Impédances et décomposition en série de Fourier.

[Scien900]

Bonjour,

je cherche à connaître le comportement d'une impédance (linéaire) en présence d'une tension alternative mais non-sinusoïdale. Cette dernière peut donc être décomposée en une série de Fourier.

Pour illustrer le sujet,
soit un circuit électrique simple constitué de deux composants en série :
- une résistance pure R de 1 Ohm ;
- une impédance (linéaire) Z de valeur inconnue et que l'on veut connaître.
Ces deux composants en série sont aux bornes d'une tension u(t). Dans ces deux composants circule un courant i(t).

u(t) est une tension alternative composée d'une fréquence fondamentale et de deux harmoniques (sans composante continue) :
u(t) = U1.sin wt + U2.sin 2wt + U3.sin 3wt (série de Fourier).
Uefficace est la valeur efficace de u(t), elle prend en compte la fondamentale mais aussi les harmoniques.

i(t) est l'intensité alternative due à u(t) et R et Z. Elle est composée d'une fréquence fondamentale et de deux harmoniques (sans composante continue) et des déphasages respectifs avec la tension :
i(t) = I1.sin(wt+fi1) + I2.sin(2wt+fi2) + I3.sin(3wt+fi3) (série de Fourier).
Iefficace est la valeur efficace de i(t), elle prend en compte la fondamentale mais aussi les harmoniques.
( i(t) peut être mesuré aux bornes de R. )

Pourriez-vous s'il vous plaît me guider pour calculer l'impédance Z ?

Ce n'est pas simple car la définition de l'impédance est "l'opposition au passage d'un courant alternatif SINUSOÏDAL".
Mais qu'est-ce qu'une impédance en présence de PLUSIEURS sinusoïdes ? D'ailleurs est-ce que ça a un sens ?

Je sais que Z N'est PAS u(t) / i(t), une impédance "instantanée" ça n'a pas de sens.
Est-ce que Z = U1 / I1 ? J'ai l'impression que c'est incomplet voire faux de ne considérer que les fondamentales ...
Est-ce que Z = Uefficace / Iefficace ? C'est complet mais j'ai l'impression que ça ne colle plus à la définition ...
Ensuite je me dis aussi qu'il faut peut-être envisager une approche puissance ou énergie pour en déduire Z mais je ne sais pas comment attaquer ...
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[calculair]

bonjour,

Dans mes cours, je n'ai pas de definition d'une impedance avec une tension et un courant non sinusoidal.

Si on se donnne dans ce cadre une defintion de l'impedance comme Z = U eff / I eff, alors il faut calculer ces 2 quantités et en faire le rapport.

Apres tout dépend de l'utilisation de ces données, il faut que cela soit utile pour calculer une dissipation thermique par exemple...

Pourquoi cette question ?

[Scien900]

Merci Calculair,

le but est de caractériser un réseau électrique :

u(t) serait la tension que je mesure entre phase et neutre aux bornes d'un disjoncteur par exemple, et à vide (c'est-à-dire qu'aucune charge n'est présente aux bornes de ce disjoncteur), et u(t) serait déformée,
Z représenterait l'impédance, supposée linéaire, de tous les conducteurs (câbles de phase, câbles de neutre, impédance de la source de tension, etc.), et
R serait une résistance de 1 Ohm qui donnerait lecture directe de l'intensité i(t) du courant par mesure de la tension à ses bornes.

En cherchant, j'ai été étonné que l'impédance ne corresponde qu'à un régime sinusoïdal, extrait de wikipedia : "L'impédance électrique mesure l'opposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal." https://fr.wikipedia.org/wiki/Imp%C3...ricit%C3%A9%29 . Et la version anglaise dit la même chose.

Dit autrement, le module de l'impédance d'une bobine est Lw en régime sinusoïdal, soit 314 Ohm à 50 Hz et avec L = 1 Henry. Mais quelle est-elle en présence de 2 harmoniques ? Est-ce que ça correpond à montage série de 3 bobines ? : Lw + L.2w + L.3w = 1885 Ohm ? Un montage en parallèle ?

Dans la pratique et à 50 Hz et ses harmoniques, peut-être que Uefficace / Iefficace ~ U1 / I1 = Z ...

[LPFR]

Bonjour.
L’impédance n’est définie que pour des tensions et des courants sinusoïdaux.
Mais pour des circuits linéaires (comme ceux de vos exemple), on peut décomposer la source en sinusoïdes pures, calculer le montage pour chaque fréquence et additionner les résultats intelligemment.
C'est-à-dire qu’à partir des résultats (courant complexe, par exemple), il faut revenir au grandeurs réelles (sinusoïdes avec leur amplitude et avec déphasage éventuel) et faire l’addition de ces sinusoïdes.

Vous ne pouvez pas additionner des impédances pour des fréquences différentes. Ça n’a pas de sens.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,
L'impédance est donnée pour une pulsation particulière.

Exemple pour un circuit série R-L

Z_n=R+j.L.w.n, avec n le rang de l'harmonique.

On peut superposer (faire la somme) des courants résultants des tensions mises aux bornes de cette unique impédance Z_n. Il n'y a qu'une bobine L dans ce modèle. (et une seule impédance Zn qui dépend de la pulsation ou du rang de l'harmonique)

Je n'ai jamais rencontré d'autre définition. (mais pourquoi pas si cela peut être utile)

Cordialement.

[stefjm]

C'est-à-dire qu’à partir des résultats (courant complexe, par exemple), il faut revenir au grandeurs réelles (sinusoïdes avec leur amplitude et avec déphasage éventuel) et faire l’addition de ces sinusoïdes.

Si on préfère additionner des complexes, je ne vois pas de raison de se priver : cela marche pareil.
Pour les puissances, un chti conjugué et cela roule.

Vous ne pouvez pas additionner des impédances pour des fréquences différentes. Ça n’a pas de sens.

Je ne vois pas de sens immédiat, mais rien n'interdit d'en chercher un.
On pourrait par exemple poser que l'impédance est le rapport de la somme des tensions et de la somme des courants complexes.
Pas sûr que cela ait un intérêt mais pas sûr non plus que cela n'en ait pas.

[calculair]

Merci Calculair,

le but est de caractériser un réseau électrique :

u(t) serait la tension que je mesure entre phase et neutre aux bornes d'un disjoncteur par exemple, et à vide (c'est-à-dire qu'aucune charge n'est présente aux bornes de ce disjoncteur), et u(t) serait déformée,
Z représenterait l'impédance, supposée linéaire, de tous les conducteurs (câbles de phase, câbles de neutre, impédance de la source de tension, etc.), et
R serait une résistance de 1 Ohm qui donnerait lecture directe de l'intensité i(t) du courant par mesure de la tension à ses bornes.

En cherchant, j'ai été étonné que l'impédance ne corresponde qu'à un régime sinusoïdal, extrait de wikipedia : "L'impédance électrique mesure l'opposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal." https://fr.wikipedia.org/wiki/Imp%C3...ricit%C3%A9%29 . Et la version anglaise dit la même chose.

Dit autrement, le module de l'impédance d'une bobine est Lw en régime sinusoïdal, soit 314 Ohm à 50 Hz et avec L = 1 Henry. Mais quelle est-elle en présence de 2 harmoniques ? Est-ce que ça correpond à montage série de 3 bobines ? : Lw + L.2w + L.3w = 1885 Ohm ? Un montage en parallèle ?

Dans la pratique et à 50 Hz et ses harmoniques, peut-être que Uefficace / Iefficace ~ U1 / I1 = Z ...

Bonjour,

Dans le cas d'une installation industrielle, la source de tension a géneralement une impedance faible. La tension reste donc sinusoidal.

Les non linearités des récepteurs ( alimentation à decoupage notamment ) perturbent le courant qui lui n'est plus sinusoidal et riche en harmonique.

Dans le cas de courants tri phasés, même apparemment equilibrés à l'ampèremètre, un courant de neutre important peut exister ( courant pouvant être supérieur a chaque courant de phase ) ce courant traduit la présence de courants de déséquilibres liées aux différents harmoniques crees.

[Scien900]

C'est-à-dire qu’à partir des résultats (courant complexe, par exemple), il faut revenir au grandeurs réelles (sinusoïdes avec leur amplitude et avec déphasage éventuel) et faire l’addition de ces sinusoïdes.

Merci. Je complète en votre réponse en rappelant que les diagrammes de Fresnel ne sont valables que pour une seule fréquence de sinusoïde donc impossible de s'en servir. Idem pour la modèlisation en nombres complexes je pense.

[Scien900]

Bonjour,
L'impédance est donnée pour une pulsation particulière.

Exemple pour un circuit série R-L

Z_n=R+j.L.w.n, avec n le rang de l'harmonique.

On peut superposer (faire la somme) des courants résultants des tensions mises aux bornes de cette unique impédance Z_n. Il n'y a qu'une bobine L dans ce modèle. (et une seule impédance Zn qui dépend de la pulsation ou du rang de l'harmonique)

Mais pour des circuits linéaires (comme ceux de vos exemple), on peut décomposer la source en sinusoïdes pures, calculer le montage pour chaque fréquence et additionner les résultats intelligemment.
C'est-à-dire qu’à partir des résultats (courant complexe, par exemple), il faut revenir au grandeurs réelles (sinusoïdes avec leur amplitude et avec déphasage éventuel) et faire l’addition de ces sinusoïdes.

Désolé, je vois bien ce que vous voulez dire mais je n'arrive pas à mettre en pratique, à poser les équations.
En effet, diagramme de Fresnel c'est impossible, complexes je pense que c'est impossible aussi, et si je me sers des grandeurs réelles alors je me retrouve avec des tensions instantanées et des intensités instantanées (séries de Fourier) qui ne me donnent pas accès à l'impédance ...

[Scien900]

On pourrait par exemple poser que l'impédance est le rapport de la somme des tensions et de la somme des courants complexes.

Somme des tensions complexes / somme des intensités complexes ?

Dans mon exemple de départ, le module de ce rapport serait alors (U1, U2, U3, I1, I2, et I3 sont des valeurs crêtes et non pas des valeurs efficaces) :

SQR( U1²/2 + U2² / 2 + U3² / 2 )
----------------------------------- = Z
SQR( I1²/2 + I2² / 2 + I3² / 2 )


Comme Uefficace = SQR( U1²/2 + U2² / 2 + U3² / 2 ) et Iefficace = SQR( I1²/2 + I2² / 2 + I3² / 2 ) alors Z = Uefficace / Iefficace.
C'est une des voies que j'imaginais au départ mais à laquelle je n'ai pas complètement adhéré car, d'après la définition, une impédance existe en régime sinusoïdal.

L'avantage de cette voie est qu'elle permet la mesure : si je mesure U efficace (vrai) et I efficace (vrai) alors je calcule Z.

[Scien900]

Dans le cas d'une installation industrielle, la source de tension a géneralement une impedance faible. La tension reste donc sinusoidal.

Les non linearités des récepteurs ( alimentation à decoupage notamment ) perturbent le courant qui lui n'est plus sinusoidal et riche en harmonique.

Merci. Vous abordez là le cas pratique. Restons au monophasé pour simplifier (ou ne pas compliquer ).

Mais dans ce cas la source, c'est la centrale électrique non ? Car si je mesure la tension entre phase et neutre à la sortie d'un poste de transformation, n'est-elle pas déjà déformée ?
Je suis bien d'accord que ce n'est pas (tellement) la source qui engendre les déformations (à l'exception de cas particuliers comme les alternateurs des groupes électrogènes non ?) mais comme elle alimente des milliers de récepteurs (ou charges), pas toutes linéaires, si je mesure la tension aux bornes de la source alors je verrai qu'elle est déformée car des harmoniques (créées par les charges non-linéaires) de tensions viennent s'ajouter à la fondamentale créée par la source.

Est-ce que ce que je dis est juste ?

[calculair]

Bonjour,

Mais comment utiliser cette définition

Puissance = Z1 I1^2 + Z2 I2^2 + Z3 I3^2

Puissance = u1 I1 + U2 I2 + U3 I3


Comme les Z1,Z2,Z3 sont different, avec la definition proposée, on ne peut faire de bilan de puissance....


C'est dommage...

[stefjm]

Désolé, je vois bien ce que vous voulez dire mais je n'arrive pas à mettre en pratique, à poser les équations.
En effet, diagramme de Fresnel c'est impossible, complexes je pense que c'est impossible aussi, et si je me sers des grandeurs réelles alors je me retrouve avec des tensions instantanées et des intensités instantanées (séries de Fourier) qui ne me donnent pas accès à l'impédance ...

On peut poser en complexe instantané U(t)complexe=Ueff1.e^(j.w.t)+U eff3.e^(3.j.w.t)+...
Idem pour I avec déphasage en plus.

Après, il faut voir ce que vous voulez faire.

[phuphus]

Bonjour,

Scien900, il faut juste te dire que ton impédance Z est dépendante de la fréquence : tu as une Z(f), et elle est complexe (au sens mathématique du terme). Donc comme l'a dit LPFR, tu calcules la valeur complexe Z(f) pour chacune des fréquences données.

Ensuite, la question est : qu'est-ce que tu veux en faire ? Si les fréquences données couvrent toute la bande passante utile, tu prends ton résultat et tu interpoles. Une autre manière de faire est de modéliser ton impédance par un circuit équivalent (soit tu connais le réseau, et tu le modélises en partant de la réalité, soit tu ne le connais pas et tu fais des hypothèses) ; une fois que tu as calculé tes résultats, tu peux identifier les éléments de ton circuit équivalent. Tu as 3 fréquences, cela autorise déjà une modélisation correcte.

Exemple : l'impédance électrique des haut-parleurs dépend de la fréquence et est complexe. Un modèle simple et qui fonctionne pas mal sur la bande utile de HPs couvrant environ une décade est le modèle LR-2 : on assimile le comportement électrique du haut-parleur à l'association série d'une inductance pure et d'un bloc L-R en parallèle. L'inductance pure représente l'inductance de la bobine du HP à l'air libre, et l'association parallèle L-R représente l'influence des pièces polaires (les pièces du moteur magnétique du HP) sur la bobine (l'inductance d'une bobine change si on met un noyau ferreux...) et les pertes par effet Joule des courants de Foucault dans ces mêmes pièces polaires.

[Scien900]

Bonsoir Calculair, Stefjm, Phuphus.

Merci pour vos réponses. J'y ai réfléchi tout en continuant à chercher de mon côté.

Puissance = Z1 I1^2 + Z2 I2^2 + Z3 I3^2
Puissance = u1 I1 + U2 I2 + U3 I3
Comme les Z1,Z2,Z3 sont different, avec la definition proposée, on ne peut faire de bilan de puissance....
C'est dommage...

Oui c'est bien dommage ...
J'ai essayé l'approche "puissance".
En supposant que ce soit juste, je suis parti de S = Z . Iefficace² . S est la puissante apparente et elle intègre la puissance déformante (en plus de la puissance active et de la puissance réactive) puisque Iefficace intègre la fondamentale mais aussi les harmoniques.
S = Uefficace . Iefficace . Donc Z = Uefficace / Iefficace . Or je me retrouve avec le doute qui m'a amené à lancer ce fil de discussion : une impédance, d'après sa définition, n'existe qu'à une fréquence donnée donc qu'est-ce qu'une impédance en présence de plusieurs sinusoïdes ? Donc ma supposition juste ci-dessus n'est pas juste ...

On peut poser en complexe instantané U(t)complexe=Ueff1.e^(j.w.t)+U eff3.e^(3.j.w.t)+...
Idem pour I avec déphasage en plus.

Je n'ai pas essayé en nombres complexes car je ne vois pas comment gérer ... (mes années d'université où j'ai appris sont loin désormais ).
Mais j'ai essayé de calculer S avec les équations en sinus. Je me suis retrouvé avec 9 sommes de cosinus ... Et il me restait encore à faire la moyenne de tout ça ... J'ai donc arrêté. Car j'ai oublié comment faire tout ça depuis le temps ...

Bonjour,

Scien900, il faut juste te dire que ton impédance Z est dépendante de la fréquence : tu as une Z(f), et elle est complexe (au sens mathématique du terme). Donc comme l'a dit LPFR, tu calcules la valeur complexe Z(f) pour chacune des fréquences données.

Ensuite, la question est : qu'est-ce que tu veux en faire ? Si les fréquences données couvrent toute la bande passante utile, tu prends ton résultat et tu interpoles. Une autre manière de faire est de modéliser ton impédance par un circuit équivalent (soit tu connais le réseau, et tu le modélises en partant de la réalité, soit tu ne le connais pas et tu fais des hypothèses) ; une fois que tu as calculé tes résultats, tu peux identifier les éléments de ton circuit équivalent. Tu as 3 fréquences, cela autorise déjà une modélisation correcte.

Exemple : l'impédance électrique des haut-parleurs dépend de la fréquence et est complexe. Un modèle simple et qui fonctionne pas mal sur la bande utile de HPs couvrant environ une décade est le modèle LR-2 : on assimile le comportement électrique du haut-parleur à l'association série d'une inductance pure et d'un bloc L-R en parallèle. L'inductance pure représente l'inductance de la bobine du HP à l'air libre, et l'association parallèle L-R représente l'influence des pièces polaires (les pièces du moteur magnétique du HP) sur la bobine (l'inductance d'une bobine change si on met un noyau ferreux...) et les pertes par effet Joule des courants de Foucault dans ces mêmes pièces polaires.

L'impédance qui m'intéresse est une sorte de "boîte noire". Et il m'est impossible de la modéliser.

Nous avons tous la même conclusion (c'est rassurant ) : il y a une impédance par fréquence, une impédance n'existe que pour une fréquence. Et ça correspond à la définition de l'impédance. Mais une fois que je sais ça comment est-ce que je rassemble ces impédances ? Dois-je les considérer en série ? En parallèle ? Les modéliser n'est pas simple.



Si j'arrête les calculs et que j'aborde les mesures.
J'ai regardé le mesureur d'impédance Chauvin Arnoux 6117. Il affiche le module de l'impédance, la valeur résistive et la valeur réactive et même la valeur de l'inductance ! Impossible de vérifier si ce qu'il affiche est juste ... Mais comment procède-t-il ?

De plus en plus je me dis que Uefficace / Iefficace ne représente pas l'impédance Z, même avec Uefficace et Iefficace intégrant leurs harmoniques respectives ...

[phuphus]

Bonjour,

ni addition, ni multiplication, ni quelqu'autre combinaison : juste une courbe impédance = f(fréquence). Voir par exemple (2ème courbe en bas) :
http://www.bcspeakers.com/products/lf-driver/5-0/5fg44

Donc à partir de là, tu peux déduire le courant depuis la tension via un spectre, pas d'autre choix. En clair U(f) = Z(f) * I(f). (multiplication fréquence par fréquence)

Si tu veux passer en temporel, il faut :
- déduire une réponse impulsionnelle de tes trois points de mesure : irréaliste
- modéliser

Si tu veux faire du U = Z * I (donc valeurs rms), il faut comparer le spectre de tes signaux avec l'allure de l'impédance, et voir si tu peux accepter cette simplification (variation faible de l'impédance dans la zone de fréquences considérées). C'est ce qui est fait avec le calcul de la puissance nominale des haut-parleurs, en précisant bien qu'on l'utilise au dessus de sa fréquence de résonance et en dessous de la zone où la remontée d'impédance due à l'inductance de la bobine est trop forte.

Pour l'interprétation des composantes capacitives et inductives d'une impédance par un impédancemètre ou un pont RLC, il y a des hypothèses sous-jacentes (résistance série ou paralèlle, par exemple). Ils peuvent aussi procéder par mesure du déphasage.