Bonsoir,
Je rencontre un problème dans l'élaboration de mon programme sur python permettant de résoudre l'équation de Schrödinger 1D indépendante du temps pour illustrer l'effet tunnel. En effet dans les 3 différentes zones de l'espace les solutions des différentes équations sont de la forme (pour l'énergie propre du quantum inférieure à la hauteur de la barrière) :
Psi1(x) =Aexp(ik1x) + Bexp(-ik1x) dans la zone incidente (zone 1)
Psi2(x) = Cexp(k2x) + Dexp(-k2x) au niveau de la barrière (zone 2)
Psi3(x) = Eexp(ik1x) + Fexp(-ik1x) dans la zone de droite (là où l'onde est transmise) (zone 3)

Lors d'une résolution analytique, on dirait que E=0 puisque dans la zone de droite aucunes ondes ne se déplace vers la gauche puis C=0 car la fonction d'onde est bornée et on aboutit ensuite à la forme des solutions bien connues.

Cependant mon programme résous dans les zones 1 et 3 des équations du type oscillateur harmonique : pour la zone 1 cela ne pose pas de problèmes, pour la zone 3 il obtient en sortie une combinaison linéaire de cosinus et sinus qui malheureusement n'est pas de module 1 (la densité de probabilité dans la zone 3 n'est alors pas constante... arg!)
Dans la zone 2, l'équation est du type Psi''(x)=(k2^2)*Psi(x) donc mon programme obtient en sortie la combinaison linéaire des exponentielles ci-dessus dont les coefficients sont déterminés par les conditions aux limites au niveau de la barrière (abscisse et pente de la fonction d'onde à l'interface zone1/zone2). De ce fait je n'observe pas d'évanescence de l'onde (mais une amplification :/) dans cette zone ce qui donne des résultats délirants.

Je ne sais pas comment programmer ces conditions afin d'obtenir le profil type sinusoïdes/décroissance exponentielle/constant de la densité de probabilité.
(pour infos je résous l'équation avec la méthode rk4)

Auriez-vous des astuces et/ou solutions à ce problème?