Question à propos du modèle d'oscillateur harmonique

[Jiinggle]

Bonjour,

Une question que je me pose et dont Google ne m'a pas donné de réponse après quelques recherches...

Je me demande pourquoi, on utilise le modèle de l'oscillateur harmonique, pour "représenter" des liaisons atomiques entre deux charges ?
Certes, je comprends bien que au niveau de l'image, cela correspond, il s'agit bien de deux masses reliées par une force que l'on pourrait simuler par un ressort, mais dans le cas de l'oscillateur harmonique, on a une force proportionnelle en r (F=kr), alors que dans le la loi de Coulomb nous prévoit une force en 1/r² pour deux particules chargées...

On modélise donc une force en 1/r² en une proportionnelle à r ...

Merci pour votre aide
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[coussin]

Bonjour,
Dans quel contexte avez-vous vu qu'on modélise la loi de Coulomb par un ressort ?

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

La raison pour laquelle on insiste tant sur les ressorts dans l'enseignement secondaire est qu'en pratique le comportement élastique est quelque chose d'assez général.
En voici une explication (classique) :

Imaginez une masse m (un électron, un atome...) soumise à un certain potentiel U. (Ce potentiel est le résultat des interactions avec son environnement). Imaginons de plus que cette masse reste au voisinage d'une certaine position privilégiée dite d'équilibre. C'est une propriété très générale : un électron restant confiné proche de son noyau, deux atomes liés "chimiquement" conservant entre eux une distance égale à celle de leur liaison... Il faut simplement qu'il existe une position dans laquelle la masse reste stable et immobile si on l'y place sans vitesse. (et qu'elle reste au voisinage de cette position si on lui donne un peu de vitesse).

La seule solution pour que cela soit possible, c'est que le potentiel ait une forme de "puits" autour de la position d'équilibre (autrement dit, que celle ci corresponde à un minimum d'énergie potentielle)

Voici un exemple de potentiel donnant cette configuration :

http://commons.wikimedia.org/wiki/Fi...jpg?uselang=fr

Pour simplifier, on peut considérer le cas où ce potentiel ne dépend que d'un paramètre (par exemple, la distance entre deux atomes). Dans ce cas, l'équation du mouvement s'écrit :

(la force est égale à l'opposé de la dérivée du potentiel).

Si on appelle la position d'équilibre, la force doit être nulle en ce point : U'(x0) = 0. (ce qui revient à dire que la position d'équilibre est un extremum du potentiel).

Donc si on développe U en série de taylor au voisinage de :


Pour x suffisamment proche de x0, on peut négliger les termes d'ordre strictement supérieurs à 2. Si de plus on définit , alors l'équation du mouvement devient :



C'est exactement l'équation du mouvement pour un ressort ! Donc, il suffit qu'un système possède une position d'équilibre stable (puit de potentiel), pour qu'il se comporte comme un ressort au voisinage de cette position d'équilibre (ceci n'est vrai que tant qu'on ne s'éloigne pas trop de ).

Pour revenir à votre exemple maintenant... Je ne suis pas sur de voir de quoi vous parlez. De liaison chimique ? Si oui, les liaisons chimiques ne sont pas que l'effet d'une répulsion ou d'une attraction, c'est un peu plus compliqué. S'il n'y avait qu'un terme en 1/r² il y aurait un problème* (position d'équilibre à l'infini !) Pour deux atomes neutres par exemple, la liaison est due au partage d'électrons ou aux résidus d'interaction électrostatiques...
Mais si vous prenez compte de tous ces effets, il y a une position d'équilibre et donc on peut se ramener au ressort.

A+

* On peut contourner ce problème en faisant appel au potentiel effectif dans le cas attractif.

[stefjm]

Donc si on développe U en série de taylor au voisinage de :


Pour x suffisamment proche de x0, on peut négliger les termes d'ordre strictement supérieurs à 2. Si de plus on définit , alors l'équation du mouvement devient :

J'aurais dit plutôt
et on peut négliger les termes d'ordre supérieurs ou égal à 2.

Parce que sinon, je rate un truc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[lucas.gautheron]

Pour un ressort :

donc
(donc U'(x0) = 0)

et

je ne saisis pas bien votre objection...

A+

[stefjm]

Toutes mes excuses, je fatigue, j'ai effectivement raté une dérivée.
Désolé pour le bruit.

[Murmure-du-vent]

Si vous lisez l'anglais, je vous conseille les deux premieres pages du livre de ZEE: (celles avec les ressorts)
http://pup.princeton.edu/chapters/s7573.pdf

[Jiinggle]

Merci pour vos réponses

Je me rends compte que ma question n'était pas idéalement formulée, je m'en excuse !

Je la repose clairement, même si je pense avoir une réponse grâce à vous.

Si on considère deux particules chargées, par exemple une charge q+ et une q-, séparées d'une distance r, l'interaction électrostatique entre elles est prévue par la loi de Coulomb :
F=(q(+).q(-))/4pi.epsilon.r² (désolée pour cette mise en forme horrible)
Donc une interaction proportionnelle en 1/r²

Cependant, il arrive que l'on modélise cette interaction par un oscillateur harmonique, où l'interaction entre les deux "corps" est de la forme : F=kr
Donc proportionnelle à r.

Ma question portait donc sur la justification d'un tel modèle, étant donné qu'une force en 1/r² est modélisée par une force en r.

Mais en m'appuyant sur vos réponses, j'en conclus que ce n'est pas tant la force d'interaction elle même qui importe, mais plutôt leur comportement respectif autour d'une position d'équilibre.

Merci encore,
Bonne journée

[coussin]

Cependant, il arrive que l'on modélise cette interaction par un oscillateur harmonique, où l'interaction entre les deux "corps" est de la forme : F=kr
Donc proportionnelle à r.

Perso, je n'ai jamais vu ça. C'est pourquoi je vous demandais le contexte dans lequel vous avez vu ça.
Une interaction Coulombienne en onde s n'a pas de puits de potentiel, pas de position d'équilibre où faire l'approximation harmonique. En ajoutant la barrière centrifuge pour les moments angulaires plus élevés, il y a un minimum dans le potentiel effectif mais même là, il ne me viendrait pas l'idée d'appliquer l'approximation harmonique.

Ce que vous a expliqué lucas.gautheron est appliqué, par exemple, pour l'énergie d'interaction entre deux atomes pour approximer les premiers états vibrationnels moléculaires. Il ne s'agit pas d'interaction Coulombienne entre charges.

[LPFR]

Bonjour.
Si vous avez deux charges isolées, elles s’attirent jusqu’à se rejoindre.
Mais si quelque chose les empêche de se rejoindre, comme le principe d’exclusion de Pauli, par exemple, alors les charges sont dans une situation d’équilibre entre les forces coulombiennes et les forces qui les empêchent de se rejoindre.
Pour des petits écarts de la position par rapport à la position d’équilibre, les forces de restitution sont linéaires. Ce qui justifie pleinement l’utilisation de l’oscillateur harmonique.
Quand les écarts son plus importants les forces ne sont plus totalement linéaires, et le centre d’oscillation se déplace. Il me semble me souvenir que c’était l’explication de la dilatation thermique (mais c’est loin !).
Au revoir.

[lucas.gautheron]

Bonjour.
Si vous avez deux charges isolées, elles s’attirent jusqu’à se rejoindre.
Mais si quelque chose les empêche de se rejoindre, comme le principe d’exclusion de Pauli, par exemple, alors les charges sont dans une situation d’équilibre entre les forces coulombiennes et les forces qui les empêchent de se rejoindre.
Pour des petits écarts de la position par rapport à la position d’équilibre, les forces de restitution sont linéaires. Ce qui justifie pleinement l’utilisation de l’oscillateur harmonique.
Quand les écarts son plus importants les forces ne sont plus totalement linéaires, et le centre d’oscillation se déplace. Il me semble me souvenir que c’était l’explication de la dilatation thermique (mais c’est loin !).
Au revoir.

Wikipedia est d'accord avec ça.

Pour calculer cet effet il suffirait de rajouter un ou des termes d'ordre > 2 dans le développement limité et de résoudre approximativement par méthode des perturbations.
la valeur moyenne ne serait donc plus .

A+

[lucas.gautheron]

Perso, je n'ai jamais vu ça. C'est pourquoi je vous demandais le contexte dans lequel vous avez vu ça.
Une interaction Coulombienne en onde s n'a pas de puits de potentiel, pas de position d'équilibre où faire l'approximation harmonique. En ajoutant la barrière centrifuge pour les moments angulaires plus élevés, il y a un minimum dans le potentiel effectif mais même là, il ne me viendrait pas l'idée d'appliquer l'approximation harmonique.

Ce que vous a expliqué lucas.gautheron est appliqué, par exemple, pour l'énergie d'interaction entre deux atomes pour approximer les premiers états vibrationnels moléculaires. Il ne s'agit pas d'interaction Coulombienne entre charges.

Bonjour.
Si vous avez deux charges isolées, elles s’attirent jusqu’à se rejoindre

Tout à fait. C'est d'ailleurs ce que j'ai écrit dans mon post. Cependant, j'y ai aussi écrit un petit astérisque et puisque la discussion s'y prête je vais développer un peu.
On peut quand même appliquer le raisonnement précédent dans le cas de certaines attractions de type force centrale (dont le cas 1/r^2)

L'accélération est alors, en coordonnées cylindriques (le mouvement est plan)


Mais puisque la constante aréolaire C est constante :

Donc

Donc avec

Donc tout se passe comme si la masse était soumise à un potentiel unidimensionnel ! et si de plus le potentiel u est en 1/r, alors ce potentiel admet un minimum qui correspond à une position d'équilibre (orbite circulaire). Cela permet d'étudier la dynamique d'orbites quasi circulaires (voisinage de l'équilibre).

A+

[coussin]

Ça se rapproche ce que j'ai voulu dire en parlant de potentiel effectif dû à la barrière centrifuge; potentiel effectif qui est
Mais là, personne n'utilise l'approximation harmonique pour la simple et bonne raison que les solutions sont analytiques.

[lucas.gautheron]

Ça se rapproche ce que j'ai voulu dire en parlant de potentiel effectif dû à la barrière centrifuge; potentiel effectif qui est
Mais là, personne n'utilise l'approximation harmonique pour la simple et bonne raison que les solutions sont analytiques.

Oui voilà (javais pas fait attention à ce passage de votre post, désolé). Par contre l'avantage c'est de pouvoir expliciter r en tant que fonction du temps ce qui n'est pas possible sinon (du moins je n'ai jamais vu de telle expression).

A+

[Murmure-du-vent]

Un oscilateur harmonique a pour Hamiltonien H = X^2 + p^2 si on note par x et p ses variables dans l'espace des phases.
Il n'y a aucune raison pour que des particules en oscillations harmoniques dans un gaz donnent une interacrion en 1/r^2.
En revanche le champ généré par exemple electromagnétique a pour variables dynamiques dans l'espace des phases E et B
on a H = E^2 + B^2. E et B oscillent harmoniquement.
Quand deux particules sont couplées à un tel champ leur energie est égale à leur energie cinétique plus un terme en 1/r si le champ médiateur est de masse nulle .
Voir Potentiel de Yukawa
L'attraction est alors en 1/r^2