Equation de Schrödinger, vitesse de groupe v et vecteur d’onde k

[tomadela]

Bonjour,
D’après la relation de De Broglie, on a p=hk.
On a donc à priori un vecteur d’onde k dans la même direction que la quantité de mouvement p.

Dans l’équation de Schrödinger, le vecteur d’onde k varie en fonction de r et parait être orienté radialement. On s’attendrait donc à une quantité de mouvement p orientée suivant r.
Or ce n’est pas le cas, puisque la vitesse de groupe de l’onde électron v=p/m (électron qui tourne autour du noyau) est perpendiculaire à r (tout du moins dans le modèle simplifié de Bohr).

Est-ce une particularité des ondes stationnaires puisque cela ne semble pas concerner les ondes progressives ?

Merci si quelqu’un peut m’éclairer sur cette question.
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[Universus]

Bonjour,

Je ne saisis pas ce que vous entendez ici par « vecteur d'onde », ni par « vecteur d'onde varie en fonction de r et paraît orienté radialement » et ni par « dans l'équation de Schrödinger ». Quel système physique étudiez-vous : l'atome d'hydrogène ?

Bref, pourriez-vous expliciter le contexte et les notions que vous employez ?

Cordialement

[tomadela]

Bonjour à tous,

Je vais essayer d'être un peu plus clair sur ce problème concernant l'électron dans les modèles de Bohr, de De Broglie et de Schrodinger.

Pour une onde progressive, on peut poser:
Psi=cos(wt-kx) avec w la pulsation de l'onde et k le vecteur d'onde orienté ici dans la direction x de propagation de l'onde.

L'idée de De Broglie, c'est de faire correspondre l'impulsion p avec le vecteur d'onde k, via la formule: p=hk (en fait c'est h barre).
De Broglie fait également correspondre la pulsation w avec l'énergie E en reprenant la formule de Planck E=hw.

On obtient donc pour une onde progressive:
Psi=cos(Et/h-px/h)

L'idée suivante de De broglie, c'est d'assimiler cette onde progressive à un électron (par exemple, celui de l'atome d'hydrogène). C'est la fameuse dualité onde corpuscule.

De broglie propose également d'assimiler la vitesse v du corpuscule électron tournant autour du noyau à la vitesse de groupe de l'onde électron.
On a donc une vitesse du corpuscule électron (ou vitesse de groupe de l'onde électron) v=p/m=hk/m.

Vitesse v et vecteur d'onde k sont donc à priori orientés dans la même direction, celle de la propagation de l'onde.

Si on s'arrête au cas simple du modèle de Bohr, l'électron possède un mouvement circulaire autour du noyau. On peut faire correspondre au modèle de Borh une onde stationnaire de la forme:
psi(r)=Aexp(-r/a) avec A une constante et a le rayon de l'atome de Bohr.
r est ici la distance de l'électron au centre de l'atome.
(on retrouve à partir de cette onde stationnaire les niveaux d'énergie quantifiée du modèle de Bohr).

On peut réécrire cette onde stationnaire en utilisant le vecteur d'onde k :
psi(r)=Aexp(-kr) avec k=1/a.
Le vecteur d'onde k est donc orienté "radialement" suivant r.

Le vecteur d'onde k est ici perpendiculaire à la vitesse de l'électron (qui est perpendiculaire à r).
Cela contredit la première affirmation : v et k sont orientés dans la même direction, celle de l'onde!

Merci si quelqu'un peut m'expliquer où se trouve l'erreur dans ce raisonnement.

Ma première intuition, c'est que la solution de l'équation de Schrodinger est une onde stationnaire (et non progressive).
Mais je ne vois pas pourquoi cela impliquerait une vitesse de groupe de l'onde électron perpendiculaire au vecteur d'onde k?

Voilà, j'espère que j'ai été un peu plus clair dans ce qui me tracasse.

Merci si quelqu'un peut m'éclairer sur ce problème.

Toma

[van_fanel]

Bonjour à tous,

Je vais essayer d'être un peu plus clair sur ce problème concernant l'électron dans les modèles de Bohr, de De Broglie et de Schrodinger.

Pour une onde progressive, on peut poser:
Psi=cos(wt-kx) avec w la pulsation de l'onde et k le vecteur d'onde orienté ici dans la direction x de propagation de l'onde.

L'idée de De Broglie, c'est de faire correspondre l'impulsion p avec le vecteur d'onde k, via la formule: p=hk (en fait c'est h barre).
De Broglie fait également correspondre la pulsation w avec l'énergie E en reprenant la formule de Planck E=hw.

On obtient donc pour une onde progressive:
Psi=cos(Et/h-px/h)

L'idée suivante de De broglie, c'est d'assimiler cette onde progressive à un électron (par exemple, celui de l'atome d'hydrogène). C'est la fameuse dualité onde corpuscule.

De broglie propose également d'assimiler la vitesse v du corpuscule électron tournant autour du noyau à la vitesse de groupe de l'onde électron.
On a donc une vitesse du corpuscule électron (ou vitesse de groupe de l'onde électron) v=p/m=hk/m.

Vitesse v et vecteur d'onde k sont donc à priori orientés dans la même direction, celle de la propagation de l'onde.

Si on s'arrête au cas simple du modèle de Bohr, l'électron possède un mouvement circulaire autour du noyau. On peut faire correspondre au modèle de Borh une onde stationnaire de la forme:
psi(r)=Aexp(-r/a) avec A une constante et a le rayon de l'atome de Bohr.
r est ici la distance de l'électron au centre de l'atome.
(on retrouve à partir de cette onde stationnaire les niveaux d'énergie quantifiée du modèle de Bohr).

On peut réécrire cette onde stationnaire en utilisant le vecteur d'onde k :
psi(r)=Aexp(-kr) avec k=1/a.
Le vecteur d'onde k est donc orienté "radialement" suivant r.

Le vecteur d'onde k est ici perpendiculaire à la vitesse de l'électron (qui est perpendiculaire à r).
Cela contredit la première affirmation : v et k sont orientés dans la même direction, celle de l'onde!

Merci si quelqu'un peut m'expliquer où se trouve l'erreur dans ce raisonnement.

Ma première intuition, c'est que la solution de l'équation de Schrodinger est une onde stationnaire (et non progressive).
Mais je ne vois pas pourquoi cela impliquerait une vitesse de groupe de l'onde électron perpendiculaire au vecteur d'onde k?

Voilà, j'espère que j'ai été un peu plus clair dans ce qui me tracasse.

Merci si quelqu'un peut m'éclairer sur ce problème.

Toma

passage en gras. Si k=1/a k n'est pas un vecteur. Ce n'est pas homogène. Ca ne correspond qu'à l'inverse d'une distance. Il n'a aucune direction, ce n'est pas un vecteur d'onde.

Pour schrodinger: si vous passer à schrodinger: pas de trajectoire ni de vitesse juste des densités de probabilités

[A voir en vidéo sur Futura]

[van_fanel]

j'ajouterai également qu'à partir du moment où on cherche à utiliser un" point de vue ondulatoire" on oublie la notion de trajectoire puisque l'onde associée à une particule est sa fonction d'onde

[azizovsky]

Salut, une particule ayant une impulsion déterminée avec précision 's'étend' uniformément dans tout l'espace, càd n'est pas localisée en un point déterminé de l'espace car pour une telle particule , ainsi, si l'impulsion d'une particule est connue exactement (càd si ), la valeur de sa coordonnée est complétement indéterminée ( ). il est clair qu'un tel état de la particule est une abstraction mathématique, car dans tous cas réel il existe toujours un certain degré de localisation de la particule au voisinage d'un certain point (ou des points) de l'espace, mais alors c'est l'impulsion de la particule qui n'est pas exactement déterminée. la fonction d'onde d'un tel état de la particule que l'on appelle paquet d'onde revêt la forme càd que représente le développement de la fonction d'onde en intégrale de Fourier suivant les ondes monochromatique planes (comme dans ton exemple),.ici , est une fonction qui caractérise la répartition de l'amplitude de l'onde monochromatique suivant les implusions . ceci signifie que le paquet d'onde qui décrit dans le langage ondulatoire le mouvement de la particule réelle peut être représenté par une superposition d'un nombre infiniment grand d'ondes planes. selon la théorie des intégrales de Fourier la fonction d'onde peut s'expeimer par l'intermédiaire de , ainsi, les transformations de Fourier, directe et inverse, représentent des opérateurs intégraux qui permettent de passer de la donction d'onde donnée dans l'espace des coordonnés à la fonction d'onde donnée dans 'l'espace' des impulsions et vice versa .
la fonction d'onde ne représente pas une onde ordinaire qui peut se propager seulement dans l'espace de coordonnées ordinaires. ceci signifie que dans un espace multidimensionnel (espace des configurations) les ondes doivent être considérées seulement comme des ondes de probabilité. de plus, étant donné la liason directe entre es deux représentations de fonctions d'onde: en coodonnées et par impulsion, il n'est pas nécessaire en mécanique quantique de donner à la fois les valeurs de et de . pour une description complète de l'état d'une microparticule il suffit de donner la fonction d'onde dans l'une des représentations indiquées: ou .

[tomadela]

Bonjour,

Merci pour ta réponse. Il y a en effet un problème de direction du vecteur d'onde k.

Si on prend la relation de quantification de De Broglie, on a:
2Pi x r =n x Lambda avec lambda une longueur d'onde et n les niveaux d'énergie du modèle de Bohr.

Dans le cas du modèle de Bohr, avec le niveau d'énergie le plus stable, on a n=1, et r=a.
On trouve 2Pi x a = Lambda.

2Pi x a est donc égale à une longueur d'onde.

En toute logique, à partir de cette longueur d'onde 2Pi x a, on devrait pouvoir définir un vecteur d'onde k orienté suivant r, tel que:
2Pi/k = Lambda=2Pi x a

Cela donne:
k=1/a.

Je reconnais qu'il y a un problème dans ce raisonnement puisque ça marche pour la norme du vecteur d'onde k, mais pas pour sa direction. C'est là mon interrogation.

Si on poursuit ce raisonnement, on a même:
-Une vitesse de groupe de l'onde électron tangentielle (la vitesse de groupe de l'onde électron est assimilée à la vitesse du corpuscule électron),
-Une vitesse de phase de l'onde électron (définie à partir de k) orientée suivant r et donc normale à la vitesse du corpuscule électron.

J'ai déjà entendu parlé de vitesse de groupe perpendicualire à la vitesse de phase, mais jamais dans le cas de l'atome d'hydrogène ou d'ondes stationnaires.

Merci à tous si vous avez des éléments à ce sujet et si vous pouvez corriger mes erreurs de raisonnement.

Cordialement,

Toma

[azizovsky]

la fonction d'onde s'écrit en une dimension a la forme : où sont les coefficients du développement qui caractérisent la contribution apportée par des harmoniques distinques : est le nomdre d'onde.
le maximum principal de cette fonction pour se situe au point , ce qui signifie qu'en ce point a lieu l'intérférence positive de tous les harmonique . la localisation du paquet d'ondes se caractérise à tous instant par la position du maximum paincipal pour lequel on 'a ,

on en tire l'expression pour la vitesse de groupe de déplacement du PAQUET D'ONDES:

si la variation de l'énergie de la particule est liée à l'action d'uner force , alors .par suite



parce que le sens de la vitesse est le sens de variation de l'impulsion coincident. il s'ensuit que la vitesse de groupe du paquet d'ondes est égale à la vitesse de la particule .

[tomadela]

Bonjour,

Merci azizovsky pour ces explications.

Merci si tu peux détailler comment tu passes de


à ?

Cordialement,

Toma

[azizovsky]

Salut, désolé, il manque la variable de dérivation :

[azizovsky]

et aussi : .