[MQ] Equation radiale du Hamiltonien (harmoniques sphériques) : cohen tanoudji

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Bonjour à tous.

J'ai une question à propos d'une "méthode" de calcul qui est faite dans le Cohen Tanoudji, page 791-792, tome I.

On a l'équation différentielle suivante :


(le propos entre crochets est mon opérateur différentiel)

Ensuite il est dit qu'on fait l'hypothèse que quand r->0, V(r) ne tend pas plus vite que 1/r

Je pose donc V(r)~A/r en 0

On prend une solution de cette équation et on émet l'hypothèse qu'elle se comporte en 0 comme ceci :

R(r)~C*r^s

s étant une constante à déterminer.

Et c'est là que je ne comprends pas trop.

En gros (le calcul n'est pas détaillé), mais il injecte l'équivalent dans l'équation différentielle.

-> A t'on vraiment le droit de faire ça ???
Bon on va dire que j'admet ce point là, au fond si la fonction est proche d'une autre au voisinage de 0, on peut négliger les autres termes du DL (ça a du sens) et leurs dérivées (En revanche, ce dernier point ne me semble pas forcément facile à admettre).

Du coup j'ai une équation polynomiale en r que voici (je ne pense pas qu'il y ait d'erreur car je retrouve la même chose pour son terme le plus élevé, le détail n'étant pas écrit).



Et là, il dit "On égale à 0 le terme dominant", soit en 0, le terme à la plus petite puissance.

On a donc une relation : s(s+1)-l(l+1)=0

Mais si on égale à 0 le terme dominant, on devrait aussi égaler à 0 les autres termes (on identifie au polynome nul).

Du coup on a A=0 et E=0 ce qui n'a pas de sens (on trouve que ça implique un potentiel nul et une énergie nulle).

Du coup j'avoue que je ne comprends pas du tout sa méthode.

Merci d'avance pour votre aide.
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Bonjour,

Mais si on égale à 0 le terme dominant, on devrait aussi égaler à 0 les autres termes (on identifie au polynome nul).

Non. On ne cherche pas à montrer que C*r^s est solution exacte de l'équation (ce qui n'est pas le cas). On cherche des conditions nécessaires pour que C*r^s soit le terme dominant d'une solution de l'équation. On peut obtenir ces conditions en regardant le terme dominant dans l'équation parce que ce terme ne dépend que du terme dominant dans la fonction. Mais on ne peut pas faire de même avec les termes sous-dominants car ces termes dépendent aussi des termes sous-dominants dans la fonction.

Il me semble que la méthode est plus claire si on commence par une hypothèse plus forte: cherchons R(r) de la forme R(r)=Cr^s *f(r) avec f(r) une fonction analytique avec f(0)=1, i.e. de la forme . Si on fait ça, il n'y a plus le problème soulevé correctement par votre première question (en général, on n'a pas le droit de dériver un DL mais la seule obstruction est l'existence du DL. Si le DL de la dérivé existe, c'est nécessairement la dérivée terme à terme du DL de la fonction. Si on fait l'hypothèse que f est analytique, sa dérivée l'est aussi et s'obtient en dérivant terme à terme). Si on injecte cette formule pour R(r) dans l'équation, on doit cette fois ci égaler à zéro tous les termes (on n'a pas fait d'approximation, on a simplement choisi un "ansatz" pour la solution): pour le terme dominant, on retrouve la même relation, mais cette fois ci les termes sous-dominants ne donnent plus des contradictions mais des équations linéaires pour les coefficients