Relativité : disque en rotation

[Universus]

Salut à tous,

Je sais que nous sommes le 31 décembre, les festivités ont peut-être déjà commencées pour vous en Europe, on se couche tard, on se lève tard et j'attends pas de réponse de quelqu'un d'ici une demie-heure. Si quelqu'un pouvait m'aider à me fixer les idées sur le sujet, j'en serais déjà très heureux!

Je lis actuellement "L'Univers élégant" de Brian Greene (Noël m'a apporté plein de lectures intéressantes). La lecture est simple jusqu'à présent, mais l'histoire du disque en rotation me perd complètement. Je vous fais donc un résumé de la mise en situation.

Sois "nous" reposant au-dessus d'un disque en rotation uniforme. Nous sommes dans un référentiel inertiel. Sur le disque, deux personnes mesures à l'aide de règles le rayon et la circonférence du disque. Nous usons d'astuce pour en faire autant sans quitter notre référentiel inertiel.

Pour une durée infiniment petite, on peut dire que les observateurs se trouvent dans des référentiels galiléens. On sait qu'un rayon (du moins, en géométrie euclidienne) est perpendiculaire à la circonférence au point de tangence ; par le fait même, le rayon ne subit aucunement de modification de la rotation du disque. L'observateur sur le disque s'accorde avec nous sur la mesure du rayon.

Pour l'autre observateur, par contre, mesurant une distance dans le sens du mouvement, il subit (outre une dilatation des durées) une contraction face à nous. Sa règle de 30cm ne les fait pas relativement à la nôtre. Cependant, l'observateur, lui, n'a pas conscience de cela et mesure le disque comme on lui a demandé.

Voilà où je ne comprends plus : Le disque tourne. La règle de l'observateur est diminuée comparativement à la nôtre, il lui faudra alors un peu plus de mesures pour faire le tour de la circonférence, ce qui lui donnera un résultat plus élevé que celui que nous avons mesuré.

Ici, on suppose que la règle est contracté, mais pas le disque. Pourquoi le disque ne l'est-il pas? On écrit que c'est à cause que nous comparons les deux règles, mais que nous ne comparons jamais la circonférence du disque au repos à celle du disque en mouvement. Moi, je ne comprends absolument rien...

Pour lui, le disque a une circonférence C est il mesure cette circonférence. Le disque est immobile face à lui, non? même s'il y a une accélération dès le moment où on étale l'expérience sur une plus grande durée.

En fait, j'aurais cru que si le disque avait eu à être déformé, ça aurait été de notre points de vue, là où non seulement l'observateur se serait contracté, mais tout le disque, faisant de notre point de vue une circonférence plus courte que le disque au repos...

Toutes mes impressions semblent être contraires à ce qui se passe réellement. Je suis tellement confus pas ceci que je ne sais même pas comment vous confier ma compréhension. Désolé.

Je vous demanderais, pour l'instant (car peut-être d'autres questions viendront) ceci:

- Définitivement, la géométrie n'est pas euclidienne. Pour qui ne l'est-elle pas : pour nous, pour lui, pour nous deux?
- De quelle façon la géométrie est-elle différente (sphérique hyperbolique)? Pourquoi?

J'ai conscience que mes questions peuvent vous ennuyer. Je ne suis pas celui qui sait résoudre un calcul de relativité restreinte (et là, j'entre déjà en générale...), ni celui qui comprend les rouages de l'expansion ou celui qui pose des énigmes physiques ou "photographiques". Ce que je demande ne vous challenge pas, ne vous permet pas de débattre sur un sujet, rien de cela. Seulement, ce sont des sujets qui m'intrigue et je ne veux pas non plus attendre l'université pour en traiter. Pour apprendre, rien ne vaut un bon ouvrage, mais ce qui y est écrit est figé ; dès lors qu'un problème apparaît, le livre ne peut plus me répondre. C'est pourquoi je ne tourne vers vous.

Bonne année!
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[chaverondier]

Soit "nous" reposant au-dessus d'un disque en rotation uniforme. Nous sommes dans un référentiel inertiel. Sur le disque, deux personnes mesurent à l'aide de règles le rayon et la circonférence du disque. Nous usons d'astuces pour en faire autant sans quitter notre référentiel inertiel. Pour une durée infiniment petite, on peut dire que les observateurs se trouvent dans des référentiels galiléens.

Non. Pas les observateurs tournants (ou alors ils doivent se limiter à des considérations purement cinématiques ET en plus uniquement locales).

L'observateur sur le disque s'accorde avec nous sur la mesure du rayon.

Oui.

Pour cet observateur, par contre, mesurant une distance dans le sens du mouvement, il subit (outre une dilatation des durées) une contraction face à nous. Sa règle de 30cm ne les fait pas relativement à la nôtre.

Exact. Sa règle subit la contraction de Lorentz quand il l'oriente dans la direction circonférentielle, mais pas quand il l'oriente dans le sens radial.

De façon plus détaillée, la durée dt mise par la lumière pour faire un aller retour le long d'un petit arc de cercle tournant de rayon R et d'angle au centre dthêta vaut, quand elle est mesuré par l'observateur non tournant

dt = R dthêta/(c-v) + R dthêta/(c+v)

Pour l'observateur tournant elle vaut

dt' = dt (1-v^2/c^2)^(1/2) (où v = oméga R désigne la vitesse de l’observateur tournant)

Pour l'observateur tournant, ce petit arc de cercle a donc une longueur

dl = (c/2) dt' = R dthêta/(1-v^2/c^2)^(1/2) > R dthêta

Avec son mètre étalon contracté par la contraction circonférentielle de Lorentz, l'observateur tournant trouve l'arc de cercle de rayon R et d’angle au centre dthêta plus grand que R dthêta

Cependant, l'observateur tournant, lui, n'a pas conscience de cela et mesure le disque comme on lui a demandé.

Exact. Il n'en a pas conscience localement (invariance relativiste locale). Localement, en réalisant une expérience de Morley Michelson, l'observateur tournant trouve que la vitesse de la lumière est isotrope et que tout est normal. Il n'a pas moyen de constater que
* son mètre étalon est contracté en direction circonférentielle (courbure spatiale négative du référentiel tournant)
* son horloge de référence bat au ralenti (paradoxe de Langevin)
* le long de la circonférence, son dispositif de synchronisation des horloges distantes fait retarder les horloges qui sont "devant" et avancer celles qui sont "derrière", au sens "devant" et « derrière » que donne le mouvement de rotation (effet, Sagnac).
Ces 3 effets se compensent et se masquent les uns les autre à ses yeux (localement du moins, car globalement la supercherie est démasquée, voir ci-dessous).

Par contre, quand l’observateur tournant à vitesse v le long d’un cercle de rayon R mesure la circonférence de ce cercle en envoyant un signal lumineux faire le tour du cercle dans un sens puis dans l'autre à partir d’un émetteur récepteur tournant à vitesse v, il constate que la circonférence C vaut (pour lui)

C = (c/2) T ' avec
T ' = T(1-v^2/c^2)^(1/2)
T = [2 pi R/(c-v) + 2 pi R/(c+v)]
où T désigne le temps d'aller-retour d'un signal lumineux contraint à faire le tour du cercle dans un sens puis dans un autre à partir d'un émetteur récepteur tournant à vitesse v quand cette durée est mesuré par un observateur non tournant (T' désignant cette même durée mesurée par un observateur tournant avec son horloge fonctionnant au ralenti).

Voilà où je ne comprends plus : Le disque tourne. La règle de l'observateur est diminuée comparativement à la nôtre, il lui faudra alors un peu plus de mesures pour faire le tour de la circonférence, ce qui lui donnera un résultat plus élevé que celui que nous avons mesuré.

C'est tout à fait ça. L’observateur tournant trouve une circonférence C = 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2)

Ici, on suppose que la règle est contractée, mais pas le disque. Pourquoi le disque ne l'est-il pas?

Peu importe qu’il le soit ou pas. Que le disque tourne ou pas, soit contracté ou dilaté, importe peu. Du moment que le rayon du disque vaut R lors de la mesure, sa circonférence vaut 2 pi R pour l’observateur non tournant et 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2) pour l’observateur tournant à vitesse v le long du cercle de rayon R. On dit que la courbure spatiale perçue par l’observateur tournant est négative.

Toutefois, pour détailler ce point (à savoir l’effet relativiste induit par la mise en rotation d’un disque matériel), si on compense la « force centrifuge », un disque matériel une fois mis en rotation est effectivement contracté par rapport à son état de repos. Si on le suppose élastique, linéaire, isotrope et sans masse (pour tenir compte de la compensation de la force centrifuge prise comme hypothèse pour faire ressortir le seul effet de contraction circonférentielle de Lorentz) on trouve que son rayon extérieur subit une contraction égale à un quart de la contraction de Lorentz que prendrait un anneau tournant de même rayon (à condition de compenser la force centrifuge bien sûr). Cela résulte d’une situation de compromis (de moindre énergie de déformation élastique) entre « le rayon du disque qui ne veut pas se contracter dans cette direction et la circonférence du disque qui souhaite respecter la contraction circonférentielle de Lorentz » (cf http://perso.orange.fr/lebigbang/disque.htm ).

J'aurais cru que si le disque avait eu à être déformé, ça aurait été de notre point de vue.

C’est une erreur classique. Elle consiste à étendre la symétrie de point de vue relativiste à une situation où elle ne s’applique pas globalement. Cela vient d’une présentation maladroite de la symétrie relativiste. Elle consiste à qualifier d’illusoire la contraction de Lorentz, la dilatation temporelle de Lorentz et l’anisotropie de la vitesse de la lumière quand on change le référentiel inertiel de repos du système observé et pas celui de l’observateur (changement de référentiel inertiel dit actif) ou encore quand on change le référentiel de repos de l’observateur et pas celui du système observé (changement de référentiel inertiel dit passif). Du coup, quand la symétrie relativiste ne s’applique plus au changement de référentiel considéré, on ne comprends pas pourquoi des effets qualifiés d’illusoires dans le cas des changements de référentiels inertiels (parce que réciproques puisque la symétrie relativiste s’applique dans ce cas) deviennent brusquement réels avec exactement les mêmes formules quand la symétrie relativiste ne s’applique plus globalement.

Je vous demanderais, pour l'instant (car peut-être d'autres questions viendront) ceci:
- Définitivement, la géométrie n'est pas euclidienne. Pour qui ne l'est-elle pas : pour nous, pour lui, pour nous deux?

La géométrie n’est pas Euclidienne pour les observateurs situés dans le référentiel tournant. Pour des observateurs tournant à vitesse v le long d’un disque de rayon R, ce disque, qu’il tourne ou pas, a une circonférence C = 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2)

Pour des observateurs non tournants mesurant la circonférence d’un disque de rayon R, ce disque, qu’il tourne ou pas, a une circonférence C = 2 pi R

- De quelle façon la géométrie est-elle différente (sphérique hyperbolique)?

Pour les observateurs tournants, la géométrie de l’espace est hyperbolique.

Pourquoi?

Parce que la circonférence d’un cercle de rayon R centré sur l’axe autour duquel ils tournent est supérieure à 2 pi R.

Pour apprendre, rien ne vaut un bon ouvrage.

Voir le Landau et Lifchitz, Tome 2, théorie des champs, éditions Mir, 4ème édition, §89 la rotation dans le sous paragraphe noté PROBLEME.

Remarque : quand on a bien compris l’effet cinématique d’une part (contraction circonférentielle de Lorentz du mètre étalon de l’observateur tournant), puis l’effet dynamique d’autre part (tout petit effet relativiste induit par la mise en rotation d’un disque linéaire, élastique, isotrope sur lequel on compense « la force centrifuge »), on comprend pourquoi l’état de contrainte-déformation induit par la mise en rotation d’un disque, dont on compense aussi parfaitement que possible la force centrifuge, n’est pas nul. Après sa mise en rotation (et si on compense l’effet de la force centrifuge), le disque est comprimé dans sa direction radiale (car le rayon du disque subit une contraction alors « qu’il ne la souhaite pas ») et tendu en direction circonférentielle (car la circonférence du disque « souhaiterait respecter exactement la contraction circonférentielle de Lorentz » mais doit « accepter un compromis avec son copain le rayon » qui ne la veut pas). Du coup, le disque se retrouve dans le même état de contrainte-déformation qu’un disque métallique dont on refroidirait le bord, ou encore, si on préfère, dans l’état de contrainte déformation d’une calotte sphérique qu’on écraserait sur une table bien plate (car le disque voudrait bien courber notre espace Euclidien, mais ce dernier ne se laisse pas faire). BC

[Universus]

Salut chaverondier,

Tout d'abord, je te remercie pour ton message. J'avoue que lorsque tu commences à aborder les effets relativistes (effet Sagnac, paradoxe de Langevin et géométrie hyperbolique) et la compensation de la force centrifuge, je m'y perds un peu, mais je crois avoir compris l'essentiel de ce que tu dis.

Quant à savoir ce qui se passe entre les deux référentiels, j'y ai pensé depuis hier et je suis arrivé à la conclusion que l'observateur tournant se trouvait dans une géométrie plus hyperbolique que l'observateur immobile, ce que tu confirmes. Mon problème (que je venais justement poster) était à savoir quelle était la géométrie pour l'observateur immobile.

Tu dis ceci :

Pour des observateurs non tournants mesurant la circonférence d’un disque de rayon R, ce disque, qu’il tourne ou pas, a une circonférence C = 2 pi R

Et c'est cela que je ne comprends pas. Vu ce que tu as écris dans ton message, je pense que tu attribues cela à une interprétation illusoire que j'aie des transformations de Lorentz, mais on me corrigera.

Disons, qu'avant de débuter l'expérience, le disque ne tourne pas. Décidément, autant pour l'observateur qui tournera que celui qui restera immobile, le disque se décrit par l'équation C = 2*pi*R. Puis, on commence à faire tourner le disque, il atteint sa vitesse angulaire et l'expérience peut commencer.

L'observateur tournant est contracté relativement à nous; le disque, lui, est identique comparativement à un de ses autres états durant l'expérience, mais est contracté comparativement à son état en repos. Dès lors, il me semble que pour nous (observateurs immobiles), sachant qu'immobile le disque a C = 2*pi*R, nous dirons que durant l'expérience C = 2*pi*R/gamma.

Sachant, comme tu l'as écrit dans ton message, que C' = C*gamma, on obtiendrait C' = C = 2*pi*R.

Dans le livre dont j'ai tiré cette expérience (soit, "L'Univers élégant"), on y disait bien que le disque en rotation subit bien une contraction face à un autre au repos, mais que cela n'était pas à prendre en compte dans l'expérience.

C'est cela que je ne comprends pas. Pourquoi le disque qui est en mouvement relativement à nous est-il euclidien, alors qu'il est hyperbolique pour l'observateur qui, certes, a conscience du mouvement par la force centrifuge, mais ne le voit pas en tant que tel.

Merci beaucoup.

[chaverondier]

Tu dis ceci, et c'est cela que je ne comprends pas.

Pour des observateurs non tournants, mesurant la circonférence d’un disque de rayon R, ce disque, qu’il tourne ou pas, a une circonférence C = 2 pi R.

Ca signifie que pour les observateurs non tournants, un cercle de rayon R a une circonférence C = 2 pi R. Au contraire, pour des observateurs tournant à vitesse v au dessus d'un cercle de rayon R, la circonférence du cercle vaut C = 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2) .

Peu importe que ce cercle appartienne à un disque qui tourne, qui ne tourne pas, qui est contracté ou qui est dilaté. Tout ce qui compte, c'est que le rayon du cercle vale bien R au moment de la mesure de la circonférence.

Disons, qu'avant de débuter l'expérience, le disque ne tourne pas. Décidément, autant pour l'observateur qui tournera que celui qui restera immobile, le disque se décrit par l'équation C = 2*pi*R.

Non. Ce résultat de mesure est correct seulement pour des observateurs non tournants (car leur mètre étalon a la même longueur dans le sens radial et dans le sens circonférentiel). Des observateurs tournant à vitesse v au dessus du bord d'un disque de rayon R (immobile ou tournant, peu importe) trouvent que sa circonférence vaut C = 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2).

Puis, on commence à faire tourner le disque, il atteint sa vitesse angulaire et l'expérience peut commencer.

Avant de s'intéresser à la façon dont le disque va se comporter quand on le met en rotation (contraction égale à un quart de la contraction de Lorentz si le disque est élastique, isotrope, linéaire et si on compense parfaitement la force centrifuge cf http://perso.orange.fr/lebigbang/disque.htm ), il faut déjà avoir compris ce qui se passe quand le disque est déjà en rotation. Appellons R le rayon du disque une fois qu'il est mis en rotation.

L'observateur non tournant trouve qu'il a une circonférence qui vaut C = 2 pi R. Au contraire, avec son mètre contracté par la contraction circonférentielle de Lorentz, l'observateur tournant à vitesse v trouve qu'il a une circonférence valant C = 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2)

Ces deux résultats sont valides que le disque de rayon R tourne ou pas. Ce qui importe c'est que le rayon du disque vale bien R au moment de la mesure de la circonférence C.

L'observateur tournant est contracté relativement à nous.

Seulement en direction circonférentielle.

Le disque, lui, est contracté comparativement à son état en repos.

Seulement si on compense la force centrifuge (sinon, il se dilate), et ce, moins que s'il s'agissait d'un anneau tournant. En effet,
* quand on la met en rotation, une barre tournante ne subit ni dilatation, ni contraction (si on compense la force centrifuge)
* quand on le met en rotation, un anneau tournant subit une contraction en (1-v^2/c^2)^(1/2) (si on compense sa force centrifuge).
* quand on le met en rotation, un disque élastique, linéaire isotrope (dont on compense la force centrifuge) se met dans un état de contrainte déformation intermédiaire entre ces deux cas.

Dès lors, il me semble que pour nous (observateurs immobiles), sachant qu'immobile le disque a C = 2*pi*R

Qu'il tourne ou pas un disque de rayon R a une circonférence C égale à 2 pi R pour les observateurs non tournants.

Nous dirons que durant l'expérience C = 2*pi*R/gamma.

Ca, c'est la circonférence C que trouvent les observateurs tournant à la vitesse v le long du bord d'un disque de rayon R (que ce disque tourne ou pas) en mettant bout à bout (le long de la circonférence du disque) leurs petits mètres étalon tournants contractés par la contraction circonférentielle de Lorentz.

C'est cela que je ne comprends pas. Pourquoi le disque qui est en mouvement relativement à nous est-il euclidien ?

Ce n'est pas le disque qui est euclidien, mais l'espace perçu par l'observateur non tournant (réalisant des mesures avec son mètre étalon qui a la même longueur dans le sens radial et dans le sens circonférentiel).

Alors qu'il est hyperbolique pour l'observateur qui, certes, a conscience du mouvement par la force centrifuge, mais ne le voit pas en tant que tel.

L'espace est perçu hyperbolique par l'observateur tournant (courbure spatiale négative du référentiel tournant) parce que le mètre étalon tournant est contracté quand l'observateur l'oriente circonférentiellement (et n'est pas contracté quand il l'oriente en direction radiale). De ce fait, pour les observateurs tournant le long d'un cercle de rayon R, ce cercle a une circonférence supérieure à 2 pi R (cela résulte de la contraction circonférentielle de leur mètre étalon et n'a pas de rapport avec la dilatation ou la contraction d'un disque tournant).

On a quelque chose d'analogue dans l'espace-temps de Schwarzschild où, pour les observateurs au repos dans le référentiel de Schwarzschild, la distance radiale séparant deux cercles de rayon r et r+dr autour d'une distribution de masse M à symétrie sphérique vaut dl = dr/(1-v^2/c^2)^(1/2) > dr
où v = (2GM/r)^(1/2) désigne la vitesse de chute de l'observateur de Lemaître. Il s'agit de l'observateur qui tombe en chûte libre radiale centripète en partant de très haut à vitesse très faible. Dans cet espace-temps là, dans le système de coordonnées dit de Schwarzschild, l'espace est donc perçu courbe de courbure spatiale positive. BC

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa5fd80c]

Salut

Je n'ai pas lu ce fil en détail, mais j'aimerais faire seulement une remarque d'ordre général en ce qui concerne l'analyse de ce type de problème.

J'ai souvent remarqué que l'on avait tendance à analyser ce type de situation en ne tenant compte que de la contraction des longueurs et du ralentissement des horloges en faisant abstraction de la façon dont l'on synchronise les horloges et cela mène souvent à des résultats erronés. De façon assez générale, un problème de relativité restreinte ne peut être correctement traité que si l'on définit bien les événements et que l'on écrit les équations.

Amicalement

[chaverondier]

Je n'ai pas lu ce fil en détail, mais j'aimerais faire seulement une remarque d'ordre général...

Lisez le en détail d'abord. BC

[invitefa5fd80c]

Lisez le en détail d'abord. BC

Bonjour,

Étant donné qu'Universus disait dans son message initial :

Je ne suis pas celui qui sait résoudre un calcul de relativité restreinte...

j'ai jugé utile de lui mentionner un type d'erreur d'analyse que l'on pouvait facilement commettre lorsqu'on étudie un problème dans le contexte de la RR.

Amicalement

[Universus]

Salut chaverondier,

Je crois avoir compris de quoi il en va, mais juste pour être certain de cela, je voudrais proposer cette expérience et en connaître les résultats.

Soit seulement l'observateur non-tournant et un disque en rotation. Il y a deux règles posées dans le sens circonférentiel situées à la moitié et au bout du rayon. Nous avons aussi une règle, de sorte que nous puissions comparer. Que voyons-nous?

Merci pour l'aide

[chaverondier]

Je crois avoir compris de quoi il en retourne, mais juste pour être certain de cela, je voudrais proposer cette expérience et en connaître les résultats.

Soit seulement l'observateur non-tournant et un disque en rotation. Il y a deux règles posées dans le sens circonférentiel situées à la moitié et au bout du rayon. Nous avons aussi deux règles, de sorte que nous puissions comparer. Que voyons-nous?

On peut même se passer complètement du disque en rotation. En utilisant la simultanéité qui a cours dans notre référentiel inertiel et des règles au repos dans ce référentiel, nous trouvons qu'un étalon de mesure de longueur ayant une longueur l0 quand il est au repos dans notre référentiel (avec l0 choisie petite devant le rayon R), mesure au contraire, pour les observateurs au repos :

* une longueur l = l0 (1- v^2/c^2)^(1/2) quand il tourne sur un cercle de rayon R à la vitesse v = oméga R et qu'il est orienté dans le sens circonférentiel

* une longueur l' = l0 (1- (2v)^2/c^2)^(1/2) quand il tourne sur un cercle de rayon 2R à la vitesse 2v = 2 oméga R et qu'il est orienté dans le sens circonférentiel.

Par exemple, si des étalons de mesure de longueur ayant tous une longueur l0 = 2 pi R/N quand ils ne tournent pas (avec N très grand pour qu'on puisse identifier l'arc avec la corde) sont mis en rotation à la vitesse v = .87c le long du cercle de rayon R, alors il en faut 2N mis bout à bout pour faire le tour du cercle (alors qu'il en faut seulement N quand ils sont au repos). Cet effet global, démontre qu'il y a contraction circonférentielle de Lorentz du mètre de l'observateur tournant et pas de contraction du mètre des observateurs non tournant car cet effet global est constaté à la fois par les observateurs tournants et par les observateurs non tournants.

Bref, pour des observateurs tournant à la vitesse v=.87c sur le cercle de rayon R, ce cercle semble avoir (à leurs yeux) une longueur égale à 4 pi R. Cela vient du fait que l'étalon de mesure de longueur des observateurs tournant à la vitesse v=.87c est raccourci d'un facteur 2 par la contraction circonférentielle de Lorentz.

Cette rupture de la symétrie globale de point de vue est analogue au fait que les horloges des observateurs tournants (à v=.87c) sont ralenties d'un facteur 2 en raison de la dilatation temporelle de Lorentz. Cela leur donne une durée mise pour faire le tour du cercle deux fois plus petite que celle mesurée dans le référentiel inertiel par les observateurs non tournants. Quand l'observateur tournant revient à son point de départ, il voit bien que c'est son horloge (y compris son horloge biologique bien sûr) qui tourne au ralenti et non celle de son jumeau immobile dans le référentiel inertiel. BC

[Universus]

Merci chaverondier, je crois bien avoir compris.

En fait, l'important n'est pas le disque dans son ensemble, mais simplement le trajet emprunté par un corps.

Mon problème, c'était de considérer le disque comme un ensemble de "corps" n'allant pas à la même vitesse dépendamment de la distance séparant le "corps" (un atome par exemple) au centre du disque. Les effets relativistes sont différents dépendamment d'où on se trouve.

Merci encore