oscillations libres amorties / régime critique = amortissement optimal?

[blackcrow91]

Bonjour à toutes et à tous
Quelqu'un pourrait -il m'expliquer comment on peut simplement montrer que le régime critique correspond à un amortissement optimal (le plus rapide)? Ceci est toujours mentionné + graphes mais je n'ai pas trouvé de démo littérale.
Merci

Eric (préparant agreg)
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[stefjm]

Bonjour,
C'est l'optimal sans dépassement. (Si on tolère un dépassement de 5%, parce qu'on mesure le temps de réponse à 5%, l'optimum est à amortissement de .)

La démo est très simple en regardant les pôles dans le plan complexe quand on fait varier le coeff d'amortissement.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28+p^2%2B2*m*p%2B1%3D 0%2Cp%29

Si m>1, il y a toujours un pôle plus rapide que l'autre (et donc négligeable) sauf lorsque les deux pôles sont ensembles en .
Si m<1, la partie réelle est en , mais la partie imaginaire provoque du dépassement qui fait que cela oscille des plombes avant de se stabiliser. (et cela dépasse les 5% pour le temps de réponse qui devient prohibitif.)

Cordialement.

[stefjm]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28+p^2%2B2*m*p%2B1%3D 0%2Cp%29

Le lien en automatique.
Il y a des caractères spéciaux qui passent mal...