Bonjour;
une question me préoccupe depuis un bon moment est : comment savoir si un système physique est un système hamiltonien sans passer par la vérification mathématique qui stipule que la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle vérifient les équations d'Hamilton. Car je pense qu'il y a bien quelque chose derrière cette vérification mathématique qui m'échappe.
Merci de me répondre
Hamiltonien14
Salut,Envoyé par Hamiltonien14
Bonjour;
une question me préoccupe depuis un bon moment est : comment savoir si un système physique est un système hamiltonien sans passer par la vérification mathématique qui stipule que la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle vérifient les équations d'Hamilton. Car je pense qu'il y a bien quelque chose derrière cette vérification mathématique qui m'échappe.
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Hamiltonien14
Si l'hamiltonien suppose ne depend pas du temps alors une dynamique est hamiltonienne si son energie est constante en fonction du temps ce qui est equivalent a dire que la physique du systeme est invariante par translation dans le temps.
C'est un peu tautologique de le dire comme ca mais vu qu'un systeme dynamique peut satisfaire les equations d'hamilton avec un hamiltonien qui depend du temps, je prefere preciser.
Je reformule en espérant avoir bien compris la question. Comment expliquer que la dynamique des systèmes physiques soit hamiltonienne ?
Une équation d'évolution découlant de F = m gamma on la comprend bien. On peut assez directement relier le principe fondamental de la dynamique (la deuxième loi de Newton) au fait, observable dans la vie de tous les jours, que plus un objet est lourd, plus il est difficile de le mettre rapidement en mouvement.
Concernant les équations de Hamilton, l'explication que je trouve la plus intuitive est celle dérivant indirectement de la formulation lagrangienne de la mécanique quantique.
Entre deux instants t1 et t2, le chemin classique correspondant à la dynamique hamiltonienne dans l'espace-temps du système considéré (son espace des évolutions selon la terminologie qui était employée par J.M. SOURIAU) est le chemin selon lequel les différents chemins menant de l'évènement (X1,t1) à l'évènement (X2,t2) interfèrent constructivement selon le principe dit de la phase stationnaire (quand on considère une modélisation quantique de ce système).
Il se trouve que ce chemin est celui qui minimise l'intégrale (appelée action) d'une grandeur appelée Lagrangien du système. Il s'agit donc du chemin selon lequel l'action en question est stationnaire. Cette condition de stationnarité est exprimée mathématiquement par les équations de Lagrange. Le passage du Lagrangien à l'Hamiltonien, puis aux équations hamiltoniennes (basées sur cet Hamiltonien) s'effectue mathématiquement de la façon habituelle.
Bref, le chemin suivi par un système dans son espace classique des évolutions (chemin obtenu par résolution des équations hamiltoniennes) est le chemin selon lequel interfèrent constructivement les évolutions quantiques passant (dans n'importe quel sens d'évolution temporelle d'ailleurs. La notion de causalité n'est probablement pas pertinente à ce niveau) par les deux évènements (X1,t1) et (X2,t2) dans l'espace des évolutions du système.
Pour plus de détails se reporter à :
- Tome I de mécanique quantique du Cohen Tannoudji,
- complément J III Propagateur de l'équation de Schrödinger,
- §1 Introduction. Idée physique, et
- §3 Formulation lagrangienne de la mécanique quantique,
- sous-§ d Limite classique. Lien avec le principe de Hamilton.
Dernière modification par chaverondier ; 13/07/2014 à 16h14.
Bonjour je vous remercie pour vos réponses,
Seulement ce que je cherche à comprendre est comment savoir qu'un système physique (par exemple un ensemble d'oiseaux qui volent à des vitesses variables ou autres.....insectes....) est un système hamiltonien ?
En mécanique classique (prise en compte de l'invariance de Lorentz incluse) tous les systèmes physiques ont une évolution dynamique hamiltonienne.
