Pseudo vecteur

[freemp]

Bonjour,

Je souhaiterais vérifier une notion sur les pseudos vecteurs :

Je prend ici l'exemple du champ magnétique B.
Posons F=q*v^B
On a : Fx=q*(vy*Bz-vz*By)
Ce que j'ai compris c'est si je fais le calcul dans un repère R1=(x,y,z) de la force, je vais obtenir une certaine force.
Si je fais le calcul dans R2=(x',y',z'), j'obtiens une autre force (par exemple en prenant x'=-x, y'=-y, z'=-z, on constante qu'on obtient :

Fx'=q*(vy'*Bz'-vz'*By')=q*((-vy)*(-Bz')-(-vz')*(-By'))=q*(vy*Bz-vz*By)

On a donc Fx'=Fx ce qui est absurde, on devrait avoir Fx'=-Fx

Donc voila ce que j'en ai compris, un pseudo vecteur comme B a un signe qui dépend de l'orientation de l'espace (en gros ici pour que tout reste logique, en passant de R1 à R2, j'aurais du changer le signe du champ magnétique pour que tout reste correct.

J'en viens au point que je ne comprends pas.

Sur wikipedia il est écrit sur la page des produits vectoriels dans la section "calcul en composantes" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel

"Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées."

Mais on a bien vu que faire le calcul de F dans mon repère R1 ou dans mon repère R2 n'amène pas aux mêmes conclusions en partant du principe que B et v sont traités comme des vecteurs vrais.
Le calcul du produit vectoriel en partant du principe que toutes les quantités traitées sont bien des vecteurs dépend donc bien du choix de la base non ?

Merci !
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[Dynamix]

Salut
en prenant x'=-x, y'=-y, z'=-z
tu n' obtiens pas une base directe .

[freemp]

Salut.

Effectivement, mais en prenant x'=-x,y'=-y,z'=z on constate toujours un pb :

Les composantes suivant x et y du produit vectoriel seront cohérentes (on a le même résultat du calcul dans les deux bases) mais pas suivant z (on a le calcul dans une base qui donne l'opposé dans la seconde).

Le calcul d'un produit vectoriel dépend il donc de la base choisie contrairement à ce qui est écrit sur Wikipedia ou j'ai mal compris quelque chose ?
Merci !

[Dynamix]

Dans une base directe :
xΛy=z
Dans la base x',y',z'
x'Λy'=-xΛ-y=z=z'
Donc la base x',y',z' est directe

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

Oui je suis d'accord avec toi sur le fait que (-x),(-y),z est directe, ce n'est pas ce qui me pose problème (cf mon message précédent).

[Matmat]

Donc voila ce que j'en ai compris, un pseudo vecteur comme B a un signe qui dépend de l'orientation de l'espace (en gros ici pour que tout reste logique, en passant de R1 à R2, j'aurais du changer le signe du champ magnétique pour que tout reste correct.

Le signe de v^B change dans une base indirecte , donc F'=-q*v^B donc dans R2 vous devez trouver Fx'=-(-Fx)=Fx et c'est bien ce que vous trouvez.

[freemp]

En effet, je me suis embrouillé.

Mais du coup c'est la notion de pseudo vecteur que je ne comprends pas.

Selon wikipédia : "Un pseudovecteur ou vecteur axial est un vecteur dont le sens dépend de l'orientation du trièdre de référence"

Or si je prend une base R1=(x,y,z) et R2=(-x,-y,-z) : la première est directe, la deuxième est indirecte.

Je calcule C=A^B

Je fais le calcul dans la base directe R1 :





Je fais le calcul dans la base INDIRECTE R2 :
En faisant bien attention au fait qu'ici : Ux'^Uy' = -Uz', Uy'^Uz'=-Ux', Uz'^Ux'=-Uy' (j'avais fait l'erreur dans mon premier post de ne pas prendre en compte ceci)




Je ré écris ce vecteur dans R1 :
Ax'=-Ax (idem pour toutes les autres composantes)
Ux'=-Ux (idem pour tous les autres vecteurs).

On retrouve alors en faisant un changement de base après calcul :





Le calcul de C donne donc le même résultat, que la base soit directe ou indirecte.

Donc en quoi C est il un pseudo vecteur ?

Est-ce parce que dans la base R2, son expression n'a pas la même "forme" que dans R1 ?
Dans R1 l'expression était du type Vecteur=+Expression_R1*U_R1
Dans R2 l'expression est devenue : Vecteur=-Expression_R2*U_R2

Où +Expression_R1 représente les valeurs des composantes et U_R1 les vecteurs unitaires de la base R1.

C'est ça qu'on entend par pseudo vecteur ?

Merci.

[freemp]

Suite aux problèmes de latex sur le forum je vous invite juste à lire ceci (c/c de la ccl de mon précédent message que je ne peux plus éditer), merci !

Résumé du message précédent : j'avais R1 base directe et R2 base indirecte. J'avais calculé les expressions du produit vectoriel dans R1 et dans R2 et voici les conclusions :

Le calcul de C donne donc le même résultat une fois qu'on ré écrit tout dans R1, que le calcul du produit vectoriel aie été initialement réalisée dans la base directe ou indirecte.

Donc en quoi C est il un pseudo vecteur ?

Est-ce parce que dans la base R2, son expression n'a pas la même "forme" que dans R1 ?
Dans R1 l'expression était du type Vecteur=+Expression_R1*U_R1
Dans R2 l'expression est devenue : Vecteur=-Expression_R2*U_R2

Où +Expression_R1 représente les valeurs des composantes exprimées dans R1 et U_R1 les vecteurs unitaires de la base R1.

Par exemple pour C=A^B :
Cx Ux=+(AyBz-AzBy) Ux
ET :
Cx' Ux'=-(Ay'Bz'-Az'By') Ux'

C'est ça qu'on entend par pseudo vecteur ?

Merci.

[Dynamix]

Je pense que tu es sur la bonne voie .
C' est l' inversion de signe qui fait que le produit vectoriel a un comportement différent des autres opérations sur les vecteur .
Le plus simple est d' utiliser une base E' miroir de E . Par exemple symétrique par rapporte au plan xy
x'=x
y'=y
z'=-z
Toute opération dans E' équivalente à une opération dans E donne dans E' un résultat miroir de celle dans E
Mais pas le produit vectoriel :
xΛy=x'Λy'=z et non pas son symétrique z'

[freemp]

Merci de ta réponse.

Il y a quand même quelque chose qui me gène...

En gros ce qui se passe avec les pseudos vecteurs contrairement aux vecteurs "classiques" c'est que les expressions permettant des les calculer dépendent de l'orientation du repère. Mais les quantités réelles derrières ne dépendent elles pas du repère.

Je dis ça parce que on voit bien qu'un signe "-" viens se rajouter à la formule du calcul du produit vectoriel dans un repère indirect, mais si on ré écrit cette expression dans le repère original, on retombe sur nos pattes => La quantité C=A^B est donc indépendante du repère mais l'expression mathématique permettant de la calculer dépend du repère.

L'expression d'un produit scalaire dans une base orthonormée est identique à tout les repères que la base soit directe ou indirecte, contrairement au produit vectoriel donc ici on peut dire du produit scalaire que c'est un "vrai" scalaire (je sais pas si la notion existe).

Et ce qui me gène c'est ceci : je ne vois pas comment traduire "physiquement" le fait que les expressions permettant le calcul dépendent du repère puisque comme on l'a vu, les quantités physiques ne dépendent pas de l'orientation du repère.

Normalement ça ne devrait rien changer du coup...?

Je sais qu'un produit vectoriel est antisymétrique par rapport à un plan de symétrie par exemple, mais j'ai du mal à faire le lien avec ce fait et ce que j'explique ici, pour moi il y a une contradiction (si la représentation physique est invariante des repères, si c'est juste "la formule intermédiaire de calcul" qui change au fond rien ne devrait changer...??

Autrement dit : pourriez vous m'aider à faire le lien logique entre "on introduit un signe - quand on change l'orientation du repère pour le calcul du produit vectoriel" et "C=A^B est antisymétrique par rapport à un plan de symétrie pour les vecteurs vrais A et B".
J’espère que vous comprenez ce qui me bloque...

Merci !