Qu'est ce qu'une impulsion de Dirac ? Quelle différence avec un bruit rose ?

[invitecbd26461]

Bonsoir,

je pense qu'il s'agit de deux choses bien différentes. Cependant, d'après mon support de cours, une impulsion de Dirac occupe un spectre de fréquence infini. Ce qui me fait penser à un bruit rose. La différence doit être dans le fait que le bruit rose est un bruit continu, tandis que l'impulsion de Dirac se fait sur une durée nulle (comment ça peut-être une "durée nulle" ? a priori je croyais qu'un son avait toujours une certaine durée, si petite soit-elle)

Ensuite, je ne comprends pas pourquoi le peigne de Dirac génère une suite de raies (aux fréquence F, 2F, 3F etc), alors que je viens d''apprendre qu'une impulsion unique de Dirac occupe tout le spectre ...

merci
-----

[gwgidaz]

Bonjour,

C'est du cours, tout ça...
Une impulsion de Dirac a un spectre d'énergie infini. Mais en physique, l'infini n'éxiste pas, et elle aura toujours une durée " très faible " et un spectre "très étendu" : c'est la différence entre maths et physique.

Un spectre plat, ce n'est pas un bruit rose, mais un bruit blanc.
Dans un spectre de bruit blanc , les phases de toutes les fréquences sont quelconques les unes par rapport aux autres.
Dans une impulsion de Dirac, toutes les fréquences qui composent le spectre ont une phase nulle au pied de l'impulsion.
c'est pourquoi le résultat temporel est si différent, alors que le spectre ( en amplitude) semble le même .

Pour la dernière question, pose toi la question suivante : Quelle est l'énergie d'une impulsion de Dirac ?, puis quelle est l'énergie d'une suite infinie d'impulsions de Dirac?
Il faut distinguer les spectres d'énergie finie, et les séries de Fourier...

Et ne pas confondre un "spectre d'énergie fini" et un "spectre d'énergie finie". Ah, le français, c'est important....

[gwgidaz]

Bonjour, petite correction : dans une impulsion de Dirac, les phases des fréquences qui composent l'impulsion ne sont pas quelconques.

[phuphus]

Bonjour,

juste pour compléter ce qu'écrit gwgidaz, un bruit rose possède un spectre dont l'amplitude est à -3dB / octave, ce qui donnera en analyse avec une largeur de bande relative constante un truc plat (par exemple : plat en tiers d'octave).

A contrario, le spectre d'une bruit blanc / Dirac est plat, et une analyse tiers d'octave sera montante.

@ Opal-vox : as-tu déjà entendu un bruit rose / bruit blanc / Dirac ?

comment ça peut-être une "durée nulle" ? a priori je croyais qu'un son avait toujours une certaine durée, si petite soit-elle

Une distribution de Dirac est un objet théorique. En pratique, pour un signal échantillonné à Fech, le Dirac dure 1/Fech et a une amplitude de Fech.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Comme peu de personnes savent à quoi ressemble un bruit rose, je donne ma réponse : c’est celui d’une chute d’eau.
Un bruit blanc est celui forme par une salle de concerts avec le public qui applaudit de façon non rythmique.
.Et pour cause : chaque claquement des mains est une « petite fonction de Dirac ». Mais comme il a une durée non nulle, le spectre de la salle, ne s’étend plus que quelques kHz.
Au revoir.

[phuphus]

Bonsoir,

Comme peu de personnes savent à quoi ressemble un bruit rose

Ben c'est pourtant simple : c'est une licorne rose invisible, sauf que ce n'est pas une licorne et qu'elle n'est pas invisible

[invitecbd26461]

merci pour vos réponses !

Bonjour,

Pour la dernière question, pose toi la question suivante : Quelle est l'énergie d'une impulsion de Dirac ?, puis quelle est l'énergie d'une suite infinie d'impulsions de Dirac?

Une impulsion de Dirac a, je crois, une énergie finie. Donc j'imagine qu'une suite infinie d'impulsions a une énergie infinie.
Mais je ne comprends pas encore bien en quoi cela m'aide pour répondre à ma question, qui est de savoir pourquoi on a une suite de raies (aux fréquence F, 2F, 3F etc) lorsque l'on a plusieurs impulsions, alors qu'avec une seule on a un ligne plate.

Il faut distinguer les spectres d'énergie finie, et les séries de Fourier...

je pense en effet que je confonds, mais c'est cette histoire de F , 2F, 3F, ... ça n'a aucun rapport avec les séries de Fourier ?

Bonjour,

@ Opal-vox : as-tu déjà entendu un bruit rose / bruit blanc / Dirac ?

J'avais déjà entendu le bruit qui fait SHHHHHHHHH, je croyais que c'était un bruit rose mais apparemment c'est plutôt un bruit blanc, c'est bien ça ?
C'est bien celui qu'on va utiliser dans une salle de concert (par exemple), pour voir comment réponds le système en fréquence ?


bruit rose je n'avais pas entendu, mais je viens d'écouter et apparemment ça ressemble en effet à de l'eau qui coule.
Utilisé pour quoi ?


le bruit de Dirac ça peut s'écouter ? tu disais justement que c'était un bruit théorique


bonne soirée!

[Antoane]

Bonjour,

Tu confonds :

d'après mon support de cours, une impulsion de Dirac occupe un spectre de fréquence infini. Ce qui me fait penser à un bruit rose. La différence doit être dans le fait que le bruit rose est un bruit continu, tandis que l'impulsion de Dirac se fait sur une durée nulle (comment ça peut-être une "durée nulle" ? a priori je croyais qu'un son avait toujours une certaine durée, si petite soit-elle)

Ensuite, je ne comprends pas pourquoi le peigne de Dirac génère une suite de raies (aux fréquence F, 2F, 3F etc), alors que je viens d''apprendre qu'une impulsion unique de Dirac occupe tout le spectre ...

En bleu ce qui est dans le domaine temporel, en rouge dans le domaine fréquentiel.

Un Dirac est un truc de largeur nulle.
- dans le domaine fréquentiel, c'est une raie ;
- dans le domaine temporel, c'est un claquement.

Ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Bruits_color%C3%A9s pour les écouter.

[gwgidaz]

Bonjour,

" ma question, qui est de savoir pourquoi on a une suite de raies (aux fréquence F, 2F, 3F etc) lorsque l'on a plusieurs impulsions, alors qu'avec une seule on a un ligne plate."

Ce sont les lois mathématiques qui régissent la transformation de Fourier. Pour garder un langage simple ( excusez le manque de rigueur...) :

Soit une impulsion unique, de forme quelconque . Son spectre est la transformée de Fourier de cette "forme".

Maintenant, si je répète indéfiniment cette forme, selon une périodicité T donnée, que devient le spectre? Réponse, c'est le spectre de la forme de départ ( unique) mais découpé en rondelles fines (raies) espacées en fréquences de l'écart F = 1/T . En quelque sorte, la transformation de Fourier transforme une répétition dans le temps en hachage en fréquence.

Appliquons cela au peigne de Dirac: le spectre d'une impulsion, c'est un spectre plat, horizontal; Comme je répète cette impulsion périodiquement à la période T, le spectre sera le spectre plat découpé en fines rondelles espacées de F = 1/T, donc une série de raies F, 2F, 3F .....

L'enveloppe des raies est la TF du motif répété.

Enfin, quand on veut le spectre d'un signal périodique, on peut le calculer par les séries de Fourier, c'est la même chose.

[Antoane]

Bonsoir,

J'ai effectivement répondu à côté, désolé.

Il est tard

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je modifie un peu l’explication de gwigidaz en choisissant une forme « carrée » pour l’impulsion (l’enveloppe du spectre est plus connue). On prend des impulsion qui se répètent avec une période T.
Comme gwgidaz l’a dit, le spectre est formée par des raies espacées de 1/T. Et l’enveloppe de ces raies est la valeur absolue du sinus cardinal (sin(x)/x) dont le premier zéro se trouve à 1/tau, où tau est la durée de l’impulsion. Quand la durée tend vers zéro, le premier zéro tend vers l’infini et le spectre a toutes ses raies de la même hauteur. Et quand la période tend vers zéro, le raies se rapprochent et on a un spectre « horizontal ».

Ce résultat mathématique traduit la réalité physique que quand on donne un seul coup bref sur un système oscillant (mécanique ou électrique), on le met à osciller, quelque soit sa fréquence propre.
Un coup de marteau sur la harpe d’un piano sans les étouffoirs, excite toutes les cordes.
Ou (à l’époque) , quand un Solex passait à côté de votre voiture avec l’autoradio sur la AM, on l’entendait à la radio, quelque soit la station. Comme on entendait les éclairs sur n’importe quelle station.

Nota : vous pouvez entendre un bruit rose ici :
https://www.youtube.com/watch?v=pPk9HpXZLj8
Au revoir.

[gwgidaz]

Bonjour,

D'où, finalement la remarque que le peigne de Dirac appartient au club très fermé des "fonctions" dont l'allure temporelle et fréquentielle sont semblables... Une autre fonction qui possède cette propriété, c'est la courbe de Gauss...

[invite6dffde4c]

Bonjour,

D'où, finalement la remarque que le peigne de Dirac appartient au club très fermé des "fonctions" dont l'allure temporelle et fréquentielle sont semblables... Une autre fonction qui possède cette propriété, c'est la courbe de Gauss...

Re.
Je suis d’accord pour Gauss. Mais pour Dirac, il faudrait coucher le pic.
A+

[stefjm]

Re.
Je suis d’accord pour Gauss. Mais pour Dirac, il faudrait coucher le pic.
A+

Je n'ai pas compris la blague...
Un peigne de Dirac se transforme en peigne de Dirac.

[invite6dffde4c]

Re.
Effectivement, je n’ai pas compris qu’il s’agissait d’un peigne de Dirac.
Au temps pour moi.
A+

[invite17c2abb9]

bonsoir,

Voici une façon de démontrer qu'un peigne de dirac temporel donne un peigne de dirac fréquentiel dans l'espace réciproque :
Il faut prendre un signal s(t) qui correspond à un peigne de dirac -> s(t)= somme(k=0 -> inf) [delta(t-k.T0)]
Calculer sa transformée de Fourier en prenant l'intégrale de Lebesgue car le dirac est une distribution. On s'en sort aussi avec une intégrale de Riemann en prenant la limite de l'intégrale lorsque les bornes ± T0/2 tendent vers 0± (ce qui revient à utiliser le dirac comme une fonction, ce qui est mathématiquement faux... mais physiquement acceptable ).
Après une ou deux lignes de calculs (simplification de l'exponentiel) le résultat devrait apparaitre.

Désolé de donner juste les étapes et non le calcul mais c'est plus pédagogique de le faire par soit même (bon d'accord d'accord, la vraie raison est que je ne sais pas afficher les caractères mathématique..... )

[inviteab0c3c8c]

ce qui revient à utiliser le dirac comme une fonction, ce qui est mathématiquement faux...

En mathématique, on peut tout de même écrire :

[stefjm]

En mathématique, on peut tout de même écrire :

Pas en mathématique rigoureuse.
Il n'y a pas de fonction qui vérifie à la fois la relation que vous donnez et la nullité partout sauf en 0.

[inviteab0c3c8c]

Ce qui me gène c'est que la propriété que j'ai donné et qui est vraie par définition de ce qu'est une impulsion dite de Dirac, n'apparaît pas selon votre définition.

En posant:


Cela ne pose pas de problème d'écrire rigoureusement mathématiquement que :

[stefjm]

Bonjour,
Tant que vous manipulez f(x), son intégrale indéfinie vaut bien 1.

Si vous passez à la limite, une fonction nulle partout sauf en un nombre fini de point ne change pas la valeur de l'intégrale, ici 0. (relation de Chasles pour le prouver.)

Pas pour rien que la notion de distribution a été inventée. (et de fonctionnelle)
Cordialement.

[inviteab0c3c8c]

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord. En passant à la limite, on ne peut pas simplement parler de fonction nulle partout sauf en 0, sans au moins préciser que sa valeur en 0 est infinie positivement, auquel cas la relation de Chasles ne peut plus s'appliquer, ce qui implique que l'intégrale est indéterminée et donc pas nécessairement nulle. Si elle vaut 1, alors on parlera d'une impulsion de Dirac.

[stefjm]

Si l'intégrale est indéterminée elle n'est pas égale à 1.
D'où ma première remarque.

[inviteab0c3c8c]

L'intégrale est indéterminée si on se contente de dire que vaut pour t = 0, et vaut 0 partout ailleurs, car pour le coup, ce n'est pas une notation mathématique rigoureuse, là je suis d'accord. Mais pas comme je l'ai définie (rigoureusement) plus haut, auquel cas elle vaut vraiment 1. J'insiste.

[gwgidaz]

Bonjour,

L'infini n'existe pas en physique ...
delta( t) vaut 1/e pour e/2< t< e/2 avec e aussi petit que possible.
Il y a un moment où les mathématiques ne sont plus capables de décrire la réalité physique....

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Ce sont les deltas de Dirac qui n’existent pas dans le monde réel. C’est une abstraction mathématique que l’on peut utiliser dans les calculs en physique, en sachant qu’ils ne seront pas exacts. Mais c’est l’habitude en physique. On le sait et on s’en accommode.
Un delta de Dirac ou la « fonction » de Heaviside ne sont pas des fonctions mais des distributions et on ne peut pas appliquer les règles habituelles que l’on utilise pour des fonctions à des distributions.

Dire que le delta de Diract est la limite de (….) est utile (pour les physiciens) pour se faire une idée, mais ce n’est simplement pas vrai. Un delta de Dirac n’est la limite de rien du tout.

Une des conséquences les plus connues et la moins enseignée est le phenomène de Gibbs. On s’amuse à faire développer en série de Fourier un signal carré aux élèves, sans leur dire que ce n’est pas une fonction et que s’ils font la somme de ce qu’ils ont calculé, ils ne retrouveront pas le signal d’origine.
Au revoir.

[coussin]

Avec la distribution delta, il faut passer par des séries de fonctions (je vais prendre des Lorentzienne par exemple).
On a
- Par définition : (*)
- Il est facile de montrer :
- Par abus de language avec les distributions régulières (**), on dit : mais rigoureusement c'est faux.

Tout cela reste académique et les physiciens s'autorisent à traiter la distribution comme une fonction (mais on doit garder tout ça dans un coin de son cerveau et, dans le doute, revenir aux définitions rigoureuses).


* Déjà, cette définition est sujette à caution puisque la fonction n'est pas une fonction test (elle a un support infini).
** Pour une distribution régulière , on a par définition . Cette formule ne s'applique pas à la distribution qui est une distribution singulière.

[invitec998f71d]

L'intégrale est indéterminée si on se contente de dire que vaut pour t = 0, et vaut 0 partout ailleurs, car pour le coup, ce n'est pas une notation mathématique rigoureuse, là je suis d'accord. Mais pas comme je l'ai définie (rigoureusement) plus haut, auquel cas elle vaut vraiment 1. J'insiste.

En toute rigueur le dirac est une distrbution qui associe a une fonction f sa valeur en 0 on note
les physiciens preferent la NOTATION
comme çà peut se noter

[inviteab0c3c8c]

Ok, merci à tous pour toutes ces précisions.

[stefjm]

[...] la « fonction » de Heaviside ne sont pas des fonctions mais des distributions et on ne peut pas appliquer les règles habituelles que l’on utilise pour des fonctions à des distributions.
[...]
Une des conséquences les plus connues et la moins enseignée est le phenomène de Gibbs. On s’amuse à faire développer en série de Fourier un signal carré aux élèves, sans leur dire que ce n’est pas une fonction et que s’ils font la somme de ce qu’ils ont calculé, ils ne retrouveront pas le signal d’origine.

La fonction de Heaviside est une fonction, certes discontinue en 0, mais une fonction quand même.
Pour la décomposition d'une fonction carré, il faudrait une infinité de termes pour retrouver le carré, et comme on s'arrête toujours avant l'infini, il apparait le phénomène de Gibbs.

[gwgidaz]

La fonction de Heaviside est une fonction, certes discontinue en 0, mais une fonction quand même.
Pour la décomposition d'une fonction carré, il faudrait une infinité de termes pour retrouver le carré, et comme on s'arrête toujours avant l'infini, il apparait le phénomène de Gibbs.

Tu es certain de cela? Il me semble que la pointe est irréductible, même si on met tous les termes de la série....