Statistique classique

[DorioF]

Bonjour

j'étudie la physique statistique. En divise l'espace des phases en cellules élémentaires et c'est ce point que je ne comprend pas très bien. mais encore plus troublant le volume de la cellule est une puissance de h. alors je me demande comment on faisait la venu de la mécanique quantique.

alors comment on faisait avant la venu de la mécanique quantique
es ce que la physique statistique a un sens sans les éclairages qu’apporte la mécanique quantique.
Boltzmann ne connaissait pas la mécanique quantique et il a proposé de diviser l'espace des phases en cellule élémentaire je ne pense pas qu'il se doutait ou qu'il ai pus anticiper les idée quantiques ici. alors qu'es ce qui justifié sa démarche.

donnez moi vos propre avis et aussi des livres qui traite de ces sujet. c-a-d de physique statistique sans le moindre gramme de mécanique quantique. par exemple une foi on m'a dit qu'en physique statistique on divisé l'espace des phases en volume élémentaire de volume T (par exemple) et qu'en fin de calcule on s'en débarrasse mais je ne vois pas du tout comment on fait.

merci
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[obi76]

Bonjour,

personnellement en physique stat je n'ai jamais vu de mécanique quantique... Et je ne vois pas en quoi discrétiser l'espace des phases ait une quelconque implication de l'utilisation de la mécanique quantique...

[DorioF]

le volume de la cellule c'est une puissance de h.
ensuite dans l'entropie d'un gaz parfait on a un h qui apparait.

entropie d'un gaz parfait

[obi76]

Personnellement pour la loi des gaz parfaits, je n'ai jamais eu à prendre ce genre de considération. La seule hypothèse (qui rejoint cette histoire de h^3), c'est que si on discrétise trop finement, il n'y a plus assez de particules par volume, et/ou l'inégalité d'Heisenberg discrédite les lois classiques que vous utilisez par la suite. Dans ce cas ce n'est effectivement plus de la physique stat...

Pour moi le h^3 vient juste d'une loi d'échelle... Si vous prenez 1000 h^3 ça marche aussi (mais pas si vous prenez h.10^-3)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[DorioF]

je réfléchis depuis tth à la question et je commence à y voir plus claire. et je préfère votre explication personnellement je suis bien plus à l'aise avec ce que vous dites. es ce que vous pouvez détaillez ce que vous êtes entrain de m'expliquer s'il vous plait ou m'orienter vers un ouvrage qui le fait. parce que pour le moment à chaque foi qu'on parle de physique statistique en invoque la mécanique quantique je comprend très bien qu'elle est importante pour rendre compte de certains observation (comme les capacité calorifique ) mais je doute qu'elle justifie la démarche théorique entreprise par la théorie statistique. et la ce que vous me dite me réconforte un peu donc encore une foi si possible détaillez ce que vous venez de m'expliquez et donnez moi un livre qui traite de ça s'il vous plait.

Merci

[obi76]

Bonjour,

un des cours de mécanique statistique que j'ai trouvé extrêmement bien fait était celui que j'ai reçu en M2, mais j'ai déjà cherché et je n'ai jamais trouvé le pdf du cours (c'est bien dommage d'ailleurs)... Je vais jeter un coup d'oeil au cas où...

[Amanuensis]

Et je ne vois pas en quoi discrétiser l'espace des phases ait une quelconque implication de l'utilisation de la mécanique quantique...

Problème avec le terme "discrétiser". Si c'est au sens réseau "discret" de points dans l'espace de phase, je ne vois pas non plus.

Si c'est au sens d'une unité particulière (à l'instar de la charge électrique, ou du spin), alors que l'unité de "l'hyper-volume" de l'espace de phase soit une puissance de h vient de la MQ.

(Et l'hypervolume intervient dans je ne me rappelle plus quel théorème de conservation lors d'une évolution unitaire...)

Non?

[obi76]

Problème avec le terme "discrétiser". Si c'est au sens réseau "discret" de points dans l'espace de phase, je ne vois pas non plus.

Dans mon domaine le lien est évident. De toutes façons je pense que DorioF aura comprit.

[albanxiii]

Bonjour,

Ça vaut ce que ça vaut, et c'est du niveau 1ère année d'école d'ingénieur (ESPCI, cours de Julien Bok), pas M2.

Dans ce cours, on se place dans le cadre de la mécanique quantique et on prend l'exemple d'une particule dans une boîte (puits de potentiel avec des bords infinis, 1D puis 3D) pour calculer le volume élémentaire de l'espace des phases.

En 1D, on a la relation , et comme on est dans une boîte, ne peut prendre que des valeurs discrètes, où est la longueur de la boîte (1D, je rappelle). Cela donne , et comme , on a . Et là, mon cours dit que l'état quantique pour lequel est le même que celui pour lequel et qu'on doit multiplier le trouvé plus haut par pour tenir compte de tous les états identiques.

En 3D, cela se généralise, on a encore .

Si ça aide pas, ne pas lire ... zut, trop tard...

@+

[gatsu]

Bonjour

j'étudie la physique statistique. En divise l'espace des phases en cellules élémentaires et c'est ce point que je ne comprend pas très bien. mais encore plus troublant le volume de la cellule est une puissance de h. alors je me demande comment on faisait la venu de la mécanique quantique.

alors comment on faisait avant la venu de la mécanique quantique
es ce que la physique statistique a un sens sans les éclairages qu’apporte la mécanique quantique.
Boltzmann ne connaissait pas la mécanique quantique et il a proposé de diviser l'espace des phases en cellule élémentaire je ne pense pas qu'il se doutait ou qu'il ai pus anticiper les idée quantiques ici. alors qu'es ce qui justifié sa démarche.

donnez moi vos propre avis et aussi des livres qui traite de ces sujet. c-a-d de physique statistique sans le moindre gramme de mécanique quantique. par exemple une foi on m'a dit qu'en physique statistique on divisé l'espace des phases en volume élémentaire de volume T (par exemple) et qu'en fin de calcule on s'en débarrasse mais je ne vois pas du tout comment on fait.

merci

Il faut distinguer la physique statistique classique de la physique statistique quantique.

En physique statistique classique, on doit calculer, dans l'ensemble microcanonique le nombre "d'etats", ayant une energie comprise entre et , possibles pour le systeme. Ce nombre d'etats est indenombrable et n'est rien d'autre que l'aire de l'hypersurface de l'espace des phases a energie constante multipliee par une epaisseur . On a donc . Avec cette definition, a une dimension physique (celle d'un volume dans l'espace des phases) et il est parfois plus rigoureux de dire que le nombre d'etats est le ratio entre et un volume elementaire dans l'espace des phases. En physique statistique classique, ce volume elementaire peut etre n'importe quoi on s'en moque car l'entropie du systeme est definie a une constante pret.

Il y a deux idees fausses qui sont propagees dans certains cours et livres de reference :

1- le est d'origine quantique et provient du principe d'incertitude temps-energie, ce qui est faux car ce provient du fait que la mesure invariante (sur laquelle est basee l'ensemble microcanonique) est une mesure de volume dans l'espace des phases (en vertu d'une formulation du theoreme de Liouville) et non une mesure d'aire dans l'espace des phases. Il faut donc, meme classiquement, mettre un pour avoir un resultat coherent avec la mecanique hamiltonienne.

2- le volume elementaire dans l'espace des phases doit etre , ce qui est faux pour la raison evoquee plus haut.

Pourquoi y-a-t-il un dans la plupart des cours ?

Les cours modernes de physique statistique essaient bizarrement de tout rationnaliser par la MQ, meme quand ce n'est pas necessaire. Cela etant, il existe un formalisme de physique statistique quantique qui marche excellemment bien et qui denombre le nombre d'etats quantiques dans l'ensemble microcanonique qui, vu que le systeme est cense avoir un volume donne, est a priori denombrable. L'idee est donc de compter ce nombre d'etats. Lorsqu'on essaie de calculer ce nombre d'etat dans la limite classique pour un gaz parfait, on obtient l'entropie semi-classique de Sackur-Tetrode qui contient un (mais qui ne sert a rien). On peut aussi montrer de maniere generale, que lorsque les effets quantiques sont negligeables i.e. lorsque position et impulsion "commutent", alors la mesure canonique quantique tend vers une forme exactement similaire a la mesure canonique classique mais ou la normalisation est faite par le volume elementaire de l'espace des phases .

C'est donc pour cela que, pour ne pas s'embeter, les profs disent directement que la mesure elementaire "naturelle" dans l'espace des phases est sans preciser que c'est une relique du formalisme quantique lorsqu'on prend la limite classique.

Note que pour ne pas ajouter a la confusion, je n'ai pas parle des particules indiscernables qui est un gros foutoir aussi bien dans le milieu de la recherche que dans les livres de reference sur le sujet.

[Nicophil]

Bonjour,

est-ce que la physique statistique a un sens sans les éclairages qu’apporte la mécanique quantique.
Boltzmann ne connaissait pas la mécanique quantique

La physique quantique est un chapitre ajouté à la physique statistique.
Boltzmann est le grand-père de la physique quantique.

[gatsu]

Bonjour,

La physique quantique est un chapitre ajouté à la physique statistique.
Boltzmann est le grand-père de la physique quantique.

La physique statistique quantique est un chapitre ajouté à la physique statistique classique.

Boltzmann est le grand-père de la physique quantique.

je n'irai pas jusque la non...

[Amanuensis]

2- le volume elementaire dans l'espace des phases doit etre , ce qui est faux pour la raison evoquee plus haut.

Ai pas compris. Quelle raison évoquée plus haut?

[gatsu]

Ai pas compris. Quelle raison évoquée plus haut?

Que l'entropie est définie à une constante près.

[Amanuensis]

N'y a-t-il pas d'autres usages de l'hyper-volume dans l'espace des phases, et d'une unité dudit volume, que l'entropie?

Même pour l'entropie...

Cela me parlait, cette unité. J'y voyais un (vague) rapport avec le théorème d’échantillonnage, qui amène en théorie du signal à considérer "l'aire" dans un diagramme temps-fréquence comme ayant une unité naturelle lié au "symbole".

Si on prend un tel diagramme, et qu'on "alloue" une zone de forme quelconque finie à un signal, le nombre de symboles libres max qu'on peut passer dans un signal "occupant" cette zone dépend de l'aire, pas de la forme de la zone ou de la technique de modulation du signal.

(Cela ne donne pas l'information au sens de Shannon qu'on peut passer, l'information par symbole dépendant du bruit affectant le signal.)

Le rapport avec le diagramme de phase vient de ce que la description en fréquence est la transformée de fourier de la description en temps, mathématiquement comparable avec un couple de variables conjuguées comme position et impulsion. Par rapprochement, l'unité "symbole" en théorie du signal correspond à l'unité h pour la MQ.

Derrière cela il me semble comprendre que c'est lié à la dimension finie de sous-espaces d'un espace de Hilbert dans les deux cas. Le "symbole" en théorie du signal, l'échantillon dans le théorème, est simplement la projection sur un élément d'une base ; l'unité est alors celle de la dimension au sens dimension d'un espace vectoriel.

Intuitivement (autrement dit sans réfléchir sérieusement) on se dit que cette histoire de dimension et d'espace de Hilbert devrait avoir un sens aussi en MQ, et cela amène à l'hyper-volume de l'espace des phases et ce "h".

Déjà que la relation entre MQ et entropie, ou celle entre entropie et information, n'est pas parfaitement claire (mon opinion), considérer ce "h" comme purement conventionnel détériore encore le panorama.

Mais ce sont des arguments "circonstanciels" comme on dit en jargon juridique anglais pour des preuves. Si cela ne se traduit pas en quelque chose de plus solide, ainsi soit-il.

[gatsu]

N'y a-t-il pas d'autres usages de l'hyper-volume dans l'espace des phases, et d'une unité dudit volume, que l'entropie?

Même pour l'entropie...

Cela me parlait, cette unité. J'y voyais un (vague) rapport avec le théorème d’échantillonnage, qui amène en théorie du signal à considérer "l'aire" dans un diagramme temps-fréquence comme ayant une unité naturelle lié au "symbole".

Si on prend un tel diagramme, et qu'on "alloue" une zone de forme quelconque finie à un signal, le nombre de symboles libres max qu'on peut passer dans un signal "occupant" cette zone dépend de l'aire, pas de la forme de la zone ou de la technique de modulation du signal.

(Cela ne donne pas l'information au sens de Shannon qu'on peut passer, l'information par symbole dépendant du bruit affectant le signal.)

Le rapport avec le diagramme de phase vient de ce que la description en fréquence est la transformée de fourier de la description en temps, mathématiquement comparable avec un couple de variables conjuguées comme position et impulsion. Par rapprochement, l'unité "symbole" en théorie du signal correspond à l'unité h pour la MQ.

Derrière cela il me semble comprendre que c'est lié à la dimension finie de sous-espaces d'un espace de Hilbert dans les deux cas. Le "symbole" en théorie du signal, l'échantillon dans le théorème, est simplement la projection sur un élément d'une base ; l'unité est alors celle de la dimension au sens dimension d'un espace vectoriel.

Intuitivement (autrement dit sans réfléchir sérieusement) on se dit que cette histoire de dimension et d'espace de Hilbert devrait avoir un sens aussi en MQ, et cela amène à l'hyper-volume de l'espace des phases et ce "h".

Déjà que la relation entre MQ et entropie, ou celle entre entropie et information, n'est pas parfaitement claire (mon opinion), considérer ce "h" comme purement conventionnel détériore encore le panorama.

Mais ce sont des arguments "circonstanciels" comme on dit en jargon juridique anglais pour des preuves. Si cela ne se traduit pas en quelque chose de plus solide, ainsi soit-il.

Je ne suis pas certain de comprendre entierement l'analogie avec les theoremes d'echantillonnage. Ultimement, en physique statistique classique, la seule chose dont on ait besoin est de la notion de mesure de volume dans l'espace des phases. Cela implique l'existence d'une topologie sous-jacente dont le plus petit ouvert a pour mesure l'hyper-volume elementaire dans l'espace des phases. Dans une theorie non quantique, il n'y a absolument aucune raison d'invoquer la constante de Planck et d'ailleurs, encore une fois cette derniere ne joue aucun role dans la physique/thermodynamique que l'on derive dans des regimes non quantiques.

La ou il est important de distinguer physique statistique classique de physique statistique quantique est que la premiere est celle pour laquelle les physiciens, mathematiciens et philosophes ont le plus de "justifications" de pourquoi est ce que ca pourrait marcher (hypothese ergodique, inference statistique, large deviations, loi des grands nombres, theoreme de recurrence de Poincare, theorie du chaos, proprietes de melange, auto-similarte etc...). A ma connaissance, le formalisme de la physique statistique quantique est une sorte d'extension naturelle de cette derniere (via le concept de matrice densite), pouvant trouver quelques justifications dans les methodes d'inference statistique, mais dont les fondements mathematiques ne sont pas clairs il me semble.

Il est cependant assez courant dans les traitements modernes (le paroxisme de ce type de traitements est atteint avec l'ouvrage de Roger Balian "Du Microscopique au Macroscopique") de partir de la MQ et voir ce que donne la limite classique. Dans un contexte de MQ, la notion d'espace des phases pour decrire l'etat du systeme ne fait meme pas sens au depart et est une sorte de propriete emergente pour certains type d'etats. Le systeme etant confine, les etats sont discretises (en nombre fini dans l'ensemble microcanonique mais infini dans l'ensemble canonique) et le resultat formel obtenu est comme si la normalisation naturelle a utiliser pour compter les etats (quantiques) via une integration sur l'espace des phases etait . Je ne nie pas que cela peut etre utile a certaines personnes qui preferent "penser quantique" et voir comment le classique en emerge mais mon opinion sur la question est que la physique statistique classique est une theorie dont les predictions n'ont absolument pas besoin de la constante de Planck. Les etudiants sont d'ailleurs souvent perturbe lorsqu'on leur parle de physique statistique classique et qu'ils voient la constante de Planck se ballader dans la fonction de partition d'un gaz parfait par exemple et du coup meme dans l'expression du potentiel chimique. C'est pour cela qu'il me semble important de souligner le role de "relique" de cette constante de Planck.


Note que dans le cas MQ -> classique, la logique n'est pas celle de l'echantillonnage usuel qui cherche a inferer la forme continue d'un signal analogique pre-existant a partir d'un nombre infini denombrable de points echantillonnes de ce signal; au contraire, l'idee est plutot d'approximer une somme discrete (sur les etats quantiques "reels" pre-existant) par une integrale d'une fonction continue approchee (a la Euler-MacLaurin). Bien sur, ces deux programmes sont etroitement lies mais ce qu'ils cherchent a effectuer est suffisament different pour que je souhaite les discriminer.

Déjà que la relation entre MQ et entropie, ou celle entre entropie et information, n'est pas parfaitement claire (mon opinion), considérer ce "h" comme purement conventionnel détériore encore le panorama.

Je suis d'accord avec toi que le lien entre MQ, entropie et informations ne sont pas clairs mias je ne pense pas qu'il soit necessaire d'aller dans cette direction pour pretendre que'une theorie classique a le droit d'exister independament de la tronche de la limite classique d'une theorie "plus fondamentale". Du coup, cela depend du point de vue que l'on souhaite adopter. On peut avoir une vision dite "bottom-up" ou l'idee consiste, en gros, a partir du modele standard et a voir ce qu'il se passe losqu'on change d'echelle; evidemment avec une telle approche, on se retrouve avec des constantes de Planck partout mais de mon point de vue on perd le caractere explicatif de certaines theories de niveau de description plus eleve qui expliquent deja de maniere satisfaisante ce qui en substance est a l'origine du phenomene.

Pour donner un exemple (probablement tres discutable) sur lequel j'ai donne mon opinion recemment sur StackExchange Physics, quelqu'un demandait si la desintegration radioactive irreversible d'un objet etait "d'origine" quantique. La plupart des intervenants ont repondus que oui (a vue de nez cela semble intuitif puisque on a affaire a un probleme de physique nucleaire) mais j'ai repondu non. En particulier parce que cela depend de quel aspect de la desintegration on trouve le plus important. Dans mon cas, je considere que c'est l'aspect irreversible qui est le plus important et l'explication de cette irreversibilite n'est clairement pas la MQ mais le second principe de la thermodynamique. Une telle desintegration n'est alors qu'un mechanisme extrement familier appartenant a la cathegorie des reactions spontanees (quelles soient chimiques, nucleaires ou que sais-je). Dire que c'est d'origine quantique floute la raison pour laquelle la desintegration 1) se produit et 2) est irreversible. Elle se produit simplement parce que l'objet est dans un etat d'energie excite et que, pour augmenter l'entropie de l'univers, il est preferable d'etre dans un etat de plus basse energie et c'est irreversible car la barriere entropique a franchir pour retourner dans l'etat excite est litteralement infnie. Le detail du mecanisme expliquant les valeurs des niveaux d'energie, la nature des produits de la reaction ainsi que le taux de probabilite de la reaction par unite de temps depend probablement en effet d'aspects quantiques mais pas le mecanisme de desintegration spontanee (selon moi).

[pseudoarallonge]

alors comment on faisait avant la venu de la mécanique quantique
es ce que la physique statistique a un sens sans les éclairages qu’apporte la mécanique quantique.
Boltzmann ne connaissait pas la mécanique quantique et il a proposé de diviser l'espace des phases en cellule élémentaire je ne pense pas qu'il se doutait ou qu'il ai pus anticiper les idée quantiques ici. alors qu'es ce qui justifié sa démarche.

Il est vrai que Planck s'est inspiré de Boltzmann pour découvrir le quantum d'action.
Il faut savoir que Boltzmann était passé maitre dans l'analyse combinatoire.
Sa division lui permettait de faire des combinaisons afin de calculer des entropies. Il obtenait des formules pour l'entropie, puis faisait tendre h vers zéro.

[pseudoarallonge]

Je voudrais ici dire comment apparait à partir du quantique. Je dis quantique et non pas Mécanique Quantique, car la démonstration que je vais donner est celle due à Bose (1924, 3 ans avant la M.Q.).

Il faut partir du résultat fondamental suivant:

P est l'impulsion t elle est constante (pour fixée à un près).
L'espace des phases comporte une composante d'espace (x,y,z) et une composante d'impulsion (px,py,pz).

Maintenant, considérons une particule et voyons comment elle se ballade dans l'espace des phases.
Elle peut aller continument de partout dans l'espace (disons dans un volume V).
Elle ne peut décrire qu'une sphère dans l'espace des impulsions puisque p=constante.

Si on récapitule, nous avons :
V, le volume dans l'espace des coordonnées.
, la surface de la sphère dans l'espace des impulsion
, due à la bande en fréquence.

En multipliant ces trois termes, on voit apparaitre un terme en .
Le terme devant ce représente le nombre de particules dans un volume considéré et pour un donné