière que tu trouves (à laquelle il manque juste un facteur 4 pi dans ton calcul) est bien infinie en zéro et d'intégrale infinie.

[invite473b98a4]

Oui j'y ai pensé aujourd'hui au 4 pi, je m'en voulais, mais je n'ai pas pu venir corriger. Il y a deux fonctions qui divergent, le 1/r^4 et le delta, alors que ta partie divergente se comporte comme 1/r non? Mais booon, ça diverge, ça c'est sûr.

[invite57f37970]

Il y a deux fonctions qui divergent, le 1/r^4 et le delta, alors que ta partie divergente se comporte comme 1/r non? Mais booon, ça diverge, ça c'est sûr.

J'ai moi aussi une partie en -1/r^4 plus une partie de support localisé en zéro ; cette dernière ne peut se comporter simplement en 1/r sinon son intégrale de volume serait finie et non divergente, et de toute façon son support est strictement localisé à l'origine. Par contre si on suppose comme avec ton calcul que alors son intégrale de volume donne bien la valeur de 1/r en zéro c'est-à-dire l'infini, comme dans mon calcul (où il faut prendre ). Donc ça me paraît toujours compatible ?

[invite473b98a4]

Donc c'est que ça doit être ça...J'ai arrêté de demander trop de justification mathématique depuis que j'en ai demandé quand il ne fallait pas. En tout cas je te dois une fière chandelle pour ce calcul. Merci beaucoup, ça me tarabustait depuis longtemps.

[invite57f37970]

Donc c'est que ça doit être ça...J'ai arrêté de demander trop de justification mathématique depuis que j'en ai demandé quand il ne fallait pas. En tout cas je te dois une fière chandelle pour ce calcul. Merci beaucoup, ça me tarabustait depuis longtemps.

Attention cependant bien que mon calcul soit compatible avec le tien, tout ce que le mien dit c'est que la partie singulière localisée à l'origine doit être infinie d'intégrale infinie, sans spécifier sa forme précise, il est donc compatible avec beaucoup d'autres résultats possibles et apporte beaucoup moins d'information que le tien qui lui donne une forme précise. Mon calcul n'est donc pas une confirmation tout à fait fiable de ton résultat...