P=UI une conséquence du monde microscopique ?

[invitebf1b28e3]

Bonjour,

pourriez-vous, s'il vous plaît, m'expliquer pourquoi, en courant continu (et stationnire) dans une résistance (une charge ?), on a P=UI car cela semble être un théorème mais je ne comprends pas.
J'aimerais comprendre à partir de ce qui se passe au niveau électronique jusqu'au niveau global de la résistance.
Hypothèses :
- à l'entrée de la résistance les électrons sont au potentiel V et à la sortie ils sont au potentiel V+delta(V)
- les électrons ont une vitesse constante dans la résistance
après il se passe des choses affreuses dans ma tête :
-> analogie pierre qui tombe, elle perd de l'énergie potentielle et gagne de l'énergie cinétique
--> je comprends pas car on suppose que les électrons ont une vitesse constante dans la résistance
ajout d'une hypothèse
- les électrons bousculent des particules du métal conducteur et une force proportionnelle à la vitesse leur est opposé
--> après calcul relatif à une équadiff et en se plaçant en régime stationnaire, les électrons ont une vitesse constante.

Définition :
- le courant est le nombre de charges traversant une surface coupe du conducteur
-> analogie les personnes de la sncf qui compte des voyageurs sur le quai à la sortie des trains.
-> analogie courant d'une rivière, c'est un volume d'eau traversant une surface donnée qui est sans doute plus pertinente pour utiliser le signe intégral ensuite.

Alors voilà avec tout ça je ne vois pas pourquoi le travail de la résistance pendant est .
En effet je me mélange dans les delta t relatifs à la vitesse des électrons et ceux relatifs aux électrons qui sont passés du potentiel A au potentiel B.

J'ai essayé d'être le plus clair possible, j'ai dû dire des conneries.
Merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter ou des références que vous pourrez m'indiquer qui pourraient m'éclairer.

S
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[LPFR]

Bonjour.
Regardons se qui se passe microscopiquement.
San mettre de la tension aux bornes du conducteur, tous les atomes et électrons libres du conducteur pressentent une agitation thermique. Les électrons libres sont animés d’une très grande vitesse au hasard (de l’ordre de km/s) et subissent des chocs avez les atomes du réseau qui vibrent autour de leurs positions moyenne. À chaque collision il y un échange d’énergie entre l’électron et l’atome (suivant la direction de leurs vitesses au moment du choc). En moyenne m’énergie échangée est nulle.

Maintenant, si vous appliquez une tension aux bornes du conducteur, il va apparaître un champ électrique le long de celui-ci.
La conséquence est que pendant son parcours entre deux collisions, l’électron va être accéléré (ou ralenti, suivant la direction de sa vitesse) par les forces dues au champ électrique. Sa vitesse moyenne va devenir non nulle et il va prendre une vitesse moyenne imposée par le champ électrique (vers le + du conducteur). Les électrons vont augmenter d’un chouia leur énergie cinétique et dans les chocs, ils vont transmettre cette augmentation d’énergie aux atomes du solide. Cette augmentation d’énergie (= d’agitation thermique) est une augmentation de température du solide (la température est la mesure de l’agitation thermique des atomes ou des électrons).
Tout cela peut se mettre en équations qui montrent que l’énergie communiquée aux électrons par le champ et aux atomes par les électrons, correspond à P = U.I. Mais cette formule regarde les choses d’un peu haut pour pouvoir comprendre directement comment cela se passe.

Il ne faut pas oublier que les chiffres ne sont pas intuitifs. Le temps entre deux collisions pour un électron est de l’ordre de la picoseconde et que l’énergie gagnée pendant ce temps, est plutôt ridicule par rapport à celle due à l’agitation thermique.

Pour retrouver votre formule U.I.Δt, revenez aux forces exercées par le champ sur les électrons : F = qE et E = ΔV/L
F.L = q. ΔV
Il ne vous reste qu’à relier le courant à la charge.
Au revoir.

[invitebf1b28e3]

Merci LPFR,

le lien serait , avec une grosse incompréhension sur le numérateur, q, lorsqu'on revient au macroscopique :
- un nombre d'électrons qui traverse une surface du conducteur (le même pour toutes les surfaces identiques en régime stationnaire), ou
- un volume de fluide électronique où chaque électron a une vitesse (à peu près) constante qui traverse une surface du conducteur
-> ce qui me semble formaliser la même chose (avec un outil mathématique plus sophistiqué, le calcul intégral)
- un nombre d'électrons qui traverse l'ensemble du conducteur
-> là c'est différent.
- autre chose ?

pendant la durée
Je crois que mon incompréhension résulte du fait que je ne sais pas ce que mesure (et d'une certaine façon calcule) un ampèremètre.
Pourriez vous, s'il vous plaît, m'indiquer ce qu'il en est.
Une analogie avec la sncf/le métro serait bienvenue car parlante pour moi.

S

[LPFR]

Re.
Pas besoin de grosses maths pour ça.
Prenez un conducteur de surface S et de longueur L. Avec une densité D d’électrons libres de charge ‘q’ et de vitesse moyenne ‘v’.
Le nombre total d’électrons dans ce morceau de conducteur est N = D.S.L.
Tous ces électrons auront traversé la section du conducteur quand le plus éloigné l’aura fait, c'est-à-dire dans un temps t = L/v
Donc, le nombre d’électrons qui traverse la surface par seconde est :
N/t = D.S.L / (L/v) = D.S.v
Et le courant (la charge qui traverse la surface par seconde) est ça, multiplié par la charge d’un électron :
I = q.D.S.v

Et c’est ça ce qu’un ampèremètre mesure. Dans les anciens appareils analogiques, c’était mesuré en mesurant les forces exercées sur ces électrons en mouvement par un champ magnétique. Actuellement, on mesure la chute de tension que ce courant produit sur une petite résistance.

L’analogie avec le métro ne me plait pas. Je préfère l’analogie avec le volume d’eau (le débit) transportée par un fleuve. Ou, si vous voulez que ce soit avec des électrons et non continu, alors je préfère l’analogie avec le nombre de voitures à l’heure qui circulent dans une voie.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dynamix]

Salut
I = q/Δt
est une horreur mathématique
Les deltas vont par paire :
I = Δq/Δt
Ou dq/dt

[LPFR]

Salut
I = q/Δt
est une horreur mathématique
Les deltas vont par paire :
I = Δq/Δt
Ou dq/dt

Bonjour Dynamix.
Non. Pas nécessairement. Un delta n’est pas une différentielle. C’est une variation finie qui peut être grande ou petite.
Au revoir.

[invitebf1b28e3]

Je vous remercie LPFR,

je n'ai pas encore perçu l'éclair de compréhension, mais j'estime que vous vous êtes donné assez de mal pour que je comprenne. Charge à moi de réfléchir à vos dires.

S

[PA5CAL]

Bonjour

L'intensité I (en ampères, A), c'est la charge électrique q (en coulombs, C) passant durant un intervalle de temps ∆t (en secondes, s).

I = q / ∆t

Une charge de 1 C correspond à une mole (N=6,02214040×10²³) de charges électriques élémentaires (e=1,602176565×10^-19 C).

On peut faire une analogie avec le métro. Entre deux stations :
- q est le nombre total de voyageurs dont le trajet passe entre ces deux stations durant la plage horaire considérée (par exemple, si l'on a 700 voyageurs par rame et une rame pleine toutes les 2 minutes, alors q = 21000 voyageurs)
- ∆t est la durée de la plage horaire considérée (par exemple, entre 17h30 et 18h30 on a ∆t = 3600 secondes)
- I est le flux de voyageurs transportés (soit I = 21000/3600 = 5,833 voyageurs par seconde)

[EDIT: j'arrive un peu tard]

[Dynamix]

Bonjour Dynamix.
Non. Pas nécessairement. Un delta n’est pas une différentielle. C’est une variation finie qui peut être grande ou petite.

le terme "q" est aussi "une variation finie qui peut être grande ou petite" et doit donc être écrit sous la forme "Δq"
I est le rapport entre deux variations .

[PA5CAL]

le terme "q" est aussi "une variation finie qui peut être grande ou petite" et doit donc être écrit sous la forme "Δq"

Tout dépend de quoi on parle.

Si l'on considère la décharge d'un condensateur, alors il s'agit bien d'une variation des charges stockées.

En revanche, si le courant est généré par un panneau solaire, il n'y a aucune variation de charge électique, mais on peut compter les charges élémentaires qui se déplacent continuellement dans le circuit. Et là il n'y a pas de raison de noter ∆q.

[Dynamix]

En revanche, si le courant est généré par un panneau solaire, il n'y a aucune variation de charge électique

"aucune variation de charge électique" , ça s' écrit : dq/dt = 0
Il s' ensuit I = 0

[PA5CAL]

"aucune variation de charge électique" , ça s' écrit : dq/dt = 0
Il s' ensuit I = 0

Non. Il ne faut pas confondre la quantité infinitésimale dq, et la variation ∆q=q(t₂)-q(t₁). Cela n'a pas toujours la même signification.

Dans l'exemple que j'ai cité, la charge aux bornes du panneau solaire ne varie pas, et pourtant celui-ci produit du courant. Ce qu'on doit prendre en compte, ce n'est pas une variation ∆q de charge électrique entre l'instant t₁ et l'instant t₂ à l'une de ses bornes, mais une certaine quantité q de charge électrique qui voyage dans le circuit et qu'on voit passer à un endroit donné entre l'instant t₁ et l'instant t₂.

[invitebf1b28e3]

Merci Dynamix et PA5CAL pour vos commentaires, mais, s'il vous plaît, ne me troublez pas plus que je ne le suis.
Mon problème ne relève pas de syntaxe mathématique mais de compréhension de physique et aussi (surtout) de langage.

Dites moi ce qui cloche, (au delà du fait que c'est idéel et que les unités et signes volent un peu dans les coins) dans ce qui suit :
- disons qu'un électron mette deux secondes pour passer de la borne A(entrée) à la borne B(sortie) de la résistance. On a VA-VB=U,
- disons que le potentiel soit affine entre les bornes A et B,
- disons que le débit est d'un million d'électrons par seconde = I
Lorsque je me place en B, pour chaque seconde qui s'écoule,
-> je compte un million d'électrons
-> ces électrons ont transféré de l'énergie à la résistance, chacun pour e.(VA-VB). En effet les électrons ont une vitesse constante dans la résistance, donc ce qui aurait dû être gagné en énergie cinétique est transmis au conducteur.
-> 1Me.(VA-VB).1s Joules
ok ?
Mais pendant cette même seconde, en C, milieu de [AB]
-> un million d'électrons ont fourni la moitié du travail de ceux qui sont sortis en B.
-> soit 1Me.(VA-VB)/2=I.U/2 Joules
Bilan, pendant cette seconde au moins UI+UI/2 Joules ont été transférés à la résistance, et non pas UI.
ko !

M'indiquer mon erreur me fera certainement comprendre, merci à vous pour votre attention.

S

[invitebf1b28e3]

[auto-réponse] Je viens de comprendre !!!
si je compte l'énergie transférée en C, pour moitié, ces électrons quand ils arriveront en B, il faudra pas dire qu'ils on transféré UI.1 Joules, mais UI.1/2

Morale de l'histoire, c'est un peu abusif de dire énergie reçue égal U.I.delta t, du moins il faut prendre garde aux mots.
Analogie chaîne de production de bouteilles de soda :
-> le chef demande, alors combien de bouteilles à l'heure ?
--> 1000
1000 = C'est ce qui a été effectivement produit dans l'heure, en bout de chaîne, on passe sous silence les bouteilles en cours de production, même presque finies (celles où il manque l'étiquette aqua-cola).

J'ai bon ?

S

[PA5CAL]

Ce n'est pas comme cela qu'on peut compter.

Si les électrons mettent 2 secondes pour traverser la résistance et si l'on considère une période de 1 seconde, alors il faut considérer trois groupes distincts d'électrons :
1) ceux qui entrent dans la résistance au point A durant la période considérée, et n'ont pas le temps de dépasser le point C avant la fin
2) ceux qui se trouvent entre les points A et C au début de la période, et n'ont pas le temps de ne sortir de la résistance au point B avant la fin
3) ceux qui se trouvent entre les points C et B au début de la période, et sortent de la résistance au point B avant la fin

Chacun de ces groupes compte 1 million d'électrons.

Je note T=1s la durée de la période. La résistance a une longueur AB.

Chaque électron du groupe 2 parcourt une distance égale à AB/2 durant la période T considérée, et voit par conséquent une différence de potentiel égale à U/2. L'ensemble des électrons du groupe 2 cède donc à la résistance une énergie E2=T·U·I/2.

Les électrons des groupes 1 et 3 parcourent des distances variables dans la résistance (allant de 0 à AB/2) durant la période T considérée. La distance parcourue est fonction de l'instant où ils entrent ou sortent de la résistance.

Un électron du groupe 1 entrant en A à l'instant t parcourra une distance (AB/2)·(T–t)/T dans la résistance avant la fin de la période, et verra une différence de potentiel égale à VA–V1(t)=(U/2)·(1–t/T) . Le flux d'électrons étant constant, la somme (pour t allant de 0 et T) des énergies cédées par le million d'électrons du groupe 1 à la résistance donne donc un total de E1=T·U·I/4.

Un électron du groupe 3 sortant en B à l'instant t aura parcouru une distance (AB/2).t/T dans la résistance depuis le début de la période, et aura vu une différence de potentiel égale à V3(t)–VB=(U/2)·t/T. Le flux d'électrons étant constant, la somme (pour t allant de 0 et T) des énergies cédées par le million d'électrons du groupe 3 à la résistance donne donc un total de E3=T·U·I/4.

En tout, l'énergie cédée par les trois groupes d'électrons est E1+E2+E3 = T·U·I , et correspond à une puissance P = U·I .

[invitebf1b28e3]

PA5CAL, merci !

J'ai compris votre raisonnement (pour les calculs j'ai plutôt transposé en calculs probabilistes, mais ça revient au même),
+ j'ai trouvé des erreurs dans le mien
et au final, mon analogie ne tient plus, et :
-> est bien l'énergie fournie par tous les électrons ayant fourni un travail dans la résistance pendant l'intervalle de temps .

Encore merci à vous, sans oublier LPFR et Dynamix.

S

[invitecaafce96]

Bonjour

L'intensité I (en ampères, A), c'est la charge électrique q (en coulombs, C) passant durant un intervalle de temps ∆t (en secondes, s).

I = q / ∆t

Une charge de 1 C correspond à une mole (N=6,02214040×10²³) de charges électriques élémentaires (e=1,302176565×10^-19 C).

Bonjour,
Je me permets de corriger une légère erreur : la charge de 1 C n'a rien à voir avec une mole ( et c'est bien dommage, car il aurait été facile de s'en rappeler ...) ,
c'est la charge équivalente à 6.241... . 10¹⁸ électrons .
https://fr.wikipedia.org/wiki/Coulomb

[PA5CAL]

Je me permets de corriger une légère erreur : la charge de 1 C n'a rien à voir avec une mole ( et c'est bien dommage, car il aurait été facile de s'en rappeler ...) ,
c'est la charge équivalente à 6.241... . 10¹⁸ électrons .

C'est tout-à-fait exact. Une mole, c'est environ une centaine de milliers de C.

Au temps pour moi. J'ai été interrompu alors que je vérifiais le nombre (plus trop sûr du nombre de zéros, vu qu'on utilise plutôt le µC ou le mC comme unité), et puis j'ai oublié, et le message est finalement parti en l'état...

[obi76]

Pourtant j'ai toujours cru que c'était une mole... je m'en souviendrai, merci pour la précision

[PA5CAL]

Pourtant j'ai toujours cru que c'était une mole...

Certainement à cause d'une ancienne unité de mesure : 1 faraday = charge électrique d'une mole d'électrons. C'était la correspondance que je cherchais quand j'ai été interrompu.