Mécanique Analytique

[invite2f314551]

Bonsoir à tous,
J'ai un devoir maison en mécanique analytique à faire, mais j'ai un problème à une question dont voici l'énoncé:

Considérons les oscillations (libres) d'un point matériel de masse m dans un potentiel . Pour l'amplitude , la période d'oscillation T est 1 seconde. Trouver T pour l'amplitude
(a) par solution directe de l'équation du mouvement et (b) en utilisant la similitude mécanique.

Bon pour la (b) c'est bon j'ai réussi mais c'est la (a) qui pose problème. Le prof a dit de résoudre par quadrature j'ai cherché un peu là-dessus mais les résultats sont maigres... Voilà ce que j'ai fait pour le moment:

J'ai d'abord cherché le lagrangien qui est:

De là j'ai obtenu l'équation du mouvement avec les équations d'Euler-Lagrange:
(Je ne sais pas si elles vont servir ou pas)

Je dis après que le lagrangien ne dépendant pas explicitement du temps on a l'intégrale première de l'énergie qui donne:


De là j'obtiens:


Voilà pour ce que j'ai fait à partir de là je ne sais pas comment arriver plus loin parce que l’intégration me parait compliquée donc il doit y avoir une astuce que je ne vois pas(je pense peut-être à un DL), et est-ce-que déjà je vais dans la bonne direction?

Merci d'avance pour vos réponses,
Cordialement,

KanYeW
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[albanxiii]

Bonjour,

A moins de faire une approximation et un développement limité, vous ne pourrez pas aller tellement plus loin. Wolframalpha donne une fonction elliptique comme primitive http://www.wolframalpha.com/input/?i...5E%28-1%2F2%29

A mon avis, faites un développement limité, faites le calcul jusqu'au bout et comparez avec les données de l'énoncé (amplitude 1 mm et période 1 s). Cela vous dira si votre approximation est justifiée ou non.

@+

ps : je ne vois pas en quoi la mécanique analytique est nécessaire jusque là.

[invite2f314551]

Bonjour,
Merci pour votre réponse je vais donc essayer de ce pas de faire un développement limité mais est ce que je dois le faire en 0 ? Parce que si oui tout va s'annuler au premier ordre me semble-t-il. Et si j'ai mis en titre mécanique analytique c'est parce que c'est l'intitulé du module mais j'aurais très bien pu mettre mécanique tout court... Merci encore en tout cas, je vous tiendrais au courant si le résultat est probant ou non.
Cordialement,
KanYeW.

[invite2f314551]

Re-bonjour,
Je viens d'essayer et j'ai réfléchi, si je fais le DL en 0, à n'importe quel ordre j'aurais quelque chose de la forme
avec K une constante et donc j'aurais si je ne me trompe pas. Or avec la similitude mécanique je vois que c'est proportionnel à du 1/x.
Il y a une partie de mon raisonnement qui doit être fausse mais j'arrive pas à mettre le doigt dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1a85c30c]

Salut,

J'ai peut être une autre option pour ton calcul. Je ne sais pas si cela marche.

Essaye de calculer l'hamiltonien de ton système :

Ensuite, tu pourrais intégrer dans l'espace des phases en calculant l'intégrale :
; le coutour de cette intégrale portant sur la trajectoire de phase telle que

Après, peut être qu'il faudra prendre le bon jeu d'approximations afin de pourvoir calculer analytiquement cette intégrale (du genre "hypothèse des petites oscillations", et encore ce n'est peut être même pas nécessaire...).

En espérant faire avancer le chmillblik.

[invite2f314551]

Bonjour,
D'abord merci pour votre réponse. Ce que vous me dites si je ne m'abuse, c'est ce que j'ai fait mais sans le formalisme hamiltonien. De plus à ce moment là du cours on avait pas vu celui-ci, on avait vu que le formalisme de Lagrange. Ce doit donc être possible de se débrouiller sans...

[0577]

Bonjour,

pour répondre à la question, il suffit de connaître la dépendance de la période T en l'énergie E
à une constante multiplicative près. Il suffit donc de faire sortir E de l'intégrale ce qui peut se
faire par le changement de variable .
A priori on a aussi une dépendance en E dans les bornes de l'intégrale mais il se trouve qu'elle disparaît lorsqu'on fait le
changement de variable.
On trouve
.
En particulier T est proportionnel à ce qui suffit pour résoudre le problème
(et coincide avec ce qu'on trouve par similitude mécanique).

(une remarque inutile :
)

[invite1a85c30c]

Après m'être penché un peu dessus, j'arrive à un résultat similaire à 0577. Du point de vue de ton DM, je pense que c'est la méthode de 0577 qu'il faut que tu utilises.
La mienne est un peu plus pédestre mais plus générale, je m'explique :

Si tout à l'heure je t'ai proposé d'utiliser le formalisme hamiltonien, c'est que celui-ci est bien plus adapté que le formalisme lagrangien dans l'étude des systèmes dynamiques.
En particulier, il permet d'introduire les variables angle-action qui sont très pratiques pour étudier les systèmes périodiques comme celui de ton DM.

Dans notre cas, le système est périodique à un seul degré de liberté, il existe donc un invariant du mouvement qui est ici l'énergie mécanique totale E.
Tu auras donc ton hamiltonien du système

Donc, on a

La variable action est définie par : où le coutour d'intégration porte sur une surface iso-énergie et est définie sur une période compète d'oscillation (i.e. partir de q0=2mm puis y revenir).

Autrement dit, dans ton cas :

Avec l'habile changement de variable, , on se ramène à :

Mon ami Wolfram Alpha me dit que : que je note .

Donc :

Il faut retourner cette expression pour exprimer E=H en fontion de J.

Puis, par définition de la transformation canonique menant à la définition de J, on a où est la pulsation d'oscillation du système.

Tous calculs fait, je trouve (à vérifier et confirmer évidemment -> un truc qui me rassure, c'est que c'est homogène ).

[invite2f314551]

Je viens de voir vos messages et je les ai juste survolées, je vais m'y remettre tout à l'heure. A première vue ça me parait un peu compliqué mais je vous tiens au courant. Et pour ce qui est du formalisme Hamiltonien on a commencé à l'aborder mais après avoir eu le DM, je sais que c'est plus facile avec mais normalement on en a pas besoin, dommage... Merci encore!!!

[invite2f314551]

Bonjour,
Je viens de regarder plus en détails vos calculs et en particulier pour celui de 0577, pourquoi faut-il sortir E de l'intégrale je ne suis pas sûr de comprendre votre raisonnement. J'ai aussi regarder mes TD et il y a un calcul analogue et au moment ou on arrive à l’intégrale, on fait un DL à l'ordre 2 en 0. Voilà le détail du TD.
On a la même intégrale:
avec U(x) un potentiel dont on ne connait pas l'expression
De là on fait le DL de U(x): Vu que U(x) admet un position d'équilibre en 0.
Donc de là l'intégrale se simplifie et on a :
Ensuite on intègre et on obtient un logarithme on est content...
Ici le problème c'est qu'on connait le potentiel et qu'il s'annule à l'ordre 2 alors on peut bien sur le pousser jusqu'à un ordre où il ne l'est pas ce qui nous donne dans notre cas jusqu'à l'ordre 4 et on obtient:

Ce qui oblige alpha à être négatif et donc on aurait un potentiel qui correspondrait à une parabole renversée et donc la période devrait être infini non ? Si je me pose pas de question et que je pose ce qu'il y a sous la racine égale à une constante en intégrant j'aurais bien quelque chose qui ressemble à du 1/x mais pour moi il y a quelque chose qui cloche. Pourtant cette méthode me semble plus raisonnable que celles que vous m'avez proposées.
Cordialement,
KanYeW

[0577]

Bonjour,

Pourtant cette méthode me semble plus raisonnable que celles que vous m'avez proposées.

J'ai pris la formule intégrale donnant la période et j'ai fait un changement de variable évident.
On trouve la formule donnée dans mon précédent message et en particulier que T est proportionnelle
à i.e à . Il n'y a rien de compliqué ici (dolan-duck a essentiellement fait le même
calcul d'un point de vue différent).

Une remarque sur les DL : U(0) n'est pas E et donc ce que tu a écris dans le message précédent n'est pas correct.
De manière générale, un DL sert à approcher une fonction compliquée par un polynôme.
Dans le cas des oscillations autour d'une position d'équilibre, le premier terme en général non-nul est celui de degré
2 qui donne des oscillations harmoniques. Mais ici, le terme de degré 2 est nul !
Le potentiel est déjà un polynôme. Un développement limité de x^4 en 0 est soit 0 (à l'ordre <4), ce qui n'est pas très intéressant,
soit x^4 (à un ordre>=4) ...

[invite2f314551]

Ok je vois bien ce que vous voulez dire pour les DL. Par contre vous dites que U(0) n'est pas l'énergie pourtant dans le TD on a dis ça donc est-ce que c'est une erreur du prof où est-ce que dans ce cas là ça marche? Après pour le changement de variable j'obtiens le même résultat à part que ce n'est pas 2 devant mais 1/2 il me semble (au pire ce n'est pas très important...). Après par contre je ne vois pas pourquoi vous dites que c'est proportionnel à et donc que ça suffit pour résoudre le problème. Et autre question si vous faites l'intégrale de 0 à 1 c'est bien parce que la période d'oscillation est de une seconde ? Merci pour le temps que vous me consacrez .

[invite2f314551]

Je crois que j'ai compris pour la proportionnalité de c'est parce qu'on a .
Jusque là OK, mais est-ce qu'en faisant ça vous pensez qu'on a répondu par solution directe de l'équation du mouvement ? Parce que ça ressemble beaucoup à la similitude mécanique ce qu'on a fait.

[0577]

Si on note la valeur maximale de x au cours de l'oscillation,
on a

(car en la vitesse est nulle).
Pour calculer T, il faut intégrer sur une période. Une période correspond à deux amplitudes des oscillations
(aller-retour)
et une amplitude correspond à x allant de à .
Par symétrie, la durée d'une amplitude est deux fois la durée d'une demi-amplitude (x allant de 0 à ).
Finalement,
T =
(ce facteur 4 est surement responsable de la différence 1/2, 2). On a .
Lorsqu'on fait le changement de variable , y varie entre 0 et 1.
(Ce 1 n'a pas de rapport avec 1s).
A la fin, on trouve T = constante x
d'où T = constante' x 1/x_{0}.

[invite2f314551]

D'accord je crois que j'ai tout pigé, magnifique !!! J'avais pas capté que l'intégrale donnerait une constante ... . Je crois que cette fois ça sera bon merci beaucoup en tout cas de votre patience! Et oui c'est bien de là que vient la différence avec 1/2 et 2.

[invite2f314551]

Je ne sais pas si vous repasserez ce soir mais j'ai un dernier petit détail qui me dérange. Vous dites que l'intégrant est indépendant de E mais comment ça se fait vu que y en dépend ?