Question de mécanique analytique

[inviteafe88240]

Bonjour à tous et bonne année.

Quand on définis l'action et le Lagrangien : on dit que pour un système qu'il existe une fonction (vous remarquez que je n'ai pas mis le temps, il est implicitement dans les coordonnées de trajectoire et de vitesse.)., avec les coordonnées de position dont la quantité est minimisée pour la trajectoire suivis. Ainsi on a ce qui permet de déduire les équations d’Euler Lagrange et donc la dynamique. Exemple en Relativité Générale avec la quantité qui est minimisée pour une trajectoire libre dans un champs de gravité. Où encore mieux et plus anciens le principe de Fermat dans un milieux d'indice variable.

Le problème c'est que moi jusqu’à maintenant je n'ai étudié que des trajectoires paramétrée par le temps de particule ponctuelle. Là je sens ce qui se passe. C'est ainsi que j'ai compris le principe de moindre action : avec de tel système.

Et j'ai déjà vu des définitions plus générale où on note le lagrangien : les coordonnées ne dépendent plus implicitement du temps.

Avez vous des exemples de système(simple.). où les coordonnées ne dépendent plus implicitement du temps je vous prie? Avec des lagrangiens.

Je n'arrive pas à sentir physiquement ce qui se passe avec de tel système.

Merci d'avance et bonne après midi.
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[invited9b9018b]

Bonjour,

Que voulez vous dire par "les coordonnées ne dépendent plus implicitement du temps" ?

Je vais essayer de reprendre depuis le début.
Etant donné un chemin d'évolution du système défini par la fonction , alors en toute généralité on peut exprimer le lagrangien L à l'instant t uniquement à l'aide de , et t lui même. (en particulier, cela implique que l'accélération en t ne peut intervenir, et que cela ne dépend pas d'un état antérieur du système : seulement de la position, d ela vitesse, et éventuellement du temps).

q et sont des fonctions du temps. Le seul cas où elles ne dépendent pas du tout du temps serait celui ou q = cste donc aucun mouvement.
En revanche, il est possible que le temps n'intervienne pas explicitement, c'est à dire que q(t) et suffisent à calculer la valeurdu lagrangien à chaque instant t. Ex : .

Dans ce cas, quelque soit le moment ou on commence l'expérience, le chemin d'évolution observé sera le même. On dit que dans ce cas, le système est invariant par translation dans le temps.
A cette invariance on peut associer une conservation (th de Noether) qui se trouve être la conservation de l'énergie.

Donc, le cas particulier où le temps n'intervient pas explicitement correspond à celui où le système est conservatif (énergie conservée).

En général, ce n'est pas le cas. Ex si pour un oscillateur amorti.
Ou encore pour un oscillateur excité par une force extérieure : .
Il n'y a alors plus conservation de l'énergie.

A+

[invite9cecbb6f]

l'elastica d'euler

[inviteafe88240]

Bonjour et merci à vous tous,

Donc, le cas particulier où le temps n'intervient pas explicitement correspond à celui où le système est conservatif (énergie conservée).

En général, ce n'est pas le cas.

Oui mais quand c'est le cas où il y a dépendance explicite du temps on écrit le lagrangien.

Qu'est ce que cela veut dire dépendance explicite par rapport au temps je vous prie?

Je ne vois pas ce que cela veut dire pour moi "dépendance explicite".

Tous les exemple que je connais(aussi bien en expérience de pensée qu'en exercice.). sont fait avec des cas où on a une trajectoire paramétrée par le temps et les coordonnées dépendent du temps.

J'aimerais saisir ce cas plus général de dépendance explicite du lagrangien par rapport au temps.

Merci d'avance et bonne après midi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteafe88240]

C'est cela que je ne saisi pas.

Bonne après midi.

[inviteafe88240]

Bonjour, en fait, si il n'y a pas d'influence extérieur on peut l’écrire le lagrangien qu'avec les coordonnées : exemple .

Bon il se peut que les coordonnées d'espace et de vitesse dépendent du temps mais bon. On ne le sais pas au départ(la forme qu'elles ont en fonctions du temps.).
Et puis c'est ce que l'on cherche à déterminer : leurs expressions(celles de l'espace et de la vitesse, la dynamique quoi.). en fonction du temps. Grâce aux équations d’Euler Lagrange bâtis avec le principe de moindre action.

Donc dans ce cas que je prenne mon système aujourd'hui où dans 40000 ans j'aurais le même lagrangien : même expressions en fonctions des coordonnées. Car le temps n'intervient pas directement. Je peut translater.

En revanche si j'ai une condition extérieur qui agit un amortissements par exemple, là j'aurais une dépendance du temps dans mon lagrangien. Là je ne peut donc pas translater. Il y a un éléments qui dépend tu temps depuis lequel on a commencé l’expérience(et qui vient mettre le bazar.). et non des coordonnées et qui agit.

Cela ne me parraît pas très covariants dans le second cas toutefois.

Qu'en pensez vous je vous prie?

Pourriez vous détailler plus le second cas de non translations dans le temps je vous prie?

Moi je dis que physiquement on a la même chose(en terme d'évolution dynamique.). dans le 1er cas(exemple solide ressort on aura toujours une évolution sinusoïdal, chute libre : position en parabole.). et que dans le 2nd on a pas la même chose selon qu'on choisisse tel où tel origine des dates(cas d'une chute non libre exponentielle qui croît et converge pour la vitesse.).

Merci d'avance et bonne après midi.

[inviteafe88240]

Et le second cas correspond en effets à un système non conservatifs(soumis à des forces qui fournissent un travail moteur où non moteur et qui sont extérieur surtout.).

Bonne après midi.

[GrisBleu]

Salut
Meme si ce n'est surement pas ce que tu as en tete, un Lagrangien peut dependre d'une variable t si on parametrise le temps par un autre parametre (ici T) afin de traiter q et t sur le meme pied
De memoire, si est le Lagrangien habituel, la Lagrangien invariant par re-parametrisation du temps est
Il y a bien une dependance d'un parametre t, mais l'Hamiltonien etant nul ensuite, ca complique les choses
Voir tout ce qu'a ecrit Rovelli a ce sujet, par exemple http://fqxi.org/data/essay-contest-f...velli_Time.pdf paragraphe C
A bientot

[inviteafe88240]

OK alors merci à tous. J'ai une mini question : je connais la différence dérivée à une variable et dérivée partielle.

Si j'ai une grandeur physique : quelle est la différence entre et je vous prie?

Dans un cas on dérive l’expression par rapport au temps tout seul.

Après avec la dérivée partielle on dérive par rapport au temps mais partiellement en considérant l'espace et la vitesse constant. Mais l'espace et la vitesse dépendant du temps je trouve cela étrange. Mathématiquement cela me semble bizarre.

Merci d'avance et bonne matinée.

[invited9b9018b]

Bonjour,

J'avais oublié cette discussion tiens.
Je pense qu'il est normal que vous soyez troublé par les équations fonctionnelles si vous avez des hésitations sur la différence entre dérivée "droite" et "partielle"
Pour bien comprendre, il faut à mon avis voir ça sous un angle mathématiquement rigoureux.

Votre fonction est une fonction à 3 variables. Vous ne pouvez donc pas calculer "sa" dérivée puisque ça n'a pas vraiment de sens (par rapport à quelle variable ?). Mais vous pouvez calculer ses dérivées partielles par rapport à chaque variable. Par exemple, ou . C'est facile, il suffit de dérivée la fonction par rapport à la variable considérée comme si les autres étaient des constantes.

Vous allez me dire, c'est bien joli, mais si on écrit la dérivée droite de A par rapport à t, c'est bien que cela a une signification.
Oui, mais mathématiquement, il s'agit non pas de la dérivée de A (fonction de 3 variables), mais de celle d'une autre fonction à une seule variable (le temps).
Appelons cette fonction où cette fois q et q point sont des fonctions du temps.
Et on sait calculer la dérivée de cette fonction à l'aide de la relation :



C'est un un peu subtil, mais bien souvent, on se fiche de cette subtilité. Le problème c'est que ce n'est pas forcément évident a priori quand on aborde la mécanique analytique.

Déjà il faut bien comprendre le problème physique derrière : on veut connaitre l'évolution d'un système mécanique (admettons à un degré de liberté).

Quelle est la nature de la solution du problème ? C'est la fonction qui à chaque instant associe l'état (la position) d'un système, donc puisqu'il n'y a qu'un degré de liberté, cette position est un réel et la fonction est simplement .

Alors l'hypothèse est qu'il existe une fonction L appelée lagrangien telle que la solution du problème est la fonction q du temps pour laquelle .

Ici L est une fonction à 3 variables. Elle regroupe toute l'information sur les interactions du système. Mais elle se fiche bien que q et q point varient avec le temps ! Tout ce qu'elle sait faire, cette fonction, c'est pour une valeur de q, une valeur de q point, et une valeur de t, vous sortir un nombre (par exemple, pour un ressort, la fonction vous donnera , donc si par exemple q = 0 et q point = alors pour ces valeurs . Dans le cas du ressort non amorti, on voit que le temps n'apparait pas (on dit que le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps).


Après, quand on calcule l'action pour un chemin donné (), on voit qu'effectivement le temps intervient, puisqu'on somme les valeurs du lagrangien pour une position égale à la position à cet instant et une vitesse égale à la vitesse à cet instant ! Et ça, ce n'est pas du tout évident (c'est ce qui rend l'hypothèse assez forte).
Mais le lagrangien, lui, quand vous le calculer en un "point" donné, n'a aucune idée de la fonction t -> q(t). Tout ce qu'il voit, c'est la valeur de q, q point, et t, en ce point.

Je sais que cette explication est un peu lourde, mais à mon avis, c'est un point qu'il faut bien comprendre en mécanique analytique et soit on s'y fait vite parce qu'on a déjà rencontré cette problématique (qui est je dirai mathématique plutôt que physique) auparavant, soit c'est nouveau et ça demande un peu de temps à bien cerner.

A+

[invitec913303f]

Bonjour,

Ce fil est très interessant. Je me posait une question, comment se traduit se Lagrangiens en relativité, et voir en RG?

Merci bien

[invitec913303f]

Bonjour,

Comment se transforme ce Lagrangiens en relativités et voir en RG?

Oups, réédit, mon pc à buggé !

[invitec913303f]

Any news ?

[albanxiii]

Je ne comprends pas la question.

[invitec913303f]

Salut Alban,

Ma question serais sa savoir comment s'exprime ce Lagrangiens, après transformation de Lorentz, et aussi si possible savoir comment on traite ce Lagrangiens dans le cadre de la RG.

Merci à toi

[Deedee81]

Salut,

Ma question serais sa savoir comment s'exprime ce Lagrangiens, après transformation de Lorentz, et aussi si possible savoir comment on traite ce Lagrangiens dans le cadre de la RG.

Il faut utiliser des lagrangiens invariants (sous les transformations). Pour la RR ce n'est pas un gros problème, il faut juste utiliser la forme relativiste de l'énergie cinétique.
Pour la RG c'est un peu plus compliqué car il faut utiliser une mesure d'intégration invariante (en utilisant la métrique) et il peut y avoir des termes non triviaux.
Dans cette thèse par exemple : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00104399/document
voir par exemple la formule (2.19) ou (2.56)

Désolé, je n'ai pas trouvé de référence plus abordable (les meilleurs que je connais sont des livres : Birrel et Davies, Parker and Toms ou Fullings).

[albanxiii]

On ne fait pas subir de transformation de Lorentz à un lagrangien. On s'assure qu'il soit invariant sous les transformations de Lorentz. Petit problème de vocabulaire.

Les scalaires sont invariants de Lorentz. C'est ce qui nous intéresse pour un lagrangien. Les quantités scalaires qu'on peut construire à partir de scalaires, contraction de deux quadrivecteurs, contractions successives de produits de tenseurs d'ordres supérieurs.

Si vous voulez jouer avec ça, proposez des expressions et nous vous diront si elles sont bien invariantes de Lorentz.

[invitec913303f]

Bonjour à vous deux et un grand merci. Comment interpréter physiquement la présence de exponentielle dans ce Lagrangiens ?

[Deedee81]

Salut,

Bonjour à vous deux et un grand merci. Comment interpréter physiquement la présence de exponentielle dans ce Lagrangiens ?

Ca exprime un système amorti. Plus exactement, puisque le lagrangien est l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle, l'exponentielle exprime une diminution de l'énergie (qui n'est donc pas conservée dans ce système qui est donc forcément non isolé).

[invitec913303f]

Hello,

Okey sa veux dire que l'amortissement se fais de façon exponentielle on est bien d'accord ?

[Deedee81]

Okey sa veux dire que l'amortissement se fais de façon exponentielle on est bien d'accord ?

Dans ce cas ci, oui, mais c'est assez typique.

[invitec913303f]

Salut Didier,

Okey mais à ce que je comprend, un amortissement n'est pas transatable dans le temps. En quoi l'exponentielle serais la seule fonction qui satisfasse la non translation dans le temps ? Es ce que ça veux dire tout autre fonction impliquerais une translabilitée dans le temps ?

Merci encore
Fraternellement

[invited9b9018b]

La non-conservation de l'énergie provient de l'inégalité .
Après l'exponentielle peut paraître arbitraire a priori (malgré sa propriété de morphisme qui entraine une équivalence entre translation dans le temps et multiplication par une constante du Lagrangien) mais il suffit d'écrire les équations du mouvement pour justifier que c'est bien "le bon lagrangien"
C'est aussi une façon très simple d'intégrer la décroissance exponentielle de l'énergie
A+

[invitec913303f]

La non-conservation de l'énergie provient de l'inégalité .
Après l'exponentielle peut paraître arbitraire a priori (malgré sa propriété de morphisme qui entraine une équivalence entre translation dans le temps et multiplication par une constante du Lagrangien) mais il suffit d'écrire les équations du mouvement pour justifier que c'est bien "le bon lagrangien"
C'est aussi une façon très simple d'intégrer la décroissance exponentielle de l'énergie
A+

Bonjour Lucas, merci beaucoup pour cette participation très pertinentes. J'ai lus tes intervention précédente et c'est d’ailleurs là dessus que j'ai rebondis.

Du coup en fait c'est la propriété même de l'exponentiel qui rend le Lagrangiens translatable dans le temps ? En fait ça permet de créer une sorte de pseudo translabilitée temporelle. C'est ça?

[invitec913303f]

Je suis à coté de la plaque ?

[Deedee81]

Salut,

Je suis à coté de la plaque ?

Je n'ai pas compris ta question. Ni ta "pseudo translabilité". Je suppose que je ne suis pas dans le cas. C'est sûrement la raison d'absence de réponse. Essaie de reformuler.