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Ptite question de math/MQ



  1. #1
    BioBen

    Ptite question de math/MQ


    ------

    Bijour,
    j'aurai quelques petites questions sur l'interprétation physique de mon td de math pour physicien, qui porte sur les spin en MQ.

    Grosso modo on nous donne les matrices de Pauli qui décrient un spin 1/2( (matrice 2x2) , celles qui décrivent un spin 1( (matrice 3x3).

    On définit aussi
    On ne nout dit pas ce que c'est non plus... spin +1/2 et -1/2 ? Mais bon ca voudrait dire que les J representent des spins +1 et -1 ...

    Donc on fait tout plein de calculs tous cons avec (sigma_x^2, sigma_x*sigma_y et tous les autres produits/carrés), ainsi que les commutateurs ( [[\tex]\sigma_x , sigma_y[/TEX]] et cie), mais malheuresement on ne parle pas vraiment de eur inteprétation physique

    Prenons par exemple
    On constate que pour n pair on tombe sur la matrice identité, et pour n impair on retombe sur sigma_x (de même pour y et z)....et donc ?

    De même pour les commutateurs, on tombe sur des resultats simples mais sans les intepréter, et c'est assez dommage à mon gout...

    Pourquoi (physiquement, mathématiquement c'est très simple lol) J+^n ou J-^n est nul pour n>2 ?

    On étudie aussi les projections de sigma_+, sigma_-, J= et J- sur les vecteurs de base, mais là encore sans interpréter...(pourquoi sigma_+ projeté sur (1 0) donne (0 0) par exemple ?).

    Bref, je sais que ca fait beaucoup de questions, mais bon vous etes pas obliger de tout faire d'un coup, je ferais des recherches par moi-même vendredi aussi.

    Tiens d'ailleurs pour on décrit les spin 1/2 par une matrice 2x2 alors que les spin 1 ont le droit d'avoir une 3x3 ?
    Merci d'avance,
    Benjamin

    // Je sais pas si mes notation sont "conventionnelles, si c'est necessaire j'expliciterai les matrices//

    -----
    Dernière modification par BioBen ; 14/02/2006 à 18h56.

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  3. #2
    mariposa

    Re : Ptite question de math/MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    Bijour,
    j'aurai quelques petites questions sur l'interprétation physique de mon td de math pour physicien, qui porte sur les spin en MQ.

    Grosso modo on nous donne les matrices de Pauli qui décrient un spin 1/2( (matrice 2x2) , celles qui décrivent un spin 1( (matrice 3x3).

    On définit aussi
    On ne nout dit pas ce que c'est non plus... spin +1/2 et -1/2 ? Mais bon ca voudrait dire que les J representent des spins +1 et -1 ...

    Donc on fait tout plein de calculs tous cons avec (sigma_x^2, sigma_x*sigma_y et tous les autres produits/carrés), ainsi que les commutateurs ( [[\tex]\sigma_x , sigma_y[/TEX]] et cie), mais malheuresement on ne parle pas vraiment de eur inteprétation physique

    Prenons par exemple
    On constate que pour n pair on tombe sur la matrice identité, et pour n impair on retombe sur sigma_x (de même pour y et z)....et donc ?

    De même pour les commutateurs, on tombe sur des resultats simples mais sans les intepréter, et c'est assez dommage à mon gout...

    Pourquoi (physiquement, mathématiquement c'est très simple lol) J+^n ou J-^n est nul pour n>2 ?

    On étudie aussi les projections de sigma_+, sigma_-, J= et J- sur les vecteurs de base, mais là encore sans interpréter...(pourquoi sigma_+ projeté sur (1 0) donne (0 0) par exemple ?).

    Bref, je sais que ca fait beaucoup de questions, mais bon vous etes pas obliger de tout faire d'un coup, je ferais des recherches par moi-même vendredi aussi.

    Tiens d'ailleurs pour on décrit les spin 1/2 par une matrice 2x2 alors que les spin 1 ont le droit d'avoir une 3x3 ?
    Merci d'avance,
    Benjamin

    // Je sais pas si mes notation sont "conventionnelles, si c'est necessaire j'expliciterai les matrices//
    .
    Juste un petit coup de main

    les états 1/2> et -1/2> désignent les vecteurs propres de l'opérateur sigma z.(La matrice de l'opérateur est donc diagonal).

    Comme cet opérateur ne commute pas avec sigma x et sigma y les matrices de ces opérateurs sont non diagonaux.(dans la base des états 1/2> et -1/2>)
    .
    a partir des opérateurs sigma précédents tu peux fabriquer d'autres opérateurs par combinaison linéaire. En particulier les opérateurs sigma+ et sigma -. Ces deux opérateurs ne sont pas diagonaux dans la la base des états 1/2> et -1/2> mais represente le passage de l'état
    -1/2> à +1/2> pour sigma + et de état 1/2> et -1/2> pour l'opérateur sigma -
    .
    Il s'agit d'un '"jeu" mathématique pour apprendre la méanique de la MQ. S'agissant d'un spin 3 tu as un espace de dimension 3 et tu peux faire le même raisonnement que précedemment avec les mêmes opérateurs. La différence est que les états propres de Jz seront -1> 0> et +1>
    .
    Remarque:

    1- pour des conditions de facilités d'écriture on donne comme nom aux états propres les valeurs propres de sigma z ou Jz.
    .
    2- L'usage est d 'écrire sigma Z en dimension 2 et Jz en dimension 3 et +. mais il n'y strictement aucune différence

  4. #3
    gatsu

    Re : Ptite question de math/MQ

    Bonjour
    Je voudrais juste ajouter quelques details au cas où...

    Citation Envoyé par mariposa
    .
    Comme cet opérateur ne commute pas avec sigma x et sigma y les matrices de ces opérateurs sont non diagonaux.(dans la base des états 1/2> et -1/2>)
    Ceci vient du fait (je ne sais pas si tu l'as vu c'est pour ça que je précise) que si deux opérateurs commutent alors ils ont des vecteurs propres communs.

    S'agissant d'un spin 3 tu as un espace de dimension 3 et tu peux faire le même raisonnement que précedemment avec les mêmes opérateurs. La différence est que les états propres de Jz seront -1> 0> et +1>
    .
    Je suppose que tu parles d'un nombre quantique de spin 1 (et non 3)

  5. #4
    Makalu

    Re : Ptite question de math/MQ

    Bonsoir,

    Les différents opérateurs que tu as étudiés en TD apparaissent lorsque que tu considères des rotations. Par exemple, il est possible de montrer que lors d'une rotation d'un angle autour d'un axe z, la fonction d'onde d'une particle se transforme alors par



    C'est un peu plus compliqué pour une rotation quelconque. Plus généralement, la fonction d'onde transformée s'exprime sous la forme


    (la direction de spécifie l'axe de rotation et le sens par la règle du tir bouchon). est un opérateur qu'on peut peut représenter de différentes façon selon la base qu'on choisit.

    Dans certaines de ces bases (représentations irréductibles), la "matrice" associé à cet opérateur prend une forme à peu près diagonale. Ces bases sont très importantes parce qu'elles sont associées aux symétries du système et permettent de prédire a priori la structure générale du spectre d'énergie du système (multiplets). La dimension de la base donne la dégénérescence d'un niveau.

    On peut montrer qu'il existe une infinité de telles bases pour le groupe des rotations qui ont pour dimension 2j+1 où j est un nombre entier. En fait dans le monde quantique, les particules de matière (par opposition aux particules de "jauges" qui "portent" les intéractions) ont une rotation "intrinsèque" un peu bizarre : elles ne sont pas invariantes dans des rotations de 360° mais du double! Chacune des particules porte ainsi un "spin". Cela correspond à des valeurs demi entières de j bien précises par exemple 1/2. Donc ce que tu as vu en TD correspond aux représentations de dimension 2 (j=1/2) et 3 (j=1).

    Je me rends compte que ce que j'ai écrit n'est pas très clair J'espère que ça pourra quand même un peu t'aider.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mariposa

    Re : Ptite question de math/MQ

    Citation Envoyé par gatsu
    .
    Je suppose que tu parles d'un nombre quantique de spin 1 (et non 3)
    .
    Merci d'avoir rectifier

  8. #6
    BioBen

    Re : Ptite question de math/MQ

    C'est bizarre j'étais persuadé qu'on devait parler français sur ce forum
    Non plus serieusement ca va j'ai grosso modo compris ce que je faisais physiquement

    Comme cet opérateur ne commute pas avec sigma x et sigma y les matrices de ces opérateurs sont non diagonaux.(dans la base des états 1/2> et -1/2>)
    Pour verifier que j'ai bien compris : quand deux opérateurs commutent, [A,B] = 0 c'est ca ? (ce qui n'est pas le cas ici donc effectivement ne commute avec aucun des deux autres).

    Ces deux opérateurs ne sont pas diagonaux dans la la base des états 1/2> et -1/2> mais represente le passage de l'état
    -1/2> à +1/2> pour sigma + et de état 1/2> et -1/2> pour l'opérateur sigma -
    Ah... j'étais pas loin Merci je sais enfin ce que ces matrices signifient et leurs roles !

    La différence est que les états propres de Jz seront -1> 0> et +1>
    Mais quelle particule a un spin -1 ?

    Ceci vient du fait (je ne sais pas si tu l'as vu c'est pour ça que je précise) que si deux opérateurs commutent alors ils ont des vecteurs propres communs.
    Non j'ai pas encore vu ça, mais ca devrait pas tarder, et puis ca doit pas etre trop dur à montrer je pense...

    Je suppose que tu parles d'un nombre quantique de spin 1 (et non 3)
    Ui j'ai corrigé moi aussi... spin3 ca fait un peu trop lol

    une rotation "intrinsèque" un peu bizarre : elles ne sont pas invariantes dans des rotations de 360° mais du double!
    Ui ui ca j'ai vu moults fois
    Par contre sur la première partie sur la rotation c'est assez compliqué à suivre...je ne vois pas vraiment comment arrive la première formule

    On peut montrer qu'il existe une infinité de telles bases pour le groupe des rotations qui ont pour dimension 2j+1 où j est un nombre entier.
    Merci, si je comprends c'est une justification de la taille de mes matrices (selon que j=1/2 ou j =1, on retrouve bien 2 et 3).

    Je devrais faire pas mal de trucs qui vont m'aider à mieux comprendre tout ca ce semestre(elements de théorie des groupes et cie).

    Merci...mais bon je devrais revenir à la charge bientot pour d'autres questions lol

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  10. #7
    Makalu

    Re : Ptite question de math/MQ

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par BioBen
    C'est bizarre j'étais persuadé qu'on devait parler français sur ce forum
    surpsi?

    Citation Envoyé par BioBen
    Pour verifier que j'ai bien compris : quand deux opérateurs commutent, [A,B] = 0 c'est ca ?
    Oui parce que cela signifie que AB=BA autrement dit l'ordre des opérateurs n'a pas d'importance.

    Citation Envoyé par BioBen
    Mais quelle particule a un spin -1 ?
    correspond à la projection du moment cinétique sur l'axe des z, donc il peut prendre des valeurs positives ou négatives. Le -1 ici est en unité de .


    Citation Envoyé par BioBen
    Par contre sur la première partie sur la rotation c'est assez compliqué à suivre...je ne vois pas vraiment comment arrive la première formule
    Il faut considérer d'abord des rotations infinitésimales. Tu écris que



    est le point obtenu après rotation autour de l'axe z. Le plus simple est de le faire en coordonnées polaires puisque seul l'angle change. Tu fais ensuite un développement de Taylor par rapport à l'angle



    soit



    que tu peux réécrire



    soit encore en se rappelant le développement de Taylor de l'exponentielle



    On peut montrer que le résultat reste vrai pour des rotations finies. En comparant avec l'expression que j'ai écrite précédement, on a donc que

    en coordonnées polaires. Tu vois d'ailleurs sur cette formule que l'opérateur ressemble à un opérateur impulsion. Comme en mécanique classique, le moment cinétique est une impulsion généralisée par rapport à une variable angulaire.

    Citation Envoyé par BioBen
    Merci, si je comprends c'est une justification de la taille de mes matrices (selon que j=1/2 ou j =1, on retrouve bien 2 et 3).
    Oui c'est exactement ça! Tu verras sûrement ça en détails dans tes prochains cours. Pour le spin 1/2 par exemple, la base irréducible dont j'ai parlé correspond à ce qui a été noté |1/2> et |-1/2> dans les messages précédents (donc la dimension est bien 2).

  11. #8
    mariposa

    Re : Ptite question de math/MQ

    Citation Envoyé par BioBen

    Mais quelle particule a un spin -1 ?


    l
    .
    Il ne faut pas confondre le moment cinétique (orbital, de spin ou autre) qui possède des valeurs positives entières ou demi-entières:
    .
    Exemple S= 1/2 S= 1 S= 7/2 S= 17

    Pour un moment S déterminé ses vecteurs propres sont un nombre égal à (c'est la dimension de l'espace de Hilbert):

    ...2S + 1 ........Si S= 3/2 la dimension de l'espace est 4)

    Pour les distinguer on les classes suivant les vecteurs propres de Sz (les "projections suivant z) que l'on nomme Ms avec :

    ...Ms = -S , -S +1 ,........S-1, S
    .
    L'expression générale d'un état dans l'espace de Hilbert
    à 2S+1 dimensions s'écrira:
    .
    ....S, Ms>
    .
    Cette notation est justifiée par le fait que [S.S,Sz] = 0
    on peut donc noter les vecteurs propres par les valeurs propres des opérateurs qui commutent.

    .
    Comment obtenir un spin 3/2 ?
    .
    Mathématiquement on peut les obtenir par couplage de 3 spins 1/2. (dimension de Hilbert:2*2*2 =8)
    .
    On trouve que tous les couplages de trois spin 1/2 donnent un spin 3/2 et deux spin 1/2 (dimension de Hilbert 4 + 2*2 = 8 ouf! la dimension est conservée)
    .
    Physiquement: Dans certains contextes (voir certains atomes et magnétisme) l'état avec spin maximum possède l'énergie la plus basse ce qui favorise une corrélation de spins (voir règle de Hund)

  12. #9
    Rincevent

    Re : Ptite question de math/MQ

    Citation Envoyé par BioBen
    Mais quelle particule a un spin -1 ?
    comme mariposa vient de le dire, la confusion est issue du fait qu'on nomme souvent de la même façon ("spin") deux trucs différents et que je vais très brièvement décrire sans équation pour compléter les réponses un peu formelles [mais très probablement correctes même si je les ai pas lues ] qui précèdent. Tu as donc :

    - le spin, que tu peux visualiser maladroitement comme la longueur de la "flèche" "moment cinétique intrinsèque" et qui a une valeur fixée pour un type de particule donné

    - sa projection par rapport à une direction arbitraire choisie, une projection pouvant être négative si la flèche est orientée dans le sens opposé à la direction repère choisie. Cette valeur varie donc d'une particule à une autre, voire même dans un cas quantique peut avoir plusieurs valeurs à la fois (l'état quantique pouvant être une combinaison linéaire "d'états classiques" ou "états propres")

    cette image est incorrecte comme c'est quantique, mais elle permet d'avoir une première intuition du machin qui soit en quelques sortes "physique"
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

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