Equations de Maxwell

inviteea1dbe36 · 05/06/2014, 09h04

Bonjour,

Je voudrai résoudre un exercice d’électromagnétique proprement avec les équations de Maxwell.

Un conducteur plongé dans un champ d'induction magnétique constant forme un demi-arc de cercle. On lui impose une rotation avec pulsation $\text{[math]}$ . Quel courant est généré dans ce conducteur ?

Nom : haf_coil.png
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J'ai voulu intégré l'équation $\text{[math]}$ sur la surface [TEX]$\Sigma$[\TEX] (surface en mouvement).

$\text{[math]}$

Mais en restant dans le référentiel du laboratoire, la dérivée temporelle du champ [TEX]$\vec B$[\TEX] est nul (quel que soit la surface sur laquelle je l'intègre) donc j'ai que le rotationnel du champ électrique est nul en tout point... ce qui ne m'avance pas.

Si je me met dans le référentiel en rotation, ai-je le droit ?, alors dans ce référentiel le champ d'induction magnétique n'est plus constant au cours du temps j'ai donc bien une expression pour la dérivée temporelle. Par contre je ne sais avancer aucun argument pour dire que le champ électrique est nul (ou pas) sur l'axe de rotation donc je ne peux pas conclure.

Je ne veux pas la solution finale de l'exercice, je la connais, je veux savoir exactement comment on peut appliquer les équations de Maxwell dans cette situation.

Merci d'avance,

Mario Geiger

**invite6dffde4c** · 05/06/2014, 11h46

Bonjour.
Votre intégrale c'est du n'importe quoi. Vous intégrez à gauche sur la surface et utilisez Stokes (j'espère que c'est bien ça que vous avez voulu faire) ce qui est correct. Mais à droite vous intégrez sur oméga ? C'est quoi oméga ?
Non. Il faut intégrer à droite aussi sur la surface de la boucle. Puis vous permutez l'ordre d'intégration et dérivation. Et à droite vous aurez la dérivée de l'intégrale de surface du champ qui vous donne le flux.
Et vous tombez sur la loi de Faraday.

Et n'oubliez pas que l'intégrale est sur une surface et celle de ligne l'est sur un chemin fermé.
Donc, votre dessin n'est pas complet. Il faut (presque) fermer le circuit.
Au revoir.

inviteea1dbe36 · 05/06/2014, 13h43

C'est quoi oméga ?

Quelle lettre vous convient il mieux ? dS (S comme surface) ? Vous pinaillez

Puis vous permutez l'ordre d'intégration et dérivation

Je ne peux pas... $\text{[math]}$ dépend du temps. Vous être en train de dire que $\text{[math]}$ ce qui est grotesque.

Et n'oubliez pas que l'intégrale est sur une surface et celle de ligne l'est sur un chemin fermé.

Je sais bien, d'où la notation $\text{[math]}$ qui représente le bord de la surface $\text{[math]}$ . La surface choisie étant simplement connexe, son bord est une chemin fermé.

Donc, votre dessin n'est pas complet. Il faut (presque) fermer le circuit.

Les équation des Maxwell sont vraie quel que soit la surface choisie pour les intégrées... Je ne vous suis pas.

**invite6dffde4c** · 05/06/2014, 13h45

Tant pis.
J'arrête.

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invite84ef135b · 06/06/2014, 14h48

Bonjour,

d'une manière générale, des équations de Maxwell sont rarement utilisables, et des formes équivalentes (forme intégrale, Biot et Savart) mènent à un résultat. Mais je comprends le désir de le faire une fois.

Dans l'exemple donné :
(1) Il manque bien le reste du circuit, pour intégrer sur un chemin fermé (ou quasi fermé). Ce reste du chemin, immobile dans un champ constant, ne produit pas de différence de potentiel, donc peut se négliger dans l'intégrale.
(2) Les équations de Maxwell vont dans UN référentiel. Ici l'induction B est fixe dans un référentiel mais pas le fil, or on veut intégrer la différence de potentiel le long de ce fil.

Il faut alors recalculer les champs dans le réfentiel du fil. Le changement de vitesse (de repère) ajoute au seul B du premier référentiel un champ E qui vaut VxB dans le deuxième référentiel si V est la vitesse (avec éventuellement des signes pour ceux que cela intéresse).

On retrouve alors les habituels qVxB, d(flux)/dt dont la partie due à la vitesse, et autres.

Oui, l'électromagnétisme est subtil. Toutes ces questions de domaine d'intégration et de référentiel pour commencer. Après, les antennes sont la partie difficile.

Bon courage !

inviteea1dbe36 · 06/06/2014, 17h08

Merci pour cette explication très clair.

De votre explication me viennent quelques questions :

1) Vous dites qu'en changeant de référentiel il faut rajouter un champ électrique qui vaut $\text{[math]}$ . Mais le champ magnétique ne doit-il pas lui aussi changer ? Si oui comment ?
2) Si j'ai bien compris, ce qui vous pousse à changer de référentiel est le faite que le fil est en mouvement (dans le ref. du labo). Mais comme vous avez également dit, on veut intégrer le long du fil, lequel dois ce refermer et en se refermant il est immobile (dans le ref. du labo). Alors en changeant de référentiel on va certes rendre la partie du fil initialement mobile fixe mais on va aussi rendre sa partie immobile en mouvement. Comment faire pour que le changement de référentiel soit bénéfique ?

Je suis désolé si je vous insupporte avec mes questions. Peu être que je verrais tout ça en cours en master mais j'aimerais bien avoir une idée de la chose d'ici là...

Encore merci pour la réponse, j'ai déjà une idée plus clair de ce qui ce passe.

inviteea1dbe36 · 06/06/2014, 17h23

J'ai refais le dessin pour être sûr qu'on parle bien de la même chose.

Nom : haf_coil2.png
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Dans le dessin seule la partie verte du câble est en mouvement (dans le référentiel du laboratoire).

**albanxiii** · 06/06/2014, 20h08

Bonjour,

Envoyé par mariogeiger

1) Vous dites qu'en changeant de référentiel il faut rajouter un champ électrique qui vaut $\text{[math]}$ . Mais le champ magnétique ne doit-il pas lui aussi changer ? Si oui comment ?

Faites le calcul. En relativité galiléenne, les forces sont les mêmes dans tous les repères inertiels équivalents.
Regardez la force de Lorentz.

@+

invite84ef135b · 07/06/2014, 18h21

Bonjour, le jouli dessin me convient.

Pour chaque vitesse des différents endroits du fil, il faut calculer comment B et le mouvement créent du E, après quoi on peut intégrer. Changement de repère ou référentiel, comme tu voudras.

Dans Maxwell, dB/dt donnera essentiellement des choses inintéressantes comme tu l'as déjà remarqué, et il restera à intégrer VxB.dL, ce qui n'est plus tellement des équations de Maxwell... Mais c'est bien de l'avoir fait une fois.

Parce que les équations de Maxwell sont difficiles à utiliser (surtout sur des cas concrets !) et induisent en erreur comme des peaux de banane savonnées, les électrotechniciens sautent dès que possible sur U = d(flux)/dt (mets les signes que tu veux), laquelle inclut les variations de l'induction ET le déplacement des conducteurs, donc on en oublie moins souvent un. C'est bien assez difficile ainsi (exemple : le haut-parleur à bobine mobile).

@+

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