Mécanique analytique

[invite52487760]

Bonjour à tous,

Pourriez vous m'expliquer d'où viennent les formules des Lagrangiens qui se trouvent dans les deux pages et du pdf çi-joint ?

Merci d'avance.
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[albanxiii]

Bonjour,

Il y a beaucoup de lagrangien p. 5 et 6...

L'idée générale, c'est que L = T-V.

Ensuite dans les cas qui ne relèvent plus de la mécanique pure et dure, on brode, on adapte, on pifomètre, ... en étant guidé quand même par les principe généraux quand on parle de lagrangien (scalaire, invariance relativiste, symétries, etc.) selon les situations, on calcule les équations du mouvement (au sens large...), éventuellement le mouvement lui même, les constantes du mouvement ou les intégrales premières (théorème de Noether) et si ça colle avec l'expérience / une autre approche théorique / etc. cela valide la forme du lagrangien.

Bref, votre question est trop vague et nécessiterait un cours complet pour recevoir une réponse satisfaisante.

@+

[invite52487760]

Merci @albaniix.
Quelqu'un d'autre pourrait m'apporter un peu d'aide pour comprendre le contenu des deux pages et du pdf çi joint ?
Merci d'avance.

[ThM55]

Bonjour. Je vais essayer, en deux mots. Je ne peux pas en dire beaucoup plus que ce que le contributeur précédent a écrit, mais je peux donner plus de détails.

Exemple 1) Cela ressemble à une énergie cinétique: X est un champ de vecteurs, il faut le prendre comme une vitesse, ou un flot dont l'intégration donne une trajectoire. La trajectoire minimise l'intégrale de g(X,X), donc minimise la somme de l'énergie cinétique. A noter qu'on obtient l'équation des géodésiques, et pourtant on n'a pas essayé de minimiser la distance.

2) Cette fois, on minimise la distance parcourue par la courbe (exemple sur un plan: les droites; sur une sphère: les grands cercles). On retrouve aussi l'équation des géodésiques.

3) Le terme sous l'intégrale n'est pas à proprement parler un lagrangien, mais une densité lagrangienne. Par abus de langage en physique on utilise toutefois très souvent le terme lagrangien. Je ne veux pas critiquer, mais c'est un pas trop loin par rapport au texte d'introduction des pages précédentes, qui ne parle que de mécanique du point et non de champs. Ici on est en théorie du champ. On peut trouver bizarre de donner des tels exemples dans un cours de mécanique analytique, mais je crois que cela montre que ces exemples ne doivent pas être compris complètement à ce point du cours, ils servent juste de motivation pour la suite. Mais bref, l'idée est la même: on intègre la densité sur tout l'espace-temps et on minimise. Les équations d'Euler-lagrange obtenues seront des équations aux dérivées partielles. D'où vient ce lagrangien? C'est par analogie avec le lagrangien des équations de Maxwell. On veut une combinaison qui soit invariante de jauge (donc en emploie F et non les potentiels vecteurs A). Il doit être quadratique dans les champs, d'où le produit extérieur. Et enfin, on veut que la densité soit un scalaire, et comme on est dans une représentation matricielle de l'algèbre de Lie, on prend la trace. Je crois qu'il y a aussi une exigence de positivité de l'énergie qui doit jouer pour garantir l'existence d'un extrémum.

4) Cas particulier du précédent, avec U(1) pour le groupe de jauge. Les termes avec commutateurs s'annulent car le groupe est abélien. F est le tenseur de Minkowski qui reprend les champs électriques et magnétique. Comme le dual échange le champ électrique et le champ magnétique, il n'est pas difficile de voir que cette densité lagrangienne devient quelque chose proportionnel à E^2+B^2, qui est l'expression classique pour la densité d'énergie (à un facteur dimensionnel près).

5) A l'époque où Einstein était sur le point de trouver son équation du champ de gravitation, le grand mathématicien Hilbert voulait axiomatiser la physique (son 6ème problème). Il pensait pouvoir le faire avec des principes variationnels. Ayant lu les articles préliminaires d'Einstein, il s'est mis en quête de son lagrangien et d'en dériver ses équations. Il a bien failli les trouver avant Einstein, et il l'a même vraiment précédé d'après certains historiens... Le lagrangien doit être quadratique dans les dérivées premières des coefficients de la métrique, de façon à obtenir une équation de champ comportant des dérivées secondes. Einstein avait déjà expliqué cet objectif et en avait déjà tiré des conclusions physiques. Il fallait que ce soit une densité scalaire. Le choix le plus simple (mais non le seul) est de partir du tenseur de Riemann, et d'en tirer un scalaire par des contractions successives. Un première contraction donne le tenseur de Ricci (on passe de 4 à 2 indices), une seconde donne R. Le facteur racine carrée de la valeur absolue du déterminant de g transforme ce scalaire en une densité qu'on peut intégrer, l'idéal pour un lagrangien. la variation donne les équations d'Einstein! On peut remarquer que les dérivées secondes des g(ij) apparaissent déjà dans R, mais on peut montrer que cela ne donne pas lieu à des dérivées troisièmes dans les équations du champ. D'autres choix du lagrangien permettent plus difficilement de les éviter.

6) Ce principe variationnel (en réalité trouvé par Einstein et non par Palatini) est assez différent de celui de Hilbert, mais donne les mêmes équations du champ. L'idée est de faire varier à la fois la métrique riemannienne et les coefficients de la connexion, sans postuler de relation préalable entre eux. En fait, il existe une formulation d'une simplicité enfantine en terme de composantes, sans faire intervenir tous ces produits extérieurs de formes différentielles. Je ne suis pas un fan de ces formulations sophistiquées, cela masque l'idée simple qui s'y trouve. Quand on effectue les variations, une partie des équations d'Euler-Lagrange rétablit la relation entre la connexion et la métrique (en composantes: entre les symboles de Christoffel et la métrique) et les autres donnent les équations d'Einstein. On a un cas semblable en mécanique analytique classique quand on applique le principe variationnel à la forme pdq-H(p,q)dt pour retrouver les équations d'Hamilton.

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