Rudiments de mécanique analytique

[mimo13]

Salut,

Je viens tout juste de commencer un cours de méca analytique et je bloque déjà sur un paragraphe.

Voici le lien du cours.

Le paragraphe provient de la page 20 du 2ème chapitre:

Plus généralement, nous supposerons que les liaisons entre les simples coordonnées cartésiennes
des particules sont holonomes: il existe relations du type . De telles relations
décrivent convenablement toutes les contraintes directes entre coordonnées, à condition qu'elles soient
indépendantes du temps (comme celles que nous venons de voir, si la longueur des fils des pendules
est invariable). Elles ne décrivent pas les contraintes entre vitesses (par exemple le roulement sans
glissement) mais nous verrons plus loin comment on peut en tenir compte. Il ne reste alors que
coordonnées généralisées indépendantes que nous noterons . Soulignons une fois de plus
que ces coordonnées ne sont pas nécessairement cartésiennes et n'ont même pas forcément la dimension
d'une longueur. Avec des relations holonomes, les positions ne dépendent que des coordonnées
généralisées et ne dépendent ni des vitesses ni du temps explicitement. Il nous faut maintenant donner
les lois permettant d'établir les équations différentielles déterminant la dynamique des .

Qu'entend-il par liaisons entre les coordonnées ?
Quelle est la définition physique générale d'une contrainte ?
Et surtout pourquoi suppose-t-il l'existence de 3N-n relations ?
Il parle au début de coordonnées cartésiennes puis il dit que ce n'est pas nécessaire....

J'avoue que je suis un peu confus...

Pouvez vous m'éclairer ?

Merci
Cordialement
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[verdifre]

bonjour,
en effet le fait qu'il y ait des relations ou non entre les coordonnées peut dependre du systeme de coordonnées utilisées
par exemple si tu prends un pendule que tu places l'origine au point d'attache du fil, en coordonnées cartesiennes ton fil va induire une contrainte telle que x² + y² = cste. cette relation est equivalente a , dans un systeme de coordonées polaires , rayon = cste. dans ce cas l'unique variable reste l'angle.
si tu astreint un mobile à se deplacer sur une courbe dont tu connais l'equation, la seule coordonée qui t'es alors utile est son abscisse curviligne.

Et surtout pourquoi suppose-t-il l'existence de 3N-n relations ?

fait une petite recherche sur isostatisme et degrés de liberté
fred

[invitef17c7c8d]

Franchement, ne paniques pas si tu ne comprends pas. Non seulement c'est normal mais en plus tu n'es surement pas le seul.
En fait la difficulté essentielle avec la mécanique analytique, c'est qu'on ne peut plus se raccrocher à notre bonne vieille physique avec ses points matériels, ses coordonnées d'espace, de temps, de vitesse.
Pourquoi? Parcequ'on fait appel à l'outil mathématique.
Du coup, par exemple, les coordonnées généralisées pourraient très bien être les deux coefficients et d'un polynome de la forme :

Assimiler les coefficients d'un polynome à des coordonnées, il fallait oser l'inventer!
Passé cette première surprise, cette méthode est d'une efficacité redoutable!

[Noix010]

je suis désolé lionelod mais je crois que vous vous êtes trompé à mon sujet

L'outils mathématique doit traduire quelque chose d'intuitif sauf si le prof est lionelod et qu'il te dit de ne pas chercher à comprendre.

Il me semble que 3N vient simplement du fait qu'on a besoin de 3 nombres pour donner la position d'un point dans notre espace à 3 dimensions, il y a N points.

x²+y² = cste ou x²+y²-cste=0 est une contrainte dans l'exemple de verdifre, mais plus généralement f(x,y)=0 est une contrainte, ça veut dire que les points ne peuvent pas aller n'importe où indépendament des autres.

Supposant ces 3N-n contraintes satisfaites il n'y a alors plus besoin seulement que n nombre pour décrire complètement un état du système. On fait une sorte de changement de coordonnées, les xi deviennent les qi.

Ce que dit le cours aussi c'est que les contraintes ne porte que sur les positions et pas sur les vitesses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

je suis désolé lionelod mais je crois que vous vous êtes trompé à mon sujet
L'outils mathématique doit traduire quelque chose d'intuitif sauf si le prof est lionelod et qu'il te dit de ne pas chercher à comprendre.

Tu t'es reçu une noix de coco sur la tête ou quoi?

Le but de l'utilisation de coordonnées généralisées est de modéliser un système pour en comprende le comportment général avec le minimum de paramètres.

Considérons le cas d'une plaque qui vibre. On peut soit connaitre son comportement vibratoire sachant la manière de vibrer de chaque point de la plaque (3N), soit on peut utiliser une approche modale et alors deux paramètres sont suffisants pour connaitre le comportement de ton système (les coordonnées généralisées sont la fréquence propre et la déformée modale).

[Noix010]

ce que j'en dit, c'est que ça eclaircit les choses que de dire que les polynomes forment une algèbre et en particulier un espace vectoriel dont les (x^n) n>=0 forment une base.


Maintenant on voit bien qu'il suffit d'avoir les composantes d'un vecteur selon chaque vecteur de base pour connaitre le vecteur, et la on se dit, les coefficients ressemble effectivement à des coordonnées.

Pour la plaque il y a une inifinité de points déja. Et ensuite après avoir résolu les équations (si elles sont linéaires) on voit que toutes les solutions s'écrivent comme combinaisons d'un certain nombre de fonctions qui forment une base de l'espace vectoriel des solutions. Oh bah ça alors qu'est ce que c'est compliqué que les maths

[invitef17c7c8d]

Par contre, c'est vrai que raisonner en termes de contraintes est une moyen d'analyse assez original.
Si je reprends ton exemple et que je l'interprète comme une contrainte, on peut reformuler un problème comme la minimisation d'une fonction soumise à une contrainte.
La fonction à minimiser dans ce cas là est l'hamiltonien du système.

[Noix010]

pas de chance c'est le lagrangien qu'il faut minimiser

[invitef17c7c8d]

Je ne pense pas que ce soit le lagrangien, car dans le principe de moindre action, on calcule l'hamiltonien. Mais peu importe...

Ceci soulève une question qui m'échappe...
Je reprends toujours l'exemple de ma plaque vibrante.
Le contraintes sont données par les conditions limites. On impose les conditions limites
La fonctionelle est disons l'hamiltonien.

Ce que je ne comprends pas, c'est comment ce problème d'optimisation, revient à déterminer des coordonnées généralisées.
J'ai loupé une étape.

[kalish]

Le hamiltonien correspondant la plupart du temps à l'énergie, je vois mal pourquoi il faudrait le minimiser. On minimise le Lagrangien, on peut introduire une contrainte par la méthode d'un multiplicateur de lagrange qui ajoutera un terme au lagrangien.

[philou21]

Je dirais même plus : dans le principe de moindre action c'est l'action qu'on cherche à minimiser...

[kalish]

Je dirais même plus on cherche à extrêmiser l'action, pas forcément à la minimiser.

[invitef17c7c8d]

avec A:Action, =énergie cénétique, =énergie potentielle, et : Hamiltonien
Principe de moindre action d'où H=0

[albanxiii]

Et non..... ouvrez un livre de physique, vous verrez, la sensation est très agréable, surtout quand on commence à lire.

[kalish]

Mon dieu, le pire lionelod c'est que vous persistez. Vous devriez arrêter les affirmations de ce type vous pouvez induire des gens en erreur, sans aller jusqu'au livre de physique, vous pouvez consulter wikipédia. Comment faites vous pour répondre autant de choses fausses sans jamais jamais jamais prendre le temps de vérifier, vous n'êtes pas sensible à l'échec? L'action est par défrinition l'intégrale du lagrangien au cours du temps, et le lagrangien de base c''est T-V. Vous voyez le moins? Je comprends pourquoi vous n'avez pas répondu à la dernière discussion, vous n'avez aucune connaissance en fait.

[philou21]

Soyez charitable, le calcul variationnel qui s'ensuit est un modèle du genre :

d'où H=0

[kalish]

ah oui, ça risque de rester pour des siècles, c'est énorme, c'est mythique etc etc...En fait, ça pourrait être vrai pour une particule libre, puisque Ep = 0 (ou constante) mais alors l'intérêt d'utiliser la mécanique analytique pour une particule libre...

[mimo13]

Re,

Merci pour vos réponses.