Fourier

[invitea3f12231]

Bonjour à tous,
J'aimerais avoir une petite explication sur la décomposition en série de Fourier, la série de Fourier, transformé de Fourier. Je ne comprend pas bien à quoi elle sert.
Je vous remercie par avance.
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[invite5b57d6ff]

Bonjour,

je vais essayer de te faire une introduction très basique :
la décomposition en série de Fourier s'applique au fonctions périodiques. En analyse, on aime bien se ramener à des espaces de fonctions simples, dans lesquels on pourra faire de l'algèbre linéaire. Par exemple l'espace des polynômes. On peut décomposer beaucoup de fonctions en séries entières, c'est à dire en utilisant la base des puissances de x. On manipule alors des vecteurs, constitué par tous les coefficients de leur décomposition. On est tranquillement dans un espace vectoriel, et tout l'arsenal mathématique peut être utilisé, on peut rajouter des normes pour calculer des convergences etc ... Pour les fonctions périodiques, Fourier s'est dit qu'on pourrait les décomposer en utilisant les fonctions périodiques bien connues sinus et cosinus. Sous certaines conditions, on peut décomposer une fonction périodique en série de Fourier sur ces fonctions, c'est à dire calculer les coefficients d'un vecteur dans un espace vectoriel. Une fois que c'est fait, on a d'une certaine manière simplifié l'étude de notre fonction. On connait tellement bien les fonctions sinus et cosinus (ou exponentiel complexe) que s'y ramener pour certaines fonctions qui le permettent simplifie grandement les choses.

Malheureusement cela ne marche que pour les fonctions périodiques. On peut faire un calcul qui ressemble avec n'importe quel fonction, et qui s'appelle la transformation de Fourier. Mais l'usage n'est pas du tout le même :
La transformation de Fourier introduit une nouvelle fonction. On transforme une fonction du temps en une fonction de la fréquence. Ca peut avoir l'air bizarre, compliqué ou inutile, mais c'est absolument génial pour étudier des signaux (son, image, electrique etc ...). Imaginons un simple signal audio, qui est donc une amplitude en fonction du temps. A chaque instant f(t) nous donne l'amplitude. C'est bien pour jouer le son, mais pas génial pour traiter ou analyser le signal. Si on fait la transformation de fourier de cette fonction, on obtient une nouvelle fonction. Celle ci nous donnera l'amplitude en fonction de la fréquence, pas du temps. On saura pour chaque fréquence quel est son intensité dans le signal. C'est très compliqué de reconstruire le signal juste avec cette fonction, puisqu'il faudrait faire la somme de toutes les fréquences, le vrai signal est plus pratique à utiliser avec f(t). Mais cette nouvelle fonction nous permet de faire du traitement par exemple, en enlevant toutes les hautes fréquences, ou toutes les basses, puis on recrée un signal qui ne les contient plus. Ou alors on cherche une information à une fréquence spéciale. C'est assez magique comme truc.

[invitea3f12231]

Je te remercie pour ton explication, je comprend bien mieux à quoi elle sert, mais quelque chose m'échappe sur les formules, quelle est la différence entre celle utilisée pour un spectre d'une onde complexe et celle utilisée pour une onde sinusoïdale ?

[stefjm]

L'essentiel est là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9...ents_complexes

Le facteur 2 est du au fait qu'on replie le spectre négatif de la série à coeff complexe sur le positif pour obtenir la série à coeff réel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Bonjour,


la décomposition en série de Fourier s'applique au fonctions périodiques. .

Salut, cettte condition n'est pas obligatoire (la périodicité de la fonction).

[stefjm]

Salut, cette condition n'est pas obligatoire (la périodicité de la fonction).

Malgré le titre, il est question de série de Fourier et pas de transformation de Fourier.
Donc périodicité de la fonction obligatoire pour obtenir la série.

[azizovsky]

Salut, une manière physique de l'introduire en gros , soit:

on'a

si on pose on a


càd on peut être développé un vecteur sous cette forme, c'est la même chose pour la série de Fourier et les fonctions.

[invite47ecce17]

Malgré le titre, il est question de série de Fourier et pas de transformation de Fourier.
Donc périodicité de la fonction obligatoire pour obtenir la série.

Non, pas vraiment l'important c'est que les fonctions soient définies sur un groupe compact.

[stefjm]

J'en étais resté à ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques.

Je me doute qu'il doit y avoir des extensions possible du genre :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse...ies_de_Fourier

J'aime bien la réalité de ta signature.

[azizovsky]

Bonsoir, est ce que la fonction n'est pas développable en série de Fourier sur l'intervalle ? (il n'est pas périodique)

[invite5b57d6ff]

Bonsoir, est ce que la fonction n'est pas développable en série de Fourier sur l'intervalle ? (il n'est pas périodique)

Cette fonction est 2 pi périodique

[azizovsky]

Salut, là, on va s'égarer du but, on laisse tomber les détails.(http://tanopah.jo.free.fr/seconde/Fperiodique.html.)
quand on utilise un outil (exp:disque pour carrelage) pour la première fois, on s'en fou pourquoi il marche (coupe que du carrelage).

[stefjm]

Bonsoir, est ce que la fonction n'est pas développable en série de Fourier sur l'intervalle ? (il n'est pas périodique)

Effectivement.
On trouve la série de Fourier de f qui n'est alors valable que pour l'intervalle .
C'est donc la reconstruction de f par les coefficient de la série de Fourier qui périodise la fonction.
Ca se défend : Là où c'est pareil, tout va bien et ailleurs, le mathématicien ne regarde pas.