Portrait de phase, qu'est que c'est ?

[invitecb754d2c]

Bonjour à ceux qui me liront .
J'ai un petit soucis, je suis en L1 Physique, nous avons vu récemment en cours les équa diffs en méca, j'ai assez bien compris, sauf la partie portrait de phase.. Je ne comprends pas du tout comment on obtient les courbes. Par exemple, j'ai un pendule pesant, on trouve une équation du style : x'²+2w²(1-cos(x))=2w²a. A partir de là j'aimerais bien construire la courbe, mais comment m'y prendre ? Il y a soi-disant 2 symétries mais je ne les vois pas...
Si quelqu'un pourrait m'expliquer grossièrement ce serait sympa !
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[Amanuensis]

Les coordonnées dans le diagramme de phase sont x' et x. Les symétries devraient être évidente: quelle modification simple de la variable x et quelle modification simple de la variable x' laissent manifestement l'équation inchangée?

[invitecb754d2c]

Ok pour cos(-x)=cos(x), donc symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées..
et (-x')²=x'², donc symétrie axiale para rapport à l'axe des abscisses..
C'était en effet pas bien compliqué, c'est le x' en ordonnée qui m'avait perturbé. Merci.

[Amanuensis]

Il peut être intéressant de comprendre ce que signifient physiquement ces symétries. L'inversion simultanée de x et x', c'est simplement (par exemple) regarder le pendule de l'autre côté (si on met l'axe de y horizontal, on le regarde depuis les y positifs ou depuis les y négatifs). L'inversion de x' sans inverser x est obtenue en inversant le temps. Et l'inversion de x sans inverser x' combine les deux...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb754d2c]

Bon, j'ai un autre soucis, admettons que je sois amené à devoir dessiner moi-même l'allure de ce portrait, il faudrait que je sache les extremum pour x' et x en fonction des valeurs possibles de a non ?
Pour x, je cherche des valeurs pour lesquelles x' s'annule... mais pour x' je dois encore dériver ??

[Amanuensis]

On peut "oublier" temporairement la signification physique et traiter le problème comme de pure géométrie, qui est de dessiner les courbes en (x,y) respectant y²+2w²(1-cos(x))=constante². Les bornes sur x et sur y se trouvent à partir de la formule sans faire de dérivation.

[invitecb754d2c]

C'est gentil de m'accorder de votre temps , mais j'ai encore un problème, on me demande entre autre de déterminer le maximum de x, mais est ce que ça à un sens ? On prend x entre [0,2pi]
minimum : 0
maximum : 2pi
C'est la question ou moi qui est stupide ??

[Amanuensis]

Il y a une autre contrainte, plus serrée, et dépendant de la constante (donc de l'énergie): y²+2w²(1-cos(x))=constante² => 2w²(1-cos(x))<=constante²

[invitecb754d2c]

Ces notions sont selon moi au-delà de mes capacités, mais bon je creuse encore, n'y aurait-il pas des valeurs interdites ?
y²+2w²(1-cos(x))=2w²a
y²=2w²(a-1+cos(x))
minimum pour x=pi
y²=2w²(a-2)
Si a<2 problème non ??

[Amanuensis]

Annulé........

[Amanuensis]

Après différents essais se révélant incorrects à la relecture:

L'équation ne s'applique que si le centre de masse reste continuellement sous l'axe de rotation (i.e., si |x| reste continuellement inférieur à pi/2), car sinon il manque la distinction entre la masse au-dessus de l'axe de rotation et en-dessous de l'axe de rotation (donner x ne permet pas de distinguer les deux cas qui ont pourtant des énergies potentielles de pesanteur distincts).

Cette condition demande a<1. Et comme |x| n'atteint pas pi, le problème soulevé disparaît.

[invitecb754d2c]

Merci "Amanuensis", je ne vous embête plus.. C'est une passion pour vous de répondre à toutes ces discussions ?

[Amanuensis]

C'est une passion pour vous de répondre à toutes ces discussions ?

Je ne sais pas. Pourquoi ne pas répondre si on croit pouvoir (temps, moyens, ...) amener des réponses utiles?

Et si n'avais pas répondu, d'autres l'aurait fait, et peut-être mieux...