Equations de mouvement avec frottement de l'air (vitesses grandes)

[invite811b090a]

Bonjour ! Dans le cadre d'un TIPE sur le baseball, j'étudie en particulier la trajectoire de la balle frappée avec bien sûr une force de frottement de l'air mais je suis confronté à des difficultés au niveau de l'équation à résoudre qui me semble inaccessible !

Mon but actuel, c'est de déterminer la distance maximale parcourue par la balle, soit d'après mon dessin non nécessaire y (t-->+00).

Au niveau de la force de frottement, déjà il y en a deux "genres" connues : (avec des vecteurs)

F= - k v ou F = - h v² je choisis la 2e d'après mon cours sur la viscosité car on a ici des vitesses grandes (ici v(t=0) = 30 m/s, au moment de la frappe) (en effet on utilise la 1ere pour des vitesses faibles, exemple une bille dans l'eau) on utilise donc la formule : (toujours avec des vecteurs)

F = - (1/2) * C * masse volumique de l'air (disons à 25°C) * section de la balle * v² avec C coefficient de traînée => sur internet j'ai trouvé que pour une sphère C valait 0,47. La balle a un rayon de 4 cm.

On identifie et calcule donc h = (1/2) * 0,47 * 1,18 * Pi (0,04)² = 1,40 . 10^-3 Kg/m (unité pas très sûre)

Bref supposons que ce calcul soit probable.

En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à la balle en ayant comme force le poids et la force de frottement on obtient aisément sur y (donc horizontalement si vous avez compris)

ÿ + (h/m) Vy² = 0 !!!

Evidemment s'il n'y avait pas le carré sur la vitesse ça serait facile !! Mais comment fait-on ici svp ? si je dois utiliser un outil informatique ne comptez pas sur moi j'y connais rien x(

Aidez moi svp !
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[calculair]

bonjour,

voila la solution a ton problème:

m dV/dt = F - K V²



On divise tout par F-Kv²

L'équation se réécrit alors :

m / ( F -KV²) dV/dt = 1

On intègre des deux cotés :

Somme m / ( F -KV^2) dv = somme 1 dt

On calcule l'intégral ici F = 0 ( tir balistique )

Somme - m / KV^2 dV = Somme 1 dt

m/K * 1/V = t + c ou V = m/K * 1/( t +c )

Pour t = 0 V = V°

V° = m/K /c ou c = m/ (K V°)


finalement V = m/K *1 /( t + m/KV°) = m /K *KV° * 1 /( t KV° +m ) = m V°/( t KV° +m )

Sauf erreur de ma part ...

[invite811b090a]

C'est quoi pour toi F ?

J'ai seulement projeté sur y l'axe horizontal y a que dVy/dt + (h/m)Vy =0

[calculair]

F est une force, mais ici cette force =0 Cela aurait pu être une force de traction comme sur un avion.

La seule force ivi c'et la resistace de l'air K V^2

Sur l'axe vertical F = -mg qui tire la bale vers le bas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour Calculair.
Je pense que vous avez fait une erreur dans votre première équation:
m dV/dt = F - K V²
Car F, le poids, est dirigé toujours vers le bas, alors que kV² est dirigé vers l'arrière du mouvement.
Il faut se taper les deux équations en 'x' et en 'y'.

Et le résultat est que les équations différentielles ne sont pas intégrables facilement.

Tout cela s'appelle "balistique extérieure".
Cordialement,

[calculair]

Bonjour LPFR,

En effet tu as 100% raison

Pour les coordonnées horizontales m dVx/dt = - K Vx^2

Pour les coordonnées verticales il faut tenir compte de la gravité comme je l'ai précisé ( un peu tard )

m dVy/dt = - mg - K Vy^2 le résultat de cette équation est une tangente hyperbolique, je crois ...

[invite6dffde4c]

Re-bonjour Calculair.
C'est encore faux.
Vous ne pouvez pas décomposer la résistance de l'air en Vx² pour 'x' et Vy² pour 'y'.

La force en 'x' est:


C'est pour cela que c'est merdique.
Cordialement.

[calculair]

Bonjour LPFR,

Si la résistance de l'air est F dirigée en sens inverse de la vitesse F = - KV^2 = K ( Vx^2 + Vy^2 )


A priori j'ai Fx = K Vx^2 et Fy = K Vy^2 ...

Si non peux tu m'expliquer mon erreur ? J'avoue de ne pas bien comprendre ton évaluation de la force Fx

Merci d'avance

[invite6dffde4c]

Re-bonjour Calculair.
Faites un dessin.
Si la trajectoire fait un angle thêta avec l'horizontale, tg (thêta) = Vy/Vx.
Et la la force F est dirigée vers l'arrière (thêta + pi),
Fx = -F cos(thêta)
Fy = - F sin(thêta)

Comme (en module) est F = K(Vx² + Vy²)
est cos(thêta) = Vx/sqrt(Vx² + Vy²)
on retrouve la formule que j'avais écrite.
Cordialement,

[invite811b090a]

Bonjour
http://gfca-carbuccia.fr/Balistique%...projectile.pdf résume bien ce que je veux au VI horizontalement je suis d'accord (leur x(t) ) mais pas pour leur y(t) vecticalement ; il y a une grosse erreur d'homogénéité au niveau de la racine lors de l'intégration avec le arctan, ce qui fait boule de neige sur la suite, mais je ne comprends pas trop comment il a obtenu des résultats cohérents. En tout cas je l'ai appliqué à mon cas avec mes données (et donc avec la correction au niveau de la racine) et finalement je trouve t=4,1s , temps au bout duquel la balle retombe ce que je trouve satisfaisant compte tenu du fait que je n'ai pas pris en compte l'effet magnus qui accélère la balle dans le cas des baseballeurs et rajouterait 1 à 2s de plus.

Pour la cohérence de mon résultat j'ai regardé des vidéos de home-run de la MLB (professionnels) les balles tombent au bout de 5 à 6s. Donc pour un amateur, un peu moins, donc je suis satisfait

[calculair]

Bonjpur LPFR,

Bravo tu as 100 % raison....

J'ai raisonné trop vite en décomposant la vitesse V sur Vx et Vy et en appliquant la résistance de l'air pour la vitesse verticale et par ailleurs pour la vitesse horizontale

j'obtenais Fx = - K Vx^2 et Fy =- KVy^2 , ce résultat est faux comme tu l'as montré....je me suis fait avoir ....!!!!

Fx = - K ( module V ) Vx qui est juste comme tu l'as montré...Alors pour résoudre l'equa dif, il ne reste que le calcul pas à pas à priori, si on ne veux pas s'embarquer dans des machins inextricables...

Cordialement

[Calvert]

http://gfca-carbuccia.fr/Balistique%...projectile.pdf résume bien ce que je veux

A ce que je comprends, ils font la même erreur que mentionnée par LPFR, à savoir, ils considèrent une force de frottement de la forme :



La norme de cette force est donc :



Ce n'est pas du tout pareil que ce que l'on veut, à savoir, une force proportionnelle au carré de la norme de la vitesse (et dirigée tangentiellement à la trajectoire, vers l'arrière) :

[calculair]

Bonjour

En effet la décomposition sur des axes d'un vecteur est correct dans in espace vectoriel. Ce dernier est linéaire. La force de résistance de l'air est ici quadratique, alors cette décomposition ne suit plus les règles associées à un espace vectoriel.....

LPFR ne l'a fait remarque et je me suis fait avoir en voulant décomposer sur les 2 axes.