Disque en rotation relativiste - Une hypothèse erronée ?

[invite289c27d7]

Bonjour,

J’ai toujours été intrigué par les résultats qui découlent de l’étude d’un disque en rotation relativiste : la circonférence propre augmente mais pas le rayon ce qui pousse à abandonner la géométrie euclidienne. Une autre conséquence gênante est l’impossibilité de synchroniser les horloges sur la circonférence et l’apparition d’une déchirure temporelle (time gap).

Ces résultats bizarroïdes découlent de l’approximation initiale suivante :

« un arc de la circonférence du disque est considéré pendant un petit moment comme un référentiel inertiel »

Or, cette hypothèse me semble fausse : on ne peut pas assimiler un arc de circonférence à un référentiel inertiel.

Pour être plus précis, en notant R le référentiel inertiel dans lequel tourne le disque :

1. Je peux considérer un référentiel inertiel local L
2. Pendant un petit laps de temps, l’arc de circonférence sera immobile par rapport à L
3. MAIS il y a une déformation relativiste entre l’arc et le référentiel L
4. Cette déformation est une dilation (L voit l’arc de cercle dilaté) d’un facteur gamma
5. Comme vues de R les longueurs du référentiel L sont contractées d’un facteur gamma : le référentiel R mesure la longueur propre de l’arc de circonférence

Finalement les choses sont très simples : le disque en rotation reste dans la géométrie euclidienne et les horloges sont synchronisées sur les cercles concentriques.

J’ai documenté cette analyse ici.
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[invite289c27d7]

Je m’aperçois que j’ai oublié d’expliquer d’où venait cette dilatation de l’arc de circonférence.

Elle vient du fait qu’on néglige l’effet de la perte de simultanéité :

1. Vue du référentiel local, la roue est contractée sous forme d’ellipse
2. Il a également une perte de simultanéité entre les points de la circonférence
3. Les deux extrémités de l’arc sont donc à des âges légèrement différents
4. Comme l'angle varie en fonction du temps, ce décalage temporel engendre un décalage angulaire entre les extrémités
5. Le calcul précis montre que le décalage angulaire dilate l'arc de cercle d'un facteur gamma

La déformation résultant de la perte de simultanéité est bien sûr valable sur l’ensemble du disque. Voici ce que ça donne (le référentiel local d'où est vu le disque est tangent à droite) :



Les points de la circonférence à proximité du référentiel local sont espacés. Du côté diamétralement opposés au contraire, ils se densifient et les distances sont contractées.

La couleur de fond représente l'effet de la perte de simultanéité: rouge pour plus âgé que l'axe des abscisses et vert pour moins âgé.

> Les formules sont données en annexe dans les trois dernières pages du dossier d'analyse.

[Deedee81]

Bonjour,

Merci pour cette belle analyse. J'avais déjà lu plusieurs belles études du sujet mais toutes en anglais. Et en plus, c'est vachement bien écrit

[stefjm]

C'est le dada de Chaverondier, il ne devrait pas tarder...

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

J’ai toujours été intrigué par les résultats qui découlent de l’étude d’un disque en rotation relativiste : la circonférence propre augmente mais pas le rayon ce qui pousse à abandonner la géométrie euclidienne.

La circonférence n'augmente pas à proprement parler. Ce sont les mètres en rotation à vitesse v le long du cercle qui subissent la contraction de Lorentz en (1-v²/c²)^(1/2). Mesurés avec des mètres en rotation à 87% de la vitesse de la lumière le long d'un cercle, la circonférence du cercle est trouvée égale à 4 pi R (peu importe, d'ailleurs, que ces mètres tournants soient observés par des observateurs qui tournent ou pas).

En fait, ce sont les thèmes favoris de la vulgarisation de la relativité (il n'y a pas de contraction de Lorentz, c'est une illusion, etc, etc) répétés et rerépétés sans préciser leur domaine de validité qui provoquent des difficultés importantes pour admettre le caractère non réciproque des effets relativistes dans les référentiels tournants.

Une autre conséquence gênante est l’impossibilité de synchroniser les horloges sur la circonférence et l’apparition d’une déchirure temporelle (time gap). Ces résultats bizarroïdes...

Cela n'a rien de bizarre. Le feuilletage 3D de l'espace-temps (pseudo)orthogonal au feuilletage 1D par les lignes d'univers des observateurs tournants n'est pas intégrable en feuillets 3D de simultanéité. La simultanéité locale vue par les observateurs tournants ne peut se transformer en simultanéité globale applicable à l'ensemble du référentiel tournant (effet Sagnac).

Mathématiquement, la dérivée extérieures du champ de vecteurs unitaires de type temps tangents aux observateurs tournants n'est pas nulle (en quelques sortes, le temps vu localement par les observateurs tournants a "un rotationnel" il tourne). La condition d'intégration du feuilletage du référentiel tournant en feuillets 3D de simultanéité n'est pas satisfaite.

Ces résultats bizarroïdes découlent de l’approximation initiale suivante :

Ces résultats ne découlent pas d'une approximation. Ils sont corrects. C'est la généralisation à des référentiels en rotation de considérations de réciprocité (qualifiées d'illusion) appliquables aux référentiels en translation qui engendrent de faux paradoxes concernant les référentiels tournants. La réciprocité des effets relativistes et l'existence d'un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité ne s'appliquent pas aux référentiels tournants, mais seulement aux référentiels inertiels.

« un arc de la circonférence du disque est considéré pendant un petit moment comme un référentiel inertiel »

On ne peut pas se servir de ça. Se fiant à ce que lui dit l'observateur du référentiel inertiel tangent (mesures locales), l'observateur tournant croit que c'est le mètre de l'observateur non tournant qui est contracté. L'observateur non tournant pense que c'est le mètre de l'observateur tournant qui est contracté, et c'est l'observateur non tournant qui a raison.

On ne peut pas assimiler le référentiel tournant à une famille de référentiels inertiels tangents. Ca ne marche pas. En particulier, en se servant de mesures locales, l'observateur tournant trouve que la vitesse de la lumière est isotrope. Il ne sait pas que la vitesse de la lumière par rapport à son référentiel tournant est (globalement) anisotrope dans le sens circonférentiel.

Un observateur en mouvement inertiel dans un espace-temps statique hypertorique est d'ailleurs dans la même situation d'impossibilité de constater (localement) l'anisotropie de la vitesse de la lumière dans son référentiel, et, d'une façon plus générale, le caractère non réciproque des effets relativistes.

Je m’aperçois que j’ai oublié d’expliquer d’où venait cette dilatation de l’arc de circonférence. Elle vient du fait qu’on néglige l’effet de la perte de simultanéité.

Cette "dilatation" vient du fait que le mètre tournant servant à mesurer la longueur de cet arc a subi la contraction de Lorentz lorsqu'on l'a mis en rotation à la vitesse v (l'arc est vu dilaté par l'observateur tournant, mais c'est une illusion due à la contraction de Lorentz de son mètre).

Pas besoin d'évoquer des considérations de simultanéité. La distance séparant deux observateurs tournants voisins ne dépend pas de considérations de simultanéité. Il suffit de procéder à des mesures de temps d'aller retour d'un faisceau laser pour constater que la distance séparant deux observateurs tournants à vitesse v sur un cercle de rayon R, distants l'un de l'autre d'un angle au centre dalpha sur un cercle de rayon R trouvent que la distance circonférentielle les séparant vaut R dalpha/(1-v²/c²)^(1/2).

Tout cela se comprend très bien en notant que

• les mètres une fois mis en rotation à vitesse v (s'ils sont maintenus en état libre de contrainte) subissent une contraction de Lorentz en (1-v²/c²)^(1/2) (qui ne peut plus être interprétée comme une "illusion d'optique relativiste" dans le cadre des référentiels tournants)
• les horloges mises en rotation subissent la dilatation temporelle de Lorentz : elles ralentissent. C'est le "paradoxe" de Langevin qui se comprend très bien dans le cadre du référentiel tournant parce qu'on a un référentiel privilégié, le référentiel inertiel où l'axe de rotation est immobile (et qu'on a donc plus de réticence idéologique à employer la métaphore Lorentzienne expliquant les effets relativistes dans un cadre s'appuyant sur l'hypothèse d'existence d'un référentiel inertiel inobservable puisque dans le cas du référentiel tournant, le référentiel privilégié est observable. C'est celui où l'axe du référentiel tournant est immobile)
• la lumière se déplace (par rapport au disque tournant) à vitesse c+v dans le sens opposé à la rotation du disque et à vitesse c-v dans l'autre sens. L'observateur tournant est en mesure de vérifier cette anisotropie (effet Sagnac)

C'est le dada de Chaverondier, il ne devrait pas tarder...

Encore une victoire de Pavlov

[invite289c27d7]

Merci Chaverondier de cette réponse argumentée.

Je ne nie pas du tout la contraction de Lorentz ni les effets de la relativité. J’ai une chaine Youtube où j’ai mis quelques videos de vulgarisation : http://www.youtube.com/user/al1brn


Le coeur de ma question est cette affirmation:

Ce sont les mètres en rotation à vitesse v le long du cercle qui subissent la contraction de Lorentz

Vous m’accordez que c’est bien une approximation : les mètres ne sont pas en déplacement linéaire, ils tournent un tout petit peu durant le laps de temps considéré et cette rotation ne me semble pas devoir être négligée contrairement aux apparences.

Je me place dans un référentiel inertiel L dans lequel votre mètre fixé sur le disque est (à peu près) immobile. J’appelle les extrémités du mètre A et B.

Sur les quatre points suivants, je voudrais comprendre où je fais une erreur:

1. L'approximation habituelle est de dire que la distance entre A et B mesurée par des observateurs de L est la distance propre (elle vaut un mètre ici)
   
   MAIS
   
2. A et B n’ont pas le même âge observé de L. Disons qu’il y a une seconde d’écart
3. Donc toujours observé de L, l’angle entre les points A et B vaut l’angle propre au repos ADDITIONNE DE L’ANGLE DONT TOURNE LE DISQUE DURANT UNE SECONDE
4. En faisant les calculs, cet écart de rotation n’est pas négligeable.

Petite précision:

Dans le référentiel du laboratoire, les points A et B sont animés d'une vitesse relativiste, du fait de la dilatation du temps, ils vieillissent moins vite.
Il y a donc une ambiguité possible lorsque je parle de l'âge de A et B.

Le temps dont je parle est "le temps propre du laboratoire" qui me donne de manière bijective la position d'un point sur la circonférence.

De cette manière, mon raisonnement ne porte que sur deux référentiels inertiels sans aucune approximation (du moins il me semble).

[chaverondier]

Ce sont les mètres en rotation à vitesse v le long du cercle qui subissent la contraction de Lorentz

Vous m’accordez que c’est bien une approximation

Non.

Les mètres ne sont pas en déplacement linéaire, ils tournent un tout petit peu durant le laps de temps considéré et cette rotation ne me semble pas devoir être négligée contrairement aux apparences.

Il faut considérer des "petits mètres" dl (la métrique spatiale induite, dans le référentiel considéré, par la métrique spatio-temporelle). Cela correspond au temps dt d'aller-retour de la lumière entre deux observateurs "voisins", au repos dans ce référentiel, multiplié par c et divisé par deux.

Plus précisément, on considère deux points "voisins" A et B tournant à vitesse v sur un cercle de rayon R et séparés par un angle au centre dalpha :

• la distance les séparant dans le référentiel non tournant vaut donc R dalpha
  .
• le temps aller de la lumière de A vers B (celui où la lumière "court à vitesse c après B" qui s'éloigne de A à la vitesse v) vaut :
  dT1 = R dalpha/(c-v) quand il est mesuré dans le référentiel non tournant et dt1 = dT1(1-v²/c²)^(1/2) quand il est mesuré dans le référentiel tournant
  .
• le temps de retour de la lumière de B vers A (celui où la lumière revient à vitesse c vers A qui se rapproche de B à la vitesse v) vaut :
  dT2 = R dalpha/(c+v) quand il est mesuré dans le référentiel non tournant et dt2 = dT2(1-v²/c²)^(1/2) quand il est mesuré dans le référentiel tournant
  .
• Le temps dt d'aller-retour, mesuré par l'observateur tournant vaut :
  dt = dt1+dt2 = R dalpha (1-v²/c²)^(1/2)[1/(c-v)+1/(c+v)] = 2 R c dalpha (1-v²/c²)^(1/2)/(c²-v²) = 2 (R dalpha/c) (1-v²/c²)^(1/2)/(1-v²/c²)
  dt = 2 (R dalpha/c)/(1-v²/c²)^(1/2)

Finalement dl = c dt/2 = R dalpha/(1-v²/c²)^(1/2)

A et B n’ont pas le même âge observé de L. Disons qu’il y a une seconde d’écart

Il n'est pas nécessaire de faire intervenir les considérations de simultanéité pour définir la métrique spatiale dans un référentiel non inertiel (dont la métrique est stationnaire pour que l'on puisse parler de la distance entre observateurs indépendamment du temps). Pour définir la métrique spatiale, il suffit de mesurer le temps d'aller-retour et de multiplier le résultat par c/2 entre points infiniment voisins au repos dans le référentiel considéré. La longueur d'une courbe tracée dans le référentiel en question est alors obtenue par intégration de la métrique (c'est à dire en mettant bout à bout les "petits mètres de longueur dl" et en les "comptant").

[Amanuensis]

En particulier, en se servant de mesures locales, l'observateur tournant trouve que la vitesse de la lumière est isotrope. Il ne sait pas que la vitesse de la lumière par rapport à son référentiel tournant est (globalement) anisotrope dans le sens circonférentiel.

Il me semble qu'exprimé comme cela, cette assertion risque d'être mal comprise. Un simple gyromètre à effet Sagnac (ce qui est pour moi une mesure locale, au sens où le gyromètre peut être aussi petit qu'on veut) permet à l'observateur tournant de découvrir une anisotropie dans les trajectoires de la lumière.

(Du coup la différence entre les deux observateurs est objective, elle ne se réduit pas à une symétrie de systèmes de coordonnées.)

[chaverondier]

Il me semble qu'exprimé comme cela, cette assertion risque d'être mal comprise.

Je suis d'accord. Le terme de local peut effectivement être mal compris. Il faut vraiment le prendre au sens des "infiniment petits" au voisinage de l'observateur tournant considéré.

[invite289c27d7]

A) Concernant l’approximation

Non.

Vous me dîtes que ce n’est pas une approximation, pourtant vous êtes bien d’accord que la distance dl aussi petite soit-elle et sur un instant aussi court que l'on veut ne se déplace pas de manière strictement rectiligne mais tourne légèrement ?

Le passage à la limite n'est valide que si l'analyse différentielle est correcte.

B) Concernant la mesure des longueurs par effet laser

Merci de m'avoir précisé le protocole de mesure des distances, j'allais vous le demander.

Je comprends (et suis ok) jusque

et dt1 = dT1(1-v²/c²)^(1/2) quand il est mesuré dans le référentiel tournant

Là, je ne comprends pas comment vous faites la mesure dans le référentiel tournant. La dilatation du temps dépend de la distance au centre. Ne faut-ils pas préciser de quel endroit vous faites la mesure du temps ? Au centre ? A la périphérie ?

C) Concernant la perte de simultanéité

Il n'est pas nécessaire de faire intervenir les considérations de simultanéité pour définir la métrique spatiale dans un référentiel non inertiel

Justement, j’essaie de comprendre comment on passe des postulats de la RR qui portent sur des référentiels inertiels aux résultats sur les référentiels tournants.

Je ne parle donc que de deux référentiels inertiels : le laboratoire et le référentiel local tangent.

Donc, même si ça ne mène à rien, est-ce que je me trompe en disant que A et B (qui ont une position déterminée à chaque instant du laboratoire) ont une différence de simultanéité vus du référentiels inertiel local ?

[chaverondier]

dt1 = dT1(1-v²/c²)^(1/2) quand il est mesuré dans le référentiel tournant

Comment vous faites la mesure dans le référentiel tournant. La dilatation du temps dépend de la distance au centre.

Oui, v = oméga R

Ne faut-il pas préciser de quel endroit vous faites la mesure du temps ? Au centre ? A la périphérie ?

Non. La vitesse v au "point" du référentiel tournant où on mesure la durée infinitésimale d'aller-retour infinitésimal suffit.

Est-ce que je me trompe en disant que A et B (qui ont une position déterminée à chaque instant du laboratoire) ont une différence de simultanéité vus du référentiels inertiel local?

Non. C'est juste. En Relativité Restreinte, la simultanéité entre évènements dépend du référentiel considéré (mais on n'a pas besoin de recourir aux considérations de simultanéité pour définir la métrique spatiale dans un référentiel. La mesure laser de distance entre observateurs "voisins" définit la métrique spatiale induite par la métrique spatio-temporelle dans le référentiel considéré).

[Amanuensis]

Justement, j’essaie de comprendre comment on passe des postulats de la RR qui portent sur des référentiels inertiels aux résultats sur les référentiels tournants.

D'une manière très simple: en étudiant la métrique dans le système de coordonnées tournant.

Pas besoin de partir des "postulats". Vous avez un système de coordonnées inertiels quelconque, la métrique d'y exprime comme dt²-dx²-dy²-dz², vous exprimez le changement de coordonnées, et de là vous exprimez la métrique dans les nouvelles coordonnées.

La plupart des résultats se dérivent de l'expression de la métrique, ainsi que les considérations "interprétatives"...

en disant que A et B (qui ont une position déterminée à chaque instant du laboratoire) ont une différence de simultanéité vus du référentiels inertiel local ?

?? Qu'st-ce que ça veut bien vouloir dire "différence de simultanéité"? Deux référentiels inertiels (ou non) distincts définissent des relations de simultanéité distinctes, en toute généralité, rien de particulier aux référentiels tournants.

[Amanuensis]

La mesure laser de distance entre observateurs "voisins" définit la métrique spatiale induite par la métrique spatio-temporelle dans le référentiel considéré).

Juste un commentaire en marge là-dessus: c'est la même chose que de dire que le système de coordonnées choisi est localement de type (1,3) et orthogonal (ou du moins que les trois directions spatiales sont orthogonales à la direction spatiale).

En minkowski, soit A, B, C trois événements tels que AB=BC vectoriellement, et de genre temps, alors l'hyperplan orthogonal à AC en B est l'ensemble des événements E tels que AE et EB sont de genre nul.

En effet, AE=AB+BE, d'où 0 = AB²+2AB.BE+BE², de même, en partant de CE=CB+BE, 0=CB²+2CB.BE+BE², comme AB=-CB par hypothèse, on a AB.BE=0, donc AC.BE=0, en soustrayant les deux égalités.

C'est une propriété de la métrique, totalement indépendante du référentiel ou du système de coordonnées choisi.


A contrario, si pour un système de coordonnées se présentant comme (1, 3) la métrique spatiale au sens dx²+dy²+dz² ne correspond pas à la procédure indiquée, c'est juste dire qu'on a choisi un système de coordonnées non localement orthogonal.

Que la procédure indiquée coïncide avec la métrique spatiale induite est donc équivalent à affirmer l'orthogonalité locale pour un système.de coordonnées.

Ensuite, si on définit un référentiel comme (seulement) un faisceau de lignes temporelles (au sens partition d'un ouvert de l'espace-temps), on peut toujours trouver pour un événement A un système de coordonnées local de type (1,3) et orthogonal, et donc dans lequel la métrique spatiale induite sera (localement à A) celle obtenue par la procédure indiquée. Et, de là, définir la connexion entre les temps propres des lignes (des observateurs) (1). Si c'est ça la définition d'un référentiel (i.e., en imposant la connexion ainsi construite), alors la propriété indiquée est tautologique à la définition de référentiel.

(1) Ce qui est bien une considération de simultanéité.

Maintenant, on pourrait choisir de définir un référentiel plus généralement comme un faisceau de lignes temporelles et une connexion (plus ou moins) quelconque entre temps propres, et alors la propriété indiquée n'est pas (en général) vérifiée, i.e., un système de coordonnée compatible avec le référentiel et la connexion n'est pas (en général) localement orthogonal.

En bref, la propriété indiquée est partie intégrante de la définition du mot référentiel, tel qu'employé, alors qu'il existe une approche plus large du concept.

[chaverondier]

Juste un commentaire en marge là-dessus: c'est la même chose que de dire que le système de coordonnées choisi est localement de type (1,3) et orthogonal (ou du moins que les trois directions spatiales sont orthogonales à la direction spatiale).

Il n'est pas nécessaire d'évoquer le choix d'un système de coordonnées, les notions de métriques et de feuilletage (indépendantes d'un choix de système de coordonnées) suffisent.

On définit un référentiel comme (seulement) un faisceau de lignes temporelles

C'est ça.

la propriété indiquée est partie intégrante de la définition du mot référentiel

Tout à fait.

alors qu'il existe une approche plus large du concept

La métrique spatiale définie ici (celle du référentiel tournant) est la métrique spatiale induite par la métrique spatio-temporelle de Minkowski dans le référentiel considéré (le référentiel tournant). Dans ce cadre, le référentiel doit alors être compris comme modélisant un état de mouvement (ici le mouvement de rotation à vitesse angulaire constante d'un ensemble d'observateurs tournants "remplissant l'espace", un feuilletage 1D).

[invite289c27d7]

Non. La vitesse v au "point" du référentiel tournant où on mesure la durée infinitésimale d'aller-retour infinitésimal suffit.

Merci de vos réponses. J’ai des questions et des commentaires mais je voudrais avant tout rester concentré sur le sujet qui me préoccupe dans ce fil. Pardon de ne pas rebondir sur tous les points.

Je crois que nous sommes d’accord sur le fait que le petit segment dl n’a pas un strict déplacement rectiligne.

J’ai donc le droit d’observer ce segment à partir du référentiel inertiel tangent et pour tenter de mesurer l’effet de la perte de simultanéité entre les extrémités.

Afin d’éviter toute erreur d’interprétation sur ce que j’avance, j’introduis un deuxième disque identique au disque en rotation, juste dessous, mais immobile dans le laboratoire.

J’oublie provisoirement le disque en rotation.

J’ai donc deux référentiels rigoureusement inertiels : le laboratoire dans lequel j’ai le disque fixe et le référentiel inertiel tangent.

Vu du référentiel tangent, un point F de la circonférence devient F’ dont les coordonnées sont données par la transformation de Lorentz. Le temps t’ de F’ ne vaut plus 0, disons qu’il vaut 1 dans une unité bien choisie.



Jusqu’à présent c’est de la RR basique.

Ma question est la suivante :

A l’instant t’=0, vu du référentiel tangent, QUEL POINT DU DISQUE EN ROTATION EST AU DESSUS DU POINT FIXE F' ?

J’ai deux candidats P et Q :

• P est au dessus de F à l’instant t=0 du laboratoire
• Q est au dessus de F à l’instant t=1 du laboratoire

Est-ce que je me trompe en disant que c’est P ?

[invite289c27d7]

J’ai deux candidats P et Q :

• P est au dessus de F à l’instant t=0 du laboratoire
• Q est au dessus de F à l’instant t=1 du laboratoire

Est-ce que je me trompe en disant que c’est P ?

Petite coquille, mon dessin n'est pas en phase avec le texte :

Pour moi la bonne réponse c'est le point Q du texte et le point P du dessin.

Désolé

[invite289c27d7]

Bonsoir,

Je continue mon raisonnement pour ceux qui voudraient le valider où m'aider à trouver l'erreur.

Mon message précédent finissait sur l’affirmation selon laquelle les événements (P, t=1) et (F, t=1) dans le laboratoire ayant les même coordonnées d’espace-temps, la transformation de Lorentz place P’ au même endroit que F’ (P est le P du graphique).

Si j’appelle alpha l’angle qui porte P, la différence entre alpha et thêta est l’angle dont tourne le disque durant t=1.

On peut donc calculer la relation entre alpha et thêta comme illustré ci-dessous (je prends bien sûr la valeur exacte du temps et non la valeur arbitraire 1 utilisée dans le texte...)



Considérons maintenant de petits angles.

Notons dl le segment AP.
La transformation de Lorentz va le transformer en dl' = A’P’.

En approximant les sinus avec l’angle, nous pouvons exploiter les équations précédentes :




Et on arrive à l’équation très surprenante :

dl' = gamma.dl

Le référentiel tangentiel mesure dl dilaté d’un facteur gamma.

Or si, selon la citation, les mètres dl en rotation subissent la contraction de Lorentz

Ce sont les mètres en rotation à vitesse v le long du cercle qui subissent la contraction de Lorentz en (1-v²/c²)^(1/2).

On devrait alors avoir dl' = dl sans dilation puisque le segment AP est immobile dans le référentiel tangentiel.

Je ne comprends pas si, et où, je fais une erreur de calcul ou de raisonnement.

Il me semble que (après moult vérifications) :

• J'applique correctement la transformation de Lorentz
• Je n’utilise que les postulats d’Einstein
• Mes calculs sont exacts
• La seule approximation que je fais est : sinus=angle
• La citation se traduit par dl’=dl

Y aurait-il une autre source d'erreur ?

Merci

[Nicophil]

Bonjour,

J'ai l'impression que c'est comme en physique quantique : il y a plusieurs interprétations physiques concurrentes du "formalisme mathématique".
Cf. http://fr.sci.physique.narkive.com/L...e-des-cordes.2

[Amanuensis]

Vu du référentiel tangent, un point F de la circonférence devient F’ dont les coordonnées sont données par la transformation de Lorentz. Le temps t’ de F’ ne vaut plus 0, disons qu’il vaut 1 dans une unité bien choisie.

Vous mélangez points spatiaux et événements. L'événement F reste F qu'on le "voit" dans un référentiel ou un autre. Un changement de coordonnées ne change pas un événement, il n'en change que les coordonnées.

Votre figure est trompeuse, car elle n'est que spatiale.

[invite289c27d7]

Bonsoir,

J'ai commencé à lire cet échange, merci.

J'ai l'impression que c'est comme en physique quantique : il y a plusieurs interprétations physiques concurrentes du "formalisme mathématique".

Je ne pense pas qu'il y ait plusieurs interprétations possible. Le point que j'aborde est vraiment très élémentaire. Quelqu'un de rigoureux en RR et qui consentira à passera 10 minutes pourra facilement me dire où je me trompe ou alors confirmer.

[invite289c27d7]

Bonsoir,

L'événement F reste F qu'on le "voit" dans un référentiel ou un autre. Un changement de coordonnées ne change pas un événement, il n'en change que les coordonnées.

100% d’accord avec vous.

Vous mélangez points spatiaux et événements.
(…)
Votre figure est trompeuse, car elle n'est que spatiale.

Ok, ma présentation n’est peut-être pas claire. J’ai essayé de tout faire tenir sur un seul graphique. J’en fais donc deux :

• Un pour la vue du Laboratoire au temps 0
• Un pour la vue du référentiel tangent au temps 0

Je garde la notation F dans les deux référentiels pour montrer qu’il s’agit du même événement observé de deux référentiels inertiels différents.

J'ai ajouté une petite horloge numérique qui indique le temps propre de F. La valeur 1 dans le référentiel tangent est purement arbitraire. C'est juste pour insister sur le fait que la coordonnée temps à changé.

En fait, ce schéma n’est qu’un schéma élémentaire de RR avec application de la transformation de Lorentz sur un événement. Je pense qu’on est d’accord sauf autre ambiguïté de rédaction ou de conventions que je n’ai pas précisées mais qui sont très usuelles.



Est-ce que ça répond à votre remarque ?

Est-ce qu'il y a d'autres points de mon raisonnement qui posent question ?

[Amanuensis]

• Un pour la vue du Laboratoire au temps 0
• Un pour la vue du référentiel tangent au temps 0

L'événement F ne peut pas apparaître à la fois dans les deux, si du moins on lit "au temps 0" comme relatif au référentiel correspondant.

[invite289c27d7]

si du moins on lit "au temps 0" comme relatif au référentiel correspondant.

Oui, c’est bien ce qu’il faut lire : t=0 pour le laboratoire à gauche et t’=0 pour le référentiel tangentiel à droite.

L'événement F ne peut pas apparaître à la fois dans les deux

Je vais décidément trop vite dans mes raccourcis car je ne voulais pas encombrer ce fil avec des résultats élémentaires de RR.

J’obtiens le graphique de droite (référentiel tangentiel au temps 0) en appliquant t’=0 dans les équations de Lorentz. On obtient alors une valeur pour y’ (coordonnée d’espace dans R’) et une valeur pour t (temps propre du point considéré). Donc vous avez raison, l’événement n’est pas le même puisque il n’a pas le même temps propre.

• C’est pour ça qu’initialement je l’avais appelé F’
• Je n’aurai pas dû noter t’ mais t le temps propre de F sur le schéma de droite.

On obtient bien sûr le même résultat en transformant plus classiquement l’événement (t=0, y) par la transformation de Lorentz. On obtient des coordonnées (-t’, y’). On "attend" ensuite dans R’ une durée de t’ pour « voir » ce qui se passe au temps 0 de R'. On retombe bien heureusement sur le résultat auquel je suis allé (trop) directement.

Si ce n’est pas évident, je peux expliciter les calculs de ces deux méthodes qui amènent rigoureusement au schéma de droite.

Pour moi, la question clef reste : Au temps t’=0 du référentiel R’, quel est le point du disque tournant qui est au-dessus du point fixe choisi ?

[Amanuensis]

Je vais décidément trop vite dans mes raccourcis car je ne voulais pas encombrer ce fil avec des résultats élémentaires de RR.

Il y a trop de bizarreries dans votre présentation pour qu'on comprenne votre raisonnement.

- Si F et F' sont des événements distincts, comment sont-ils définis?

- La notion de "temps propre" ne s'applique pas à un événement. ("le temps propre de F" n'a pas de sens.)

- Que représentent vos schémas? Des coupes spatiales? Définies comment?

- On se demande si vous avez réalisé que le plan du disque fixe (iso-temps dans le référentiel R) n'est pas un plan iso-temps dans R'. Que veut dire "au-dessus" dans ces conditions?

[En effet, si on note x la coordonnée dans le sens de la vitesse d'un point du disque tournant, et y la direction perpendiculaire, les deux des directions spatiales de R, alors le plan est généré par (gamma, gamma beta, 0) et (0, 0, 1) en coordonnées dans R'.]

[invite289c27d7]

Il y a trop de bizarreries dans votre présentation pour qu'on comprenne votre raisonnement.

Merci d’essayer

- Si F et F' sont des événements distincts, comment sont-ils définis?

Est-ce que c’est plus clair dans le schéma de minkowski ci-dessous ?

- La notion de "temps propre" ne s'applique pas à un événement. ("le temps propre de F" n'a pas de sens.)

Je considère que mon point fixe dans R est doté d’une horloge. Pour moi l’horloge c’est le temps propre du point. Ce que je voulais dire en parlant du temps propre de F’, c’est le temps indiqué par l’horloge. Peut-être un abus de langage lié au fait que F’ est un événement de la ligne d’univers du point fixe.

- Que représentent vos schémas? Des coupes spatiales? Définies comment?

C’est la représentation spatiale de 3 points dans un repère donné à un instant donné. Est-ce cela que vous appelé une coupe spatiale ? J’ai indiqué ce que c’était sur le diagramme de Minkowski.

- On se demande si vous avez réalisé que le plan du disque fixe (iso-temps dans le référentiel R) n'est pas un plan iso-temps dans R'.

Oui, rassurez-vous (d’ailleurs c’est ce que j’essaie de dire maladroitement en parlant du temps propre de F’…)

Que veut dire "au-dessus" dans ces conditions?

Ce n’est pas relativiste. Cela fait référence à un de mes messages précédents. Pour expliquer ma question, j’ai introduit un disque fixe que j’ai dit être « sous » le disque en rotation. Le point fixe et le disque en rotation sont sur le même plan.

[En effet, si on note x la coordonnée dans le sens de la vitesse d'un point du disque tournant, et y la direction perpendiculaire, les deux des directions spatiales de R, alors le plan est généré par (gamma, gamma beta, 0) et (0, 0, 1) en coordonnées dans R'.]

Je ne comprends pas. Je vais réfléchir à ça.


Je vais tenter de reformuler ma question de manière plus ouverte plutôt que de développer mon raisonnement.

• Je fais une marque P sur le disque en rotation.
• Je me place dans le référentiel R du laboratoire.
• Cette marque est portée par l’angle alpha au temps 0 dans le référentiel du labo

Ma question devient alors :

Quelles sont les coordonnées spatiales de la marque P dans le référentiel R’ au temps t’=0 ?

[Amanuensis]

Je vais tenter de reformuler ma question de manière plus ouverte plutôt que de développer mon raisonnement.

• Je fais une marque P sur le disque en rotation.
• Je me place dans le référentiel R du laboratoire.
• Cette marque est portée par l’angle alpha au temps 0 dans le référentiel du labo

Ma question devient alors :

Quelles sont les coordonnées spatiales de la marque P dans le référentiel R’ au temps t’=0 ?

Système de coordonnées du laboratoire:

À l'instant 0, l'origine (supposée le centre) est en (0, 0, 0), l'événement F en P simultané à t=0 est (0, r cos alpha, r sin alpha).

Dans le référentiel tangent, l'origine est en coïncidence en (0, 0, 0), la vitesse dans le sens des x, donc les coordonnées de l'événement F sont (gamma bêta r cos alpha, gamma r cos alpha, r sin alpha).

Dans le référentiel tangent, la vitesse du point P du disque est nulle, par définition. Au premier ordre, supposant alpha très petit, le l'événement "point P à t'=0" était en (0, gamma r cos alpha, r sin alpha) en coordonnées de R'.

Au deuxième ordre, c'est plus compliqué!

Quelle est la question?

[invite289c27d7]

Système de coordonnées du laboratoire:
À l'instant 0, l'origine (supposée le centre) est en (0, 0, 0), l'événement F en P simultané à t=0 est (0, r cos alpha, r sin alpha).

Ok

Dans le référentiel tangent, l'origine est en coïncidence en (0, 0, 0), la vitesse dans le sens des x, donc les coordonnées de l'événement F sont (gamma bêta r cos alpha, gamma r cos alpha, r sin alpha).

Moi je trouve un temps négatif : ( - gamma bêta r cos alpha, gamma r cos alpha, r sin alpha)

Dans le référentiel tangent, la vitesse du point P du disque est nulle, par définition.

C’est exactement là où je veux en venir.

Je voudrais considérer un point P quelconque qui n’est pas proche du point dont la vitesse est exactement nulle dans le référentiel tangent.

Pour déterminer les coordonnées spatiales de P, il me semble donc qu’il faut « attendre » delta ct’ = gamma.bêta.r.cos(alpha) dans le référentiel tangent.

Il s’écoule donc delta ct = delta ct’ / gamma = bêta.r.cos(alpha) dans le référentiel du laboratoire.

Il me semble donc que les coordonnées spatiales de P dans R’ à t’=0 sont obtenues non pas à partir de alpha mais à partir de alpha + omega. « quelque chose ».

J’écris « quelque chose » car je ne suis pas sûr que ce soit omega. bêta.r.cos(alpha).

Je crois qu'en introduisant le point fixe, on peut calculer le quelque chose.

[Amanuensis]

Écrire la trajectoire considérée sous la forme t -> (t, x(t), y(t), 0) dans le référentiel laboratoire, expliciter l'autre référentiel et appliquer le changement de coordonnées.

À relire je ne suis pas sûr d'avoir compris de quel référentiel tangent vous parlez, et j'ai dû me tromper dans mon calcul...

[invite289c27d7]

À relire je ne suis pas sûr d'avoir compris de quel référentiel tangent vous parlez, et j'ai dû me tromper dans mon calcul...

Je parlais d’un référentiel se déplaçant verticalement, tangent au point A (x=r, y=0) au temps t=0 dans R. Le disque tourne dans le sens trigonométrique et le référentiel tangent va vers le haut.

Mais ça n’a pas d’importance dans la première étape de mon raisonnement puisque tout référentiel allant à la vitesse v est tangent quelque part et je m’intéresse à un point qui n’est pas proche du point de tangence.

Écrire la trajectoire considérée sous la forme t -> (t, x(t), y(t), 0) dans le référentiel laboratoire, expliciter l'autre référentiel et appliquer le changement de coordonnées.

Super merci. Je vais suivre votre méthode. Elle me conduit bien au résultat que je veux montrer depuis le début mais je vous laisse valider.

fixe06.jpg

Le point A de coordonnées (x=r, y=0) dans R au temps t=0 est immobile dans le référentiel tangentiel R’ au temps t’=0.

Prenons un point P suffisamment proche de A pour que les angles soient petits. Dans l’équation, on peut remplacer le sinus par l’angle.

fixe07.png

J'interprète ce résultat surprenant comme :

Mesurées du référentiel R', localement au point de tangence, les distances à la circonférence du disque sont dilatées d'un facteur gamma.

Les longueurs sont dilatées alors qu'elles sont (presque) immobiles !

[invite289c27d7]

Bonsoir,

Je vous soumets ce lien vers un pdf de 3 pages qui, je crois, reprend tout ce qui est nécessaire pour expliquer la démonstration basée sur la transformation de Lorentz de la trajectoire plus rigoureuse que celle que j'ai abordée au début du fil.


Ca peut être utile pour ceux qui ne veulent pas reprendre le détail des échanges.


Par ailleurs, je ne sais pas pourquoi mes deux images du message précédent n’apparaissent pas en gros alors je les remets ci-dessous :



Ce qui donne pour les angles petits




Si quelqu’un pouvait me dire s’il y a une erreur quelque part où s’il reste une imprécision.

Merci