disque tournant relativiste

[DorioF]

Salut

la relativité restreinte est vraiment intéressante et vaste d’ailleurs j'ai l’impression que celui qui comprend très bien les fondements de la RR comprendrai plus facilement la RG. elle est plus riche que ce que je pensais.

ma question est assez simple mais je n'arrive pas à trouver une réponse correcte.

soit un référentiel R' en rotation par rapport à un référentielle R supposé inertiel avec une vitesse angulaire .

soit une particule immobile dans R se situant à une distance r (par rappor à R évidement).

quelle est la vitesse de la particule dans R' ?

j'ai envie de dire

cela conduirai à une vitesse plus grande que C. mais j'arrive pas à trouver la vitesse correcte.

PS: j'adore cette expérience de pensé elle montre la richesse de la RR.
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[QuarkTop]

Bonjour,
Je pense que c'est correct, la vitesse coordonnée d'un objet réel dans un système de coordonnées arbitraire peut dépasser c. Ce qui est cohérent car dans le référentiel tournant R', à grand rayon, aucun objet ne peut rester immobile. C'est comme si je faisais un changement de coordonnées x'=x-42 c t (et t'=t) à partir d'un système (x,t) inertiel : un objet immobile dans R aurait une vitesse coordonnée de 42 c dans R'. Moralité, la vitesse coordonnée dans un système de coordonnées arbitraires a peu de signification ! La vitesse de la lumière peut même s'annuler dans une direction, comme sur l'horizon des événements d'un trou noir en coordonnées de Schwarzschild...

[DorioF]

Merci beaucoup Quark Top. c'est la réponse que j'espérais. je suis vraiment content

[Amanuensis]

Il y a quand même un petit problème: quelle est la définition d'un référentiel "en rotation"?

La réponse de quarktop ne pose pas de problème, sauf qu'il n'y est question que de "un système de coordonnées arbitraire" et pas de référentiel.

[Le S.C. (t, x') obtenu par (t x) -> (t, x') = (t, x-42t) ne donne pas un référentiel, car la ligne x'=0 a pour équation paramétrique dans le référentiel inertiel t -> t(1,-42) qui n'est pas de genre temps mais de genre espace.

Mais c'est aussi que je prends une définition contraignante: un référentiel est une partition d'un ouvert de l'espace-temps en lignes de genre temps, et un système de coordonnée sur cet ouvert définit un référentiel seulement si les lignes t -> (t, x, y, z) avec (x, y, z) constant sont toutes de genre temps (ou encore est un champ de genre temps). Avec cette définition les coord. de Schw. ne définissent un référentiel que pour l'ouvert r>r_s.]

[A voir en vidéo sur Futura]

[QuarkTop]

Il y a quand même un petit problème: quelle est la définition d'un référentiel "en rotation"?

La réponse de quarktop ne pose pas de problème, sauf qu'il n'y est question que de "un système de coordonnées arbitraire" et pas de référentiel.

[Le S.C. (t, x') obtenu par (t x) -> (t, x') = (t, x-42t) ne donne pas un référentiel, car la ligne x'=0 a pour équation paramétrique dans le référentiel inertiel t -> t(1,-42) qui n'est pas de genre temps mais de genre espace.

Mais c'est aussi que je prends une définition contraignante: un référentiel est une partition d'un ouvert de l'espace-temps en lignes de genre temps, et un système de coordonnée sur cet ouvert définit un référentiel seulement si les lignes t -> (t, x, y, z) avec (x, y, z) constant sont toutes de genre temps (ou encore est un champ de genre temps). Avec cette définition les coord. de Schw. ne définissent un référentiel que pour l'ouvert r>r_s.]

En effet, on a le même problème avec sous l'horizon des événements en coordonnées de Schwarzschild, qu'avec les rayons dans le disque tournant : les lignes d'univers définies par des coordonnées "spatiales" constantes deviennent du genre espace et donc dans ce sens elles ne définissent plus vraiment un référentiel, sauf par abus de langage. On le voit au fait que dans ce genre de pseudo référentiel un objet ne peut rester au repos, c'est-à-dire qu'il est incapable de suivre une de ces lignes d'univers de genre espace.

[DorioF]

ça m'a un peu embrouillé es ce que ça veut dire que j'ai tord !!

parce que j'ai l'impression qu'une particule immobile dans R peut avoir une vitesse supra-luminique dans R' !!

par contre je comprend qu'aucune particule ne peut être lié au référentiel R' si
[TEX ]r > \omega / c[/TEX]

(R inertiel R' tournant)

[QuarkTop]

ça m'a un peu embrouillé es ce que ça veut dire que j'ai tord !!

parce que j'ai l'impression qu'une particule immobile dans R peut avoir une vitesse supra-luminique dans R' !!

par contre je comprend qu'aucune particule ne peut être lié au référentiel R' si
[TEX ]r > \omega / c[/TEX]

(R inertiel R' tournant)

Non tu n'as pas tort, c'est juste qu'on hésite à utiliser le terme de "référentiel" dans le cas où aucune particule ne peut lui être liée (c'est-à-dire ne peut y être immobile), mais c'est juste une question de définition, ça ne change pas le fond je pense. La particule a bien une vitesse supérieure à c dans le système de coordonnées R' (qu'on appelle R' référentiel ou pas).
(Au fait tu as ta formule à l'envers c'est c/omega)

[DorioF]

ah oui c'est vrai

j'ai compris mais dans ce cas le disque tournant est il un référentiel ou non ou ça dépend du rayon et de la vitesse de rotation si c'est la troisième qui est la bonne alors normalement j'ai compris.

si j'insiste autant sur ce disque c'est parce qu'il a tout ce dont j'ai besoin de savoir concernant la théorie de la relativité si je le comprends bien il me restera surtout à développer les calculs qui seront plus facile à comprendre.

Merci

[QuarkTop]

Par contre il faut faire attention à une subtilité entre "supérieur à c" et "plus vite que la lumière". Dans un système de coordonnées inertiel (t,x,y,z), les vitesses possibles de la lumière dans différentes directions forment une sphère de rayon c. Les vitesses possibles des corps massifs sont toutes strictement incluses à l'intérieur de cette sphère.

Mais dans un système de coordonnées arbitraire, les vitesses possibles de la lumière sont déterminées par l'équation soit et la métrique ne vaut plus . La sphère de rayon c est en général déformée en un ellipsoïde qui n'est en plus même plus centré sur l'origine. Les vitesses peuvent dépasser c numériquement mais toutes les vitesses des corps massifs restent incluses à l'intérieur de cet ellipsoïde excentré et restent donc, dans ce sens bien précis, "infra-luminiques". A noter qu'une déformation de la sphère peut déjà être la conséquence d'une simple redéfinition des coordonnées purement spatiales.

Le cas où on peut hésiter à associer un référentiel au système de coordonnées est celui où l' "entraînement de l'espace" est tellement important que l'origine des vitesses n'est plus incluse dans l'ellipsoïde des vitesses permises, autrement dit l'immobilité est impossible et le terme même de vitesse devient douteux. C'est ce qui se passe aux grands rayons du disque tournant.

Une précaution supplémentaire, la vitesse coordonnée est souvent peu pertinente pour de multiples raisons : rien que dans des coordonnées cylindriques, par exemple ce n'est pas qu'on associe au concept naturel de vitesse orthoradiale mais plutôt , ce que j'ai fait implicitement en disant que cette vitesse était supérieure à c dans R'. Je pense que la recette générale pour parler de vitesse (toujours inférieure à c) mesurée par un observateur donné en un point x c'est d'associer à cet observateur une base orthonormée ou co-tétrade (avec a=0..3 les 4 co-vecteurs) et d'y projeter les composantes de la quadrivitesse de l'objet observé : . On a alors des composantes de la quadrivitesse qui vérifient et on peut définir une vitesse observée (i=1..3).

[Amanuensis]

j'ai compris mais dans ce cas le disque tournant est il un référentiel ou non ou ça dépend du rayon et de la vitesse de rotation si c'est la troisième qui est la bonne alors normalement j'ai compris.

C'est la troisième.

Mais je l'exprime en disant que, si on note S' le système de coordonnées (t', x', y', z') obtenu par le changement de coordonnée suivant, en partant de (t, x, y, z) des coordonnées définissant un référentiel inertiel :

t' = t
x' = x cos ωt
y' = y sin ωt
z' = z

alors S' ne définit un référentiel que pour l'ouvert 4D défini par x²+y² = x'²+y'² < c²/ω²

[QuarkTop]

t' = t
x' = x cos ωt
y' = y sin ωt
z' = z

Il manque un bout à ta matrice de rotation, ça devrait donner un truc du genre

x' = x cos wt + y sin wt
y' = -x sin wt + y cos wt

[Amanuensis]

Oops... Merci de la correction.

[DorioF]

Bon bain je crois que j'ai compris le principe vous êtes géniaux merci beaucoup. maintenant je dois essayer de comprendre les calcules j'ai le minimum pour aborder la relativité restreinte. je pense que c'est très important de bien la maîtriser avant d'essayer d'aborder la RG.

par contre es ce que c'est possible de démontrer l'invariance de l'interval spatio-temporelle dans tout référentielles et non pas seulement dans le cas des référentiel inertiel. disons que je cherche à arriver à l'espace de Minkowski en partant du groupe de lorentz (je ne sais pas si c'est possible).

Merci

[Amanuensis]

par contre es ce que c'est possible de démontrer l'invariance de l'interval spatio-temporelle dans tout référentielles et non pas seulement dans le cas des référentiel inertiel.

La question soulève en elle-même des questions. Qu'est l'intervalle spatio-temporel pour vous?

Si c'est la forme bilinéaire dont l'expression est dt²-dx²-dy²-dz² dans un système de coordonnées inertiel, alors cette forme bilinéaire est définie indépendamment de tout système de coordonnées. Pour passer à un autre, i.e., d'avoir son expression en fonction d'autres coordonnées, suffit d'appliquer les transformations correspondantes, que ce soit celles de Lorentz ou d'autres.

[QuarkTop]

La question soulève en elle-même des questions. Qu'est l'intervalle spatio-temporel pour vous?

Si c'est la forme bilinéaire dont l'expression est dt²-dx²-dy²-dz² dans un système de coordonnées inertiel, alors cette forme bilinéaire est définie indépendamment de tout système de coordonnées. Pour passer à un autre, i.e., d'avoir son expression en fonction d'autres coordonnées, suffit d'appliquer les transformations correspondantes, que ce soit celles de Lorentz ou d'autres.

Si on définit par l'intervalle spatio-temporel entre deux événements infiniment proches comme l'action de cette forme bilinéaire sur le vecteur infinitésimal reliant ces deux événements, alors ça devient le scalaire

qui est bien invariant quel que soit le système de coordonnées (inertiel ou pas), à condition de bien transformer la métrique et le vecteur par changement de coordonnées selon



et effectivement dans un système de coordonnées inertiel on a , qui ne change pas de forme si on change de coordonnées pour d'autres coordonnées inertielles.

[DorioF]

ah d'accord je vois mieux (vous êtes extra).

j'ai une autre question:

soit une particule en mvt quelconque pour connaitre son temps propre je pensais qu'il fallait calculer intervalle spatio-temporelle (qui est un scalaire) donc dans le référentiel liée (dx=dy=dz=0) et donc

mais je me rend compte que j'ai tord il me manque un facteur


donc il me manque un facteur.j'ai repensé au paradoxe de Langevin mais bon dans ce cas puisque on suppose que la période de décélération ne dure pas long temps on peut négliger le facteur don je parle. mais si on suppose par contre que je jumeau décélère pendant tout le trajet retour alors dans ce cas on peut plus le négliger.

votre aide m'aide vraiment à progresser. merci.

d'ailleurs j'ai l'impression que l'espace-temps est absolue

[Amanuensis]

soit une particule en mvt quelconque pour connaitre son temps propre je pensais qu'il fallait calculer intervalle spatio-temporelle (qui est un scalaire)

Oui. Mais le calcul essentiel se fait simplement en prenant la métrique: entre les événements A et B de la trajectoire, A et B suffisamment proches pour négliger l'accélération, l'accroissement de temps propre est tel que . Suffit de choisir un système de coordonnées quelconque, d'y exprimer la métrique ainsi que les coordonnées de A et B, puis appliquer la formule.

donc dans le référentiel liée (dx=dy=dz=0) et donc

En RR (en encore plus en RG) il est dangereux de parler du référentiel d'une particule. Une particule ne définit qu'une ligne d'Univers, pas suffisant pour définir un référentiel.

mais je me rend compte que j'ai tord il me manque un facteur

Pourquoi?

donc il me manque un facteur.j'ai repensé au paradoxe de Langevin mais bon dans ce cas puisque on suppose que la période de décélération ne dure pas long temps on peut négliger le facteur don je parle. mais si on suppose par contre que je jumeau décélère pendant tout le trajet retour alors dans ce cas on peut plus le négliger.

Nul besoin d'évoquer les jumeaux! Ce (faux) paradoxe n'intervient que si on considère deux lignes d'Univers.

d'ailleurs j'ai l'impression que l'espace-temps est absolue

À un certain sens, oui. Mais faut se méfier de cette expression. Qu'entendez-vous par là, plus précisément?

[QuarkTop]

soit une particule en mvt quelconque pour connaitre son temps propre je pensais qu'il fallait calculer intervalle spatio-temporelle (qui est un scalaire) donc dans le référentiel liée (dx=dy=dz=0) et donc

mais je me rend compte que j'ai tord il me manque un facteur


donc il me manque un facteur.

Attention pour éviter les confusions on réserve souvent la lettre pour le temps propre et t pour le temps coordonnée. Avec ces notations, et en remplaçant les par des d pour faire plus simple (léger mais fréquent abus de notation) et pour ne pas oublier qu'on parle bien d'infinitésimaux uniquement, pour un intervalle de type temps on a en toute généralité et ça se réduit à le long de la trajectoire, dans un système de coordonnées où la particule est au repos .

j'ai repensé au paradoxe de Langevin mais bon dans ce cas puisque on suppose que la période de décélération ne dure pas long temps on peut négliger le facteur don je parle. mais si on suppose par contre que je jumeau décélère pendant tout le trajet retour alors dans ce cas on peut plus le négliger.

Tu parles sans doute pour ton premier cas d'un système de coordonnées où le jumeau accéléré est au repos, et dont le "demi-tour" est instantané ? Il faudrait voir ce que tu as pris comme coordonnées. Comme le dit Amanuensis, pour une particule non inertielle il n'y a pas de manière canonique de lui associer tout un système de coordonnées en RR (et même pour une particule inertielle en RG).

d'ailleurs j'ai l'impression que l'espace-temps est absolue

Comme le dit Amanuensis c'est vrai dans un certain sens : les vitesses sont relatives, les accélérations et mouvements de rotations restent absolus, par rapport à la classe privilégiée des référentiels inertiels. Je ne sais pas si c'est comme ça que tu l'entends ?

[DorioF]

Avec ces notations, et en remplaçant les par des d pour faire plus simple (léger mais fréquent abus de notation) et pour ne pas oublier qu'on parle bien d'infinitésimaux uniquement, pour un intervalle de type temps on a en toute généralité et ça se réduit à le long de la trajectoire, dans un système de coordonnées où la particule est au repos .

j'ai mis des delta au de d parce que je considère que est une constante. (mais vu votre message j'en doute)

ensuite et la ça m’embrouille un peu.



je pensais que



parce que c'est ce que l'observateur mesure. si vous pouviez m’éclaircir ce point. pour le reste je comprends mes erreurs. sauf pour celle là.

merci vraiment merci vous me faites économiser beaucoup de temps.

[QuarkTop]

j'ai mis des delta au de d parce que je considère que est une constante. (mais vu votre message j'en doute)

En général ce n'est pas une constante, ça dépend de l'espace et du temps. Ca peut être constant sur une certaine trajectoire dans un certain système de coordonnées, ça dépend du problème.

ensuite et la ça m’embrouille un peu.



je pensais que



parce que c'est ce que l'observateur mesure. si vous pouviez m’éclaircir ce point. pour le reste je comprends mes erreurs. sauf pour celle là.

Non, l'intervalle ds par définition c'est exactement la même chose que le temps propre (pour des intervalles de type temps sinon on parle plutôt de longueur propre que de temps propre). C'est ça l'invariant. Soit une trajectoire quelconque reliant un événement A à un événement B. Dans le système (t,x,y,z), on a pour la différence de temps coordonnée t entre B et A (en réservant maintenant pour des variations finies). Dans un système (t',x',y',z'), ça donnerait soit autre chose en général. Par contre quel que soit le système, la différence de temps propre entre A et B sur cette trajectoire est la même et correspond à ce que la personne sur sa trajectoire (où est un paramètre arbitraire) mesure sur son chronomètre entre départ et arrivée :
.

[QuarkTop]

PS : Bien sûr, deux trajectoires différentes reliant A et B mesureront en général un différent sur leurs chronomètres respectifs, comme dans le paradoxe des jumeaux...

[Amanuensis]

parce que c'est ce que l'observateur mesure. si vous pouviez m’éclaircir ce point. pour le reste je comprends mes erreurs. sauf pour celle là.

Hmm... A priori vous avec en tête qu'il y a une sorte de temps absolu, et que les durée propres sont proportionnelles à la durée absolue, avec le coefficient de proportionnalité. C'est (malheureusement) une erreur pas rare, une mauvaise compréhension de la "dilatation du temps" et de certaines résolutions du paradoxe des jumeaux.

En fait, c'est l'inverse: dans la relation (ou sont équivalent RR, , des relations à manier avec précaution, ou même plutôt à éviter...), est "absolu" (indépendant de tout référentiel, de tout système de coordonnées, de tout observateur) et dt est une quantité dépendant de l'observateur (ou plus exactement du système de coordonnées qu'il emploie): c'est ce que mesure l'observateur. De même (par conséquence) est spécifique à l'observateur.

La "dilatation des durées" doit se lire dans le sens où une durée propre sera vue "dilatée" par un observateur, la mesure de l'observateur étant "faussée" par la vitesse relative. C'est une sorte d'effet de perspective. La vitesse relative (de l'observateur par rapport à ce qu'il regarde) ne dilate pas les durées vécues par le mesuré, elle rend plus grande la mesure qu'en fait l'observateur.

[DorioF]

Ahh non Amanuensis je sais qu'il n'y a pas de temps absolue (c'est comme dire qu'il y a un x absolue ou un z absolue ).

par contre je n'ai toujours pas compris le mieux serait que je fasse tourner le problème un peu et que j'ouvre un nouveau poste quand j'aurai les idées plus claire. sinon je vais dire du n'importe quoi et j'ai pas envie.

merci infiniment à vous deux.

[QuarkTop]

Si tu pars d'un système inertiel (t,x,y,z) avec alors le temps coordonnée t coïncide avec le temps propre des particules qui sont immobiles dans ce système () :
.

Si tu t'amuses à redéfinir t'=666 t (et x'=x, y'=y, z'=z) alors, dans le système (t',x',y',z'), ne vaut plus mais vaut 1/666 et pour une particule immobile on a .

Vu comme ça ce facteur est très banal et indispensable pour corriger l'arbitraire des coordonnées primées choisies, qui en général n'auront pas de signification métrique particulière, contrairement aux coordonnées inertielles. Mais je te laisse y réfléchir...

[DorioF]

quarckTop vous etes trop Top ^^" .

justement j'ai réfléchis à ça. et je me perd un peu entre l'arbitraire et ce qui ne l'est pas. et c'est embrouillé dans ma tete je dois voir le calcul tensoriel je lis "le calcul tensoriel en physique" de jean Hladik. je pense que je trouverai mes réponses puis je reposerai la question. mais honnêtement vos réponses m'ont énormément aidé en particulier quark vous semblez comprendre mes questions très bien c'est rare que ça m'arrive.

disons que la relativité m'a enlevé le concept intuitif de l'espace et la je veux récupérer ce qu'on m'a volé .

[Amanuensis]

Si tu t'amuses à redéfinir t'=666 t (et x'=x, y'=y, z'=z) alors, dans le système (t',x',y',z'), ne vaut plus mais vaut 1/666 et pour une particule immobile on a .

C'est bien le seul cas où la formule a un sens clair.

C'est surtout réfléchir aux autres cas qui est utile.

[Le diable est dans les détails?]

[Amanuensis]

disons que la relativité m'a enlevé le concept intuitif de l'espace et la je veux récupérer ce qu'on m'a volé .

Faut passer à la 4D.

[DorioF]

oui voilà la 4D . merci Amanuensis.