Mécanique des fluides - Modélisation du Gulf Stream

[iPapy]

Bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum et je souhaiterai votre aide pour un problème que je rencontre dans mon TIPE (classe préparatoire PC en 5/2).

Mon thème est la circulation thermohaline, et en deuxième expérience j'essaie de modéliser un "Gulf Stream" dans un aquarium et j'ai un problème pour les équations mathématiques derrière le phénomène.

En effet, j'ai essayé plusieurs modélisations (peut-être en avez-vous de plus intéressantes à me proposer)

J'essai d'exprimer le champ de vitesse (en régime permanent) de mon fluide (eau) dans un bassin de largeur L, de hauteur H (axe horizontal x vers la droite, z vertical vers le haut)
(je considère mon écoulement plan, et avec la vitesse V = Vx(x,z) + Vz(x,z))
(je suppose la température T fonction uniquement de x ,avec chauffage à gauche à Tc et refroidissement à droite à Tf)

L''ensemble de mes hypothèses me conduit au système suivant, que j'ai du mal à résoudre :

conservation de l'énergie (équation de la chaleur) me conduit directement à T(x) = Tc - (Tc-Tf)/L . x

conservation de la masse (div V) = 0 soit Vx . ∂Vx/∂x + Vz . ∂Vz/∂z = 0

équation d'Euler (avec approximation de Boussinesq) selon ex Vx . ∂Vx/∂x + Vz . ∂Vx/∂z = 0
équation d'Euler (avec approximation de Boussinesq) selon ez Vx . ∂Vz/∂x + Vz . ∂Vz/∂z = Ax + B

(A et B des constantes qui viennent de mon expression de la température)

Si vous pouviez m'aider, je vous en serais extrêmement reconnaissant !!
Merci
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[VirGuke]

Commençons sur de bonnes vases, ça c'est faux!

conservation de la masse (div V) = 0 soit Vx . ∂Vx/∂x + Vz . ∂Vz/∂z = 0

En suite, si je comprends bien, tu veux faire de la convection naturelle dans le plan xOz ?

Y'a un truc qui me chagrine, c'est que si tu pars de l'hypothèse T=T(x), ton fluide est sensé être dominé par la diffusion thermique et visqueuse. Or tu essaies de calculer un équilibre entre de la convection et Boussinesq donc à priori avoir des températures transportées par convection, bref, une incohérence.

A ta place je chercherais l'équilibre entre le terme visqueux et le terme de Boussinesq. Ca a l'avantage d'être linéaire et tu devrais pouvoir trouver des solutions analytiques harmoniques.

Pour info, voici les profils de vitesse et température à Rayleigh = 10^3, donc dominé par la diffusion
RA3.jpg
Et 10^6, dominé par la convection
RA6.jpg

Tu vois que dans le premier cas c'est gérable, dans le second tu vas morfler

[iPapy]

Ah oui bien sûr, c'est une erreur dans l'écriture de la première équation, qui est évidemment ∂Vx/∂x + ∂Vz/∂z = 0.

[iPapy]

Commençons sur de bonnes vases, ça c'est faux!


En suite, si je comprends bien, tu veux faire de la convection naturelle dans le plan xOz ?

Y'a un truc qui me chagrine, c'est que si tu pars de l'hypothèse T=T(x), ton fluide est sensé être dominé par la diffusion thermique et visqueuse. Or tu essaies de calculer un équilibre entre de la convection et Boussinesq donc à priori avoir des températures transportées par convection, bref, une incohérence.

A ta place je chercherais l'équilibre entre le terme visqueux et le terme de Boussinesq. Ca a l'avantage d'être linéaire et tu devrais pouvoir trouver des solutions analytiques harmoniques.

Pour info, voici les profils de vitesse et température à Rayleigh = 10^3, donc dominé par la diffusion
Pièce jointe 249931
Et 10^6, dominé par la convection
Pièce jointe 249932

Tu vois que dans le premier cas c'est gérable, dans le second tu vas morfler

Merci beaucoup pour cette réponse rapide !
Mais que signifies-tu par le terme de Boussinesq ? (le terme visqueux étant je suppose ηΔV (laplacien vectoriel)) ?

Quant aux solutions graphiques, pourrais-je te demander sur quel logiciel tu les as obtenues ? et si ce sont les solutions qui découlent des équations que j'ai proposées ?
Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]

[VirGuke]

Par terme de Boussinesq j'entends celui qui vient de la gravité et la dépendance de la masse volumique par rapport à la température qui ressemble à selon comment tu adimentionalise etc...

Les graphs c'est sous FIDAP, une ancienne version de FLUENT, mais tu peux les obtenir avec n'importe quel logiciel du genre.
C'est la résolution des équations complètes découplées :
- convection + diffusion + conduction pour la température
- convection + viscosité + boussinesq pour la vitesse

[iPapy]

Merci encore ! Je sais que j'en demande sûrement beaucoup, mais est-ce que je pourrais avoir ces deux systèmes d'équations découplées...? la convection n'est malheureusement pas au programme de physique en PC et je ne vois donc pas comment les obtenir.

[VirGuke]

Ca se trouve sur internet ça...

http://www.grandjean.gch.ulaval.ca/G...a2/diap-10.pdf

Google

[iPapy]

Re-bonjour.

Après plusieurs recherches, je tenais à savoir si mon système d'équations était correct, et s'il conduisait effectivement au tracé des graphes.

Hypothèses :
régime permanent
fluide newtonien dans l'approximation de Boussinesq
champ de température T(x,z)
champ de vitesse V=Vx(x,z)+Vz(x,z)
champ de pression P(??)
D diffusivité thermique (D=λ/ρ.c)
α coefficient de dilation thermique
β coefficient de contraction haline
η viscosité dynamique
Δ laplacien (scalaire pour T, vectoriel pour V)

Équations : (les vecteurs sont en gras)

équation d'état linéarisée de l'eau
(1) ρ = ρ₀ (1 - αT + βS)
conservation de la masse (incompressibilité)
(2) div V = 0
conservation de l'énergie
(3) (V.grad)T = D ΔT
conservation de la qté. de mouvement (Euler)
(4) ρ₀ (V.grad) V = - grad P + ρg + ηΔV

[VirGuke]

Pour moi ça a l'air bon.

Par contre tu peux oublier la résolution à la main...