Fonction de Wigner

[Misterdream]

Bonjour,

J'ai un problème pour calculer la fonction de Wigner du premier état excité de l'oscillateur harmonique.

Je rappelle les fonctions d'onde (adimensionnées) des deux premiers niveaux de l'oscillateur harmonique :




J'ai réussi à calculer la fonction de Wigner pour l'état fondamental en utilisant la valeur de l'intégrale de Gauss (on trouve ) mais pour la fonction de Wigner du premier état excité je me heurte à une difficulté.

Voici donc mon calcul : (les intégrales vont de - l'infini à + l'infini)




En développant on obtient donc :



Or, je sais calculer la première grâce à la valeur connue de l'intégrale de Gauss. Il me reste donc :




D'où ma question : comment calculer cette seconde intégrale ? Le problème c'est que même Maple ou Wolfram Alpha ne me donnent pas de résultat. Je me demande donc si je n'ai pas fait une erreur de fond dans ce qui précède ?

Merci d'avance et bon weekend !
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[Misterdream]

Je me permets de double-poster car je viens de remarquer qu'on ne peut pas voir mes équations en TEX (en tout cas chez moi). Cela est-il passager ? Faut-il que je fasse quelque chose ?

Merci

(je précise que je ne peux pas éditer mon message, pourquoi d'ailleurs ? )

[lucas.gautheron]

Il y a des erreurs dans votre code latex (au moins dans la première équation) et cela ne doit pas aider (c'est vrai que l'interpréteur latex utilisé par le forum est assez limite et parfois échoue mais avec un code correct)

Vous ne pouvez pas éditer votre post parce qu'il y a une limite d'édition de 5 minutes. Je n'en vois vraiment pas l'intérêt étant donné qu'on ne voit quasiment jamais de discussions où des messages sont régulièrement postés dans un intervalle de moins de 5 minutes. Mais bon, je n'ai rien vu changer sur ces forums depuis que je suis inscrit (ah si, l'hébergeur, maintenant on ne se tape plus des "database error" toutes les 10 pages )

[Misterdream]

Bonsoir,

Je repose donc (j'ai ajouté des espaces) :

J'ai un problème pour calculer la fonction de Wigner du premier état excité de l'oscillateur harmonique.

Je rappelle les fonctions d'onde (adimensionnées) des deux premiers niveaux de l'oscillateur harmonique :




J'ai réussi à calculer la fonction de Wigner pour l'état fondamental en utilisant la valeur de l'intégrale de Gauss (on trouve ) mais pour la fonction de Wigner du premier état excité je me heurte à une difficulté.

Voici donc mon calcul : (les intégrales vont de - l'infini à + l'infini)




En développant on obtient donc :



Or, je sais calculer la première grâce à la valeur connue de l'intégrale de Gauss. Il me reste donc :




D'où ma question : comment calculer cette seconde intégrale ? Le problème c'est que même Maple ou Wolfram Alpha ne me donnent pas de résultat. Je me demande donc si je n'ai pas fait une erreur de fond dans ce qui précède ?

Merci d'avance et bon weekend !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Murmure-du-vent]

F etant la transformation de Fourier et (n) la derivee nieme, j'ai trouvé dans un livre la formule:




Pour toi n = 0 m=2

Vérifie les notations si je ne me suis pas trompé.

[Misterdream]

Merci pour votre aide.

Cependant, je ne vois toujours pas comment m'en sortir étant donné que la TF fait apparaître une nouvelle inconnue (la pulsation ).

[coussin]

Si votre première intégrale est une somme de exp(-x2) la deuxième est une somme de x2*exp(-x2) qui est egalement analytique je pense. Il me semble que toutes les sommes de x^n*exp(-x2) sont analytiques car on "retombe sur ses pieds" après deux intégrations par parties... Ou alors vous pouvez utiliser la méthode décrite avant avec les transformées de Fourier, c'est un peu la même chose que les IPPs.

[Murmure-du-vent]

Non dans ton integrale (qui est une TF) ce qui joue le role de omega c'est p. Tu te retrouves a la fin avec une fonction de x et p.

[Misterdream]

Mais ici il y a en plus l'exponentielle complexe en facteur, qui dépend aussi de [TEX] u [\TEX] . Ou alors je suis vraiment rouillé ?

Pour plus de clarté, voilà l'intégrale que je cherche à calculer (ou alors si cette intégrale ne se calcule pas, voir si il y a une erreur dans mon raisonnement):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28u^2*exp%28-u^2%2F4%29*exp%28i*u*p%29%29+f rom+-infinity+to+infinity

Merci à vous.

[Misterdream]

Non dans ton integrale (qui est une TF) ce qui joue le role de omega c'est p. Tu te retrouves a la fin avec une fonction de x et p.

Désolé, je me suis embrouillé tout seul. Je n'arrive toujours pas au bon résultat mais je vais reprendre mon calcul en entier, calmement.

Merci à vous et si je n'y arrive vraiment pas, je reposterai.

[coussin]

Mais ici il y a en plus l'exponentielle complexe en facteur, qui dépend aussi de [TEX] u [\TEX] . Ou alors je suis vraiment rouillé ?

Pour plus de clarté, voilà l'intégrale que je cherche à calculer (ou alors si cette intégrale ne se calcule pas, voir si il y a une erreur dans mon raisonnement):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28u^2*exp%28-u^2%2F4%29*exp%28i*u*p%29%29+f rom+-infinity+to+infinity

Merci à vous.

Oui et donc ? Parce que Wolfram Alpha vous donne une solution là... Qu'il ne vous reste plus qu'à évaluer en +- infini, non ?

[Misterdream]

C'est marrant, ça donne en effet une expression, mais apparemment ce n'est pas facile d'évaluer en l'infini (je dis ça comme ça, je n'ai pas le temps de vraiment regarder) et donc quand on rajoute les bornes (fais un copier-coller de mon lien entier ) plus aucune réponse.

[Murmure-du-vent]

TF_p etant la transformée de fourier ton integrale est bien une fonction de x et de p

Je t'ai donné la formule à vérifier:

\psi est ici ta gaussienne. Donc à la constante multiplicative pres ton integrale est e^-x^2 fois la derivee seconde de la TF de ta gaussienne.
Pour la formule cherche a derivation transformee de fourier

[Misterdream]

Re,

Oui comme j'ai dit dans mon message précédent j'ai bien calculé l'intégrale grâce à ta formule (que j'ai démontré). Cependant ça ne me donne pas le résultat attendu mais il faut que je reprenne ça pour être sûr et si le problème persiste je posterai en détail ici.

Merci encore.

[Murmure-du-vent]

Est ce que c'est négatif en (0,0) et symetrique par rapport à ce centre?

[Misterdream]

Bonsoir,

Après avoir refait le calcul je ne trouve toujours pas le bon résultat, je détaille donc mon calcul :


En utilisant votre formule :

avec






D'où finalement :



Et donc on revient à l'expression de :



Soit pour en revenir à ma fonction de Wigner :



Or je dois trouver :

[Murmure-du-vent]

dans la formule on a une dérivée seconde pas une puissance 2

[Misterdream]

Voilà ce qui arrive quand on écrit n'importe comment et qu'on calcule dans réfléchir.

Merci encore !