Approches de la mécanique analytique

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans les documents de mécanique analytique que j'ai lus, on peut en général trouver deux approches, qui conduisent toutes deux aux équations d'Euler-Lagrange : soit on part du principe de moindre action, soit on part du principe de d'Alembert. La première approche me paraît plus générale, et n'est pas une conséquence de la mécanique classique, mais pourtant, les équations d'Euler-Lagrange obtenues à partir du principe de d'Alembert me semblent plus générales :

, avec T l'énergie cinétique et la force généralisée.

C'est-à-dire que l'on peut même considérer même le cas de forces ne dérivant pas d'un potentiel, et l'on peut retrouver les équations avec la différence de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, dans le cas où les forces dérivent d'un potentielle.

Mais en partant du principe de moindre action, on ne trouve que cette seconde relation, qui me paraît moins générale que la première.

Ma question est donc : peut-on retrouver la seconde relation à partir du principe de moindre action ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite24327a4e]

Bonjour,
Le U qui intervient dans le lagrangien (et donc dans l'action) est un U "généralisé".
Il peut dépendre des vitesses et du temps. Résultat, les deux équations sont équivalentes, mais ce qui est fondamental dans tout ça c'est bien l'action.
Pourquoi ? Car une invariance de l'action selon une transformation engendre des quantités conservées d'après le théoreme de Noether. Or, le fait que le lagrangien (et donc les équations du mouvements) soient invariants selon cette transformation n'est qu'une condition suffisante à ce que l'action soit invariante.

En gros, l'action est ce qui est fondamentale.

[invite7d40f910]

Bonjour,

Pas grand chose à voir avec la mécanique du point de sup en tout cas.

Pour Phys2 : t'intéresses-tu à cette physique post-prépa uniquement par passion/culture (et dans ce cas, même si c'est louable, le temps "perdu" est très préjudiciable pour la réussite aux concours), ou penses-tu que travailler sur ces concepts t'aidera pour ces mêmes concours (et dans ce cas là je te le dis directement : tu te trompes) ?

[Seirios]

Le U qui intervient dans le lagrangien (et donc dans l'action) est un U "généralisé".
Il peut dépendre des vitesses et du temps. Résultat, les deux équations sont équivalentes, mais ce qui est fondamental dans tout ça c'est bien l'action.

Y a-t-il une expression générale pour ce "potentiel généralisé" ?

Pour Phys2 : t'intéresses-tu à cette physique post-prépa uniquement par passion/culture (et dans ce cas, même si c'est louable, le temps "perdu" est très préjudiciable pour la réussite aux concours), ou penses-tu que travailler sur ces concepts t'aidera pour ces mêmes concours (et dans ce cas là je te le dis directement : tu te trompes) ?

C'est la première fois qu'on me le dit ça Si on ne peut même plus s'amuser à faire un peu de physique intéressante pendant les vacances...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite24327a4e]

Y a-t-il une expression générale pour ce "potentiel généralisé" ?

On l'appelle généralisé car il peut dépendre des vitesses et du temps, mais il dépend avant tout du système comme en mécanique newtonienne.

PS : OuTag n'a pas tord, voir la mécanique analytique sans maîtriser la mécanique newtonienne, c'est assez difficile et inutile.

[invitee0b658bd]

Bonjour,

PS : OuTag n'a pas tord, voir la mécanique analytique sans maîtriser la mécanique newtonienne, c'est assez difficile et inutile.

j'ai souvent constaté, dans mon propre cas, que l'apprpriation d'un concept ou d'une théorie peut être facilitée par une "étude" précoce d'une théorie ou de concepts d'un niveau plus "élevé".
En ce sens, il faut cependant bien différencier l'application et la comprehension. On peut appliquer beaucoup de théories sans les comprendre, mais quand on comprend, l'application est plus simple et plus naturelle. (il est aussi parfois nessecaire de beaucoup appliquer avant de comprendre)
Je suis persuadé que si tu prends plaisir à cette étude, cela ne peut t'apporter que des benefices (pas forcément immédiats et parfois inatendus)
fred

[inviteb94c567e]

les forces de frottement par exemple , ne peuvent rentre dans le principe de moindre action, un cas d'action non conservé, ca doit quand meme servir au final a l'ingenieurs ? pourquoi toussé si fort dans ces oreilles ?

ma = -kv donne , mdv/dt = -kv ,

c'est pas une force conservative, je ne vois pas comment en faire un potentiel generalisé , quelqu'un sait ?

donc , ca sert quand meme au final !

donc , ce n'est pas equivalent , avec un on gagne les principe d'invariant , dans l'autre ou peut utilise des forces non conservative.

ps a part si le lagrangien depend du temps

[Seirios]

ma = -kv donne , mdv/dt = -kv ,

c'est pas une force conservative, je ne vois pas comment en faire un potentiel generalisé , quelqu'un sait ?

Si on a une force de composantes , il semble que l'on ait une potentiel généralisé de la forme .
Avec un lagrangien , les équations d'Euler-Lagrange donnent bien .

Est-ce correct ?

[chaverondier]

Bonjour à tous,

Dans les documents de mécanique analytique que j'ai lus, on peut en général trouver deux approches, qui conduisent toutes deux aux équations d'Euler-Lagrange : soit on part du principe de moindre action, soit on part du principe de d'Alembert. Les équations d'Euler-Lagrange obtenues à partir du principe de d'Alembert me semblent plus générales :

, avec T l'énergie cinétique et la force généralisée.

C'est-à-dire que l'on peut considérer le cas de forces ne dérivant pas d'un potentiel et l'on peut retrouver les équations avec la différence de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, dans le cas où les forces dérivent d'un potentiel.

En partant du principe de moindre action, on ne trouve que cette seconde relation, qui me paraît moins générale que la première.

Et pourtant, au niveau fondamental, il n'existe pas de forces non conservatives (forces ne dérivant pas d'un potentiel). C'est assez déroutant puisque le temps ne semble pas nous demander notre avis théorique sur cette question. Il s'écoule de façon irréversible alors qu'il n'en a pas le droit ... (non mais !!)

...A moins que ce soit le contraire. Il nous demande notre avis d'observateur pour s'écouler . Pourtant, l'évolution des systèmes devrait s'effectuer selon des lois fondamentales immuables prédisant des évolutions (presque) toutes réversibles et time symetric (dans le respect le plus absolu des symétries fondamentales) indépendamment de quelque observateur macroscopique que ce soit.

La notion de système, bong sang ! Serait-ce ça le piège anthropocentrique capturant les imprudents tentant de s'aventurer vers une approche de l'écoulement du temps non centrée sur l'observateur macroscopique, une approche (en quelque sorte copernicienne) de l'écoulement irréversible du temps construite sur une entropie qui serait plus fondamentale que l'entropie de Boltzmann (libérant ainsi le démon de Maxwell de son emprisonnement par le second principe de la thermo et mettant le principe de causalité, du moins tel que nous le percevons à notre échelle, dans une situation délicate) ?

Ah la la, ces phénomènes physiques indisciplinés et malicieux qui refusent de rentrer correctement dans les cadres qu'on leur concocte, c'est terrible !

[invite93279690]

Si on a une force de composantes , il semble que l'on ait une potentiel généralisé de la forme .
Avec un lagrangien , les équations d'Euler-Lagrange donnent bien .

Est-ce correct ?

Salut,

Non si je ne me trompe pas ton exemple ne marche pas. Pour cause, la dérivée partielle de ton par rapport à donne la même chose que la dérivée temporelle de sa dérivée partielle par rapport à . Comme il y a un signe "moins "qui apparait dans les équations d'Euler-Lagrange ça va faire zero.
C'est super standard de regarder ce genre de choses en TQC et TSC lorsqu'on écrit un lagrangien basé sur les symétries du système. Il existe des termes non triviaux qui s'annulent d'emblé dans les équations du mouvement, il faut donc les connaitre pour ne pas mettre des termes inutiles dans le l'action.

On peut voir directement que ça ne peut pas marcher car le théorème de Noether nous dit que si le lagrangien n'est pas une fonction explicite du temps, alors, l'hamiltonien du système (l'energie) est conservé. Dans ton cas, on sait pertinament par la physique Newtonienne que l'on a affaire à un système non conservatif mais pour lequel tu proposes un lagrangien indépendant du temps...il y a donc quelque chose qui cloche.

[Universus]

Si on a une force de composantes , il semble que l'on ait une potentiel généralisé de la forme .
Avec un lagrangien , les équations d'Euler-Lagrange donnent bien .

Est-ce correct ?

Je ne vois pas comment tu fais pour passer de à (surtout que l'expression de ne me semble pas avoir les dimensions d'une énergie, mais bon j'imagine que ça c'est un détail qu'on peut contourner), mais si j'applique les équations d'Euler-Lagrange au lagrangien que tu obtiens, je trouve (étant donné le commentaire de gatsu) que , ce qui n'est évidemment pas ce qu'on s'attend à obtenir.

Autrement, sans entrer dans des considérations aussi générales que ce que tu demandes et que d'autres intervenants ont mentionné, on peut assez simplement adapter la mécanique lagrangienne aux cas où des forces de contraintes sont présentes. Par forces de contraintes, j'entends ici des forces qui n'exercent pas de travail sur le système étudié. Une des forces de la mécanique lagrangienne est qu'on peut étudier les systèmes contraints sans modification des équations qui s'appliquent aux systèmes qui ne le sont pas, mais cela à condition que la connaissance des forces de contraintes ne nous importe pas.

Si par contre nous sommes intéressés en ces forces, on peut modifier quelque peu les équations d'Euler-Lagrange en utilisant les multiplicateurs de Lagrange qu'on rencontre entre autres dans les problèmes d'optimisation avec contraintes en mathématiques.

Supposons que nous ayons n coordonnées généralisées qui ne sont pas toutes indépendantes les unes des autres. Habituellement, on changerait de système de coordonnées afin d'exprimer le problème avec des coordonnées les plus indépendantes possible, mais là nous n'en ferons guère. La façon dont ces coordonnées généralisées sont interdépendantes peut s'exprimer mathématiquement par une constante. En fait, cela correspond à une courbe de niveau de la fonction . L'idée étant de rendre l'action du système stationnaire sous la contrainte en vigueur, on peut voir que cela se rapproche grandement d'un problème d'optimisation avec contraintes, type de problème qui est souvent avantageux de résoudre par la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Enfin bref, on peut modifier les équations d'Euler-Lagrange comme suit :



où est un multiplicateur de Lagrange (notons ici que le système n'est soumis qu'à une contrainte) En fait, on peut montrer que le terme à droite (sans le signe - ) est la composante selon l'axe des de la force de contrainte.

Par exemple, pour une machine de Atwood à 2 masses où x désigne la distance entre une masse et la poulie et y désigne la distance entre l'autre masse et la poulie, on a qui égale la longueur de la corde (la constante) pour une courbe de niveau de f. Le terme à droite de l'équation d'Euler-Lagrange modifiée est donc la tension dans la corde (on peut voir qu'effectivement, pour les deux masses, les deux forces de contraintes sont égales).

Edit : hum... dans ce dernier exemple, je me rends compte que la force doit effectuer un travail (sur chaque masse, pas sur le système entier)... bref, je suis quelque peu mélangé là je l'avoue

[Universus]

Pour revenir sur l'édition de mon message précédent, c'est en effet peut-être cela ; dans le cas de la machine d'Atwood, contrairement par exemple au cas d'un pendule simple (où par exemple), la tension exerce un travail sur chaque masse, mais pas dans le système en général (tandis que dans le cas du pendule simple, la seule masse présente est quasi, sauf la corde, tout le système et la tension de la corde n'effectue pas de travail non plus). Bref, je pense que le détail est là.

[invitedbd9bdc3]

Pour Phys2 : t'intéresses-tu à cette physique post-prépa uniquement par passion/culture (et dans ce cas, même si c'est louable, le temps "perdu" est très préjudiciable pour la réussite aux concours), ou penses-tu que travailler sur ces concepts t'aidera pour ces mêmes concours (et dans ce cas là je te le dis directement : tu te trompes) ?

C'est vraiment le genre de reflexions franco-françaises qui font plaisirs...
Vives les concours et les grandes ecoles!!!

[invite24327a4e]

Je suis prêt à parier que tu n'as pas fait prépa Thwarn, je me trompe ?

edit : Apparement non, ton profil le confirme. Comme quoi les réflexions franco-française. :}

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Je suis prêt à parier que tu n'as pas fait prépa Thwarn, je me trompe ?

edit : Apparement non, ton profil le confirme. Comme quoi les réflexions franco-française. :}

Je comprend la réponse de Thwarn, et je la soutiens d'ailleurs... Je ne vois pas en quoi s'intéresser à la mécanique analytique serait préjudiciable à Phys2, surtout pour le genre de concours qui l'intéresse (en l'occurence les ENS). Parler de temps "perdu" préjudiciable à la réussite des concours est une ânerie à mon sens, car cela sous-entend que tout notre temps doit être consacré aux concours ; or ceux qui ne font QUE travailler leurs concours, sans s'octroyer des pauses détentes (en l'occurence pour Phys2 faire de la mécanique analytique est une pause détente manifestement, la physique étant une passion), ratent assez souvent lesdits concours donc l'argument d'OuTag n'est à mon sens même pas fondé (sans compter que pour les ENS il est sûrement profitable d'élargir sa culture scientifique..)

Cordialement,

[Seirios]

Non si je ne me trompe pas ton exemple ne marche pas. Pour cause, la dérivée partielle de ton par rapport à donne la même chose que la dérivée temporelle de sa dérivée partielle par rapport à . Comme il y a un signe "moins "qui apparait dans les équations d'Euler-Lagrange ça va faire zero.

Effectivement, j'ai dû mal écrire les équations d'Euler-Lagrange lorsque j'ai fait ce calcul

C'est super standard de regarder ce genre de choses en TQC et TSC lorsqu'on écrit un lagrangien basé sur les symétries du système.

TSC ?

On peut voir directement que ça ne peut pas marcher car le théorème de Noether nous dit que si le lagrangien n'est pas une fonction explicite du temps, alors, l'hamiltonien du système (l'energie) est conservé. Dans ton cas, on sait pertinament par la physique Newtonienne que l'on a affaire à un système non conservatif mais pour lequel tu proposes un lagrangien indépendant du temps...il y a donc quelque chose qui cloche.

Effectivement, je n'y avais pas pensé. A partir de là, je pense avoir réussi à écrire un possible potentiel généralisé : . C'est un peu tiré par les cheveux, mais cela a l'air de fonctionner.

[invitedbd9bdc3]

Je suis prêt à parier que tu n'as pas fait prépa Thwarn, je me trompe ?

edit : Apparement non, ton profil le confirme. Comme quoi les réflexions franco-française. :}

Cela n'a rien à voir avec le fait d'avoir été en prépa ou non (que certe je n'ai pas fait, mais cela ne m'a pas empéché d'avoir étudié à Ulm).
Par contre, cela concerne bien le système prepa-grandes ecoles et cette façon qu'à la france d'etre obnubilé par les concours et le prestiges. Et cette façon d'arreter de vivre pendant deux ans pour entrer dans la "meilleurs" école. Bref, j'ai pas l'intention de plus polluer le post.

Effectivement, je n'y avais pas pensé. A partir de là, je pense avoir réussi à écrire un possible potentiel généralisé : . C'est un peu tiré par les cheveux, mais cela a l'air de fonctionner.

Tu n'as pas le droit d'avoir des termes en car ton lagrangien ne doit dependre que de et t, comme tu l'as ecris dans l'argument de ton potentiel
De plus, tu aurais des termes en dans tes equations du mouvement, ce qui serait vraiment bizarre...

Je connais pas vraiment tes histoires de d'Alembert, mais peut-etre que c'est une formulation phenomenologique qui reproduit bien les forces non concervatives mais n'est pas fondamental. C'est une façon d'"integrer" les effets microscopiques (qui sont eux bien decrit par des forces concervatives, et donc par un lagrangien) dans une formulation plus generale (mais moins fondamentale).

[invite93279690]

TSC ?

Oui désolé c'est la théorie statistique des champs (à mettre en relation au moins techniquement avec la théorie quantique des champs).

Effectivement, je n'y avais pas pensé. A partir de là, je pense avoir réussi à écrire un possible potentiel généralisé : . C'est un peu tiré par les cheveux, mais cela a l'air de fonctionner.

J'ai envie de dire que ça ne marche pas...en effet, le principe de moindre action standard et les equations d'Euler-Lagrange qui en découlent sont basés sur un lagrangien fonction de et (voire de )mais pas de (dans ce cas là pourquoi ne pas prendre aussi la dérivée troisième de etc...).
Si tu mets une dérivée seconde dans le lagrangien alors, les equations du mouvement ne sont plus les mêmes et tu dois donc retomber sur un truc faux si tu fais les choses correctement.

Je pense donc qu'il est plus raisonable de se faire une raison et d'admettre que les principes variationnels sont plutot adaptés à des systèmes conservatifs. On peut essayer d'adapter ce formalisme aux systèmes non conservatifs (comme c'est bien montré dans un cours assez connu en ligne de J-M. Raymond) mais les efforts ne valent souvent pas le coup par rapport à la simplicité des equations de Newton.

Il faut voir aussi que, comme l'a dit chaverondier, les intéractions fondamentales sont conservatives et les termes non conservatifs sont souvent ajoutés "à la main" dans les équations de Newton de systèmes non isolés (on se dit qu'il y a une perte d'energie par unité de temps et on essaie de voir quel est le terme phénoménologique de force permettant d'aboutir à ce genre de perte d'energie).

On peut en fait retomber sur ce genre d'équations de façon déductive (à partir du formalisme hamiltonien sur tout l'univers par exemple) mais il faut une artillerie assez impressionante pour y parvenir et a priori c'est en rapport avec la thermodynamique de l'environnement du système étudié etc...bref c'est compliqué et pour le coup, je pense que ça peut attendre un peu .

[invitedbd9bdc3]

bref c'est compliqué et pour le coup, je pense que ça peut attendre un peu .

Si c'est meme faisable... en dehors de quelques cas triviaux (qui existent?).

[invite93279690]

Si c'est meme faisable... en dehors de quelques cas triviaux (qui existent?).

Euh j'ai pas compris (ouai je suis un peu fatigué là). Ta phrase fait référence à quoi ? (parce que d'une j'ai pas dit que c'était pas faisable et de deux, le calcul auquel je pensais est réellement compliqué par définition).

[invitedbd9bdc3]

Euh j'ai pas compris (ouai je suis un peu fatigué là). Ta phrase fait référence à quoi ? (parce que d'une j'ai pas dit que c'était pas faisable et de deux, le calcul auquel je pensais est réellement compliqué par définition).

Je pense pas qu'ils existent non plus, mais ta tournure de phrase me laissait penser que tu connaissais quelques exemples (simples) ou on pouvait le faire.
Donc on ne s'est pas compris, la faute au foie gras

[Seirios]

Je pense donc qu'il est plus raisonable de se faire une raison et d'admettre que les principes variationnels sont plutot adaptés à des systèmes conservatifs. On peut essayer d'adapter ce formalisme aux systèmes non conservatifs (comme c'est bien montré dans un cours assez connu en ligne de J-M. Raymond) mais les efforts ne valent souvent pas le coup par rapport à la simplicité des equations de Newton.

Je suis allé voir ce cours de J-M Raimond (ici), et l'auteur traite effectivement le cas où les forces sont non conservatives à la page 29, mais il est simplement mentionné que l'on admet la réécriture du principe de moindre action sous la forme , obtenue dans le cas où les forces sont conservatives...A partir de là, on peut trouver les équations d'Euler-Lagrange : , avec la force généralisée.

D'ailleurs, à la page suivante, l'exemple des forces de frottement est traité, et apparemment, il n'y a pas de potentiel généralisé correspondant.

[invite93279690]

Je suis allé voir ce cours de J-M Raimond (ici), et l'auteur traite effectivement le cas où les forces sont non conservatives à la page 29, mais il est simplement mentionné que l'on admet la réécriture du principe de moindre action sous la forme , obtenue dans le cas où les forces sont conservatives...A partir de là, on peut trouver les équations d'Euler-Lagrange : , avec la force généralisée.

D'ailleurs, à la page suivante, l'exemple des forces de frottement est traité, et apparemment, il n'y a pas de potentiel généralisé correspondant.

Ah ? Dans mes souvenirs c'était un peu plus compliqué que ça mais bon ok. Bref ça confirme bien qu'il faut rajouter les termes non conservatifs à la main dans les equations du mouvement et qu'il ne faut donc pas s'obstiner à les incorporer dans la fonctionnelle de départ.

[Seirios]

Ah ? Dans mes souvenirs c'était un peu plus compliqué que ça mais bon ok. Bref ça confirme bien qu'il faut rajouter les termes non conservatifs à la main dans les equations du mouvement et qu'il ne faut donc pas s'obstiner à les incorporer dans la fonctionnelle de départ.

Mais il doit bien y avoir un moyen de le faire, même si en pratique ce serait trop complexe, non ? (Cela me gênerait beaucoup que la réponse soit non...)

[invitedbd9bdc3]

Je pense que c'est comme souvent, en theorie, on a tous les outils pour decrire un systeme avec frottement (en integrant (de l'anglais "integrating out") les effets microscopiques).
Mais dans les faits, on rajoute un terme phenomenologique a fixé, ce qui remplit bien mieux la tache.

[invite93279690]

Mais il doit bien y avoir un moyen de le faire, même si en pratique ce serait trop complexe, non ? (Cela me gênerait beaucoup que la réponse soit non...)

Je ne comprends ce qui te gène. Je ne sais pas si c'est facilement démontrable mais par inspection on peut apparemment dire qu'il n'existe pas de potentiel généralisé au sens où tu l'entends (fonction de , de ou de ) qui corresponde aux forces non conservatives.
Cela ne veut pas dire que l'on ne peut pas décrire les frottements par ce genre de formalisme mais soit on utilise une artillerie assez compliquée dont j'ai parlée plus tot et que Thwarn a nommé "integrating out" (qui consiste à sommer les effets dus à un couplage extérieur avec un système énorme genre le reste de l'univers), soit on rajoute un terme phénoménologique directement dans l'équation du mouvement (ce qui est souvent beaucoup plus facile...bien que moins déductif).