Principe de moindre action

[invitef8678d9d]

Bonjour,

Dans le Landau de mécanique, il est mentionné que le principe de moindre action n'est vrai que pour une partie suffisamment petite de la trajectoire.

Par "suffisamment petite", entend t-il "infiniment petite" autrement dit "pour une durée dt de mouvement infiniment petite" auquel cas la quantité à minimiser serait "l'action élémentaire dS=L.dt ?

De plus, il mentionne qu'en minimisant chaque petite action dS, il se peut que S soit maximale.

Comment, en ajoutant des petits bouts minimales, peut-on obtenir quelque chose de maximale ?

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

Cordialement.
MattCharr
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[invitea6e91e1c]

Bonjour,

Suffisamment petite ne veut pas dire infiniment petite.
Cela veut dire que la variation de l'action vaut zéro seulement à l'ordre 1, (mais pas nécessairement aux ordres supérieurs)

Pour votre autre question, cela demande un peu de réflexion pour comprendre, comme souvent avec Landau.
En général, ce qu'écrit Landau, est tellement dense, qu'on s'imagine qu'il pourrait y avoir une erreur. Mais Landau n'a jamais tord (vérité empirique).

[invitef8678d9d]

Le fait que la variation de l'action vaut 0 au premier ordre signifie que le chemin rend stationnaire S, donc S peut très bien être maximum en ce point.
Pourquoi ne dis pas t-on simplement : "le système se meut de telle manière à ce que S soit stationnaire" ?
Quel est le rapport avec la notion de minimum ?

[invited9b9018b]

Bonjour,

Je pense que cela vient des premières formulations de ce principe, par exemple le principe de fermat ou celui de maupertuis.
Mais tous les ouvrages que j'ai lus mentionnaient également la formulation "correcte".

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6e91e1c]

C'est peut-être aussi le fait que l'on fait de la physique et pas des maths pures.

Il y a en théorie des ondes, la même histoire.
L'effet de l'amortissement se traduit par une exponentielle décroissante, alors que mathématiquement on devrait également prendre en compte une exponentielle croissante (mais on n'en tient pas compte car ce n'est pas physique).

Peut-être que l'action est minimale, car une action maximale n'est pas physique.

Il y a un principe similaire, le principe de Fermat en optique qui stipule un principe de moindre temps. Dirait-on de la lumière qu'elle se propage entre deux points en un temps maximum. Ce n'est pas physique, car tout le monde sait très bien que la lumière n'est pas corse

[invitef8678d9d]

Mais d'après les équations d'Euler-Lagrange, pour une condition initiale donnée, il y a une unique trajectoire suivie qui peut rendre l'action maximum avec un peu de chance... Du coup, quelle est pour vous la bonne formulation. Entre deux instants, l'action doit être stationnaire ? Minimum ?

[Amanuensis]

Peut-être que l'action est minimale, car une action maximale n'est pas physique.

Non, pas de règle.

C'est le cas pour le lagrangien usuel en RG pour une géodésique de genre temps (l'action est la durée propre, qui est maximisée).

Il y a d'autres exemples.

(Et il y a des cas où l'extrémalisation de l'action ne donne ni un maximum ni un minimum, mais un "point-selle".)

[invitef8678d9d]

Entre Ti et Tf, la trajectoire suivie est celle pour laquelle S(Ti,Tf) est stationnaire. Entre T0 ( Ti<T0<Tf) et Tf, la trajectoire suivie est celle pour laquelle S(T0,Tf) est stationnaire. Ne s'en suit-il pas une indétermination sur la trajectoire réellement suivie entre T0 et Tf ?

[Amanuensis]

Non. Toute sous-partie d'une trajectoire "stationnaire" (extrémalisant l'action) est "stationnaire".

(Ne pas oublier que la "trajectoire" (le chemin) est dans l'espace des configurations du système.)

[invitea6e91e1c]

Du coup, quelle est pour vous la bonne formulation. Entre deux instants, l'action doit être stationnaire ? Minimum ?

Je pense que cette question n'est pas très intéressante.
Il est beaucoup plus intéressant de voir qu'il y a une variation de l'action à l'ordre 2. Pourquoi est-ce intéressant ?
Parce qu'il y a en réalité non-unicité du chemin! Il y en a même une infinité (trajectoires voisines).
Cette caractéristique explique pourquoi une onde plane qui traverse une fente étroite se transforme en onde sphérique.
Ce que je vous dis là est ce que j'ai cru comprendre de ce que dit Feynman dans son cours.

[invitef8678d9d]

" Ne pas oublier que la "trajectoire" ( le chemin ) est dans l'espace des configurations du système "


Et pourquoi pas plutôt, dans l'espace des configurations du système munit de l'axe des temps, autrement dit dans " l'espace des configurations-temps " du système ?

[Amanuensis]

" Ne pas oublier que la "trajectoire" ( le chemin ) est dans l'espace des configurations du système "


Et pourquoi pas plutôt, dans l'espace des configurations du système munit de l'axe des temps, autrement dit dans " l'espace des configurations-temps " du système ?

En cinématique classique c'est la même chose, non?

[invitef8678d9d]

Peut-être, ça dépend de ce qui est désigné quand on dit " espace des configurations "
À l'oreille, j'imagine seulement les axes x,y et z quand j'entend " espace des configurations " mais le principe de moindre action ( en tout cas en mécanique lagrangienne ) se place dans le repère x,y,z,t ( quatres dimensions, voir dans certains cas plus de 3 dimensions d'espace ) donc dans un espace-temps nécessairement.

[Amanuensis]

Quelle différence (en cinématique classique) entre s'occuper des chemins paramétrés par le temps dans un espace de configurations et s'occuper des chemins paramétrés par la coordonnée temporelle dans un espace configuration+temps?

Ce qui extrêmalisé est une "fonctionnelle", une fonction du chemin (une fonction de la fonction). Changer l'espace est juste une présentation différente du même problème.

(Je précise à chaque fois "en cinématique classique", pour laquelle le temps est absolu ; avec la Relativité Générale c'est différent, l'espace-temps étant "dynamique".)