De Dirac à Klein-Gordon

[inviteb9b40e99]

Bonjour/Bonsoir,

Si j'ai bien compris, et suivant la démarche "historique", pour trouver l'équation de Dirac on linéarise la racine carrée de l'équation de Klein-Gordon (pour faire vite et en termes très très grossiers).

Cependant maintenant, partant du lagrangien de Dirac, j'essaie de retrouver le lagrangien de Klein-Gordon...mais je n'y arrive pas ! Peut-être le problème est-il que je pars du lagrangien alors que je devrais partir de l'équation ? Ou peut-être autre chose ? Ou peut-être suis-je juste naze ?

En tout cas auriez-vous un cours ou quoique ce soit avec la démonstration du passage de Dirac à Klein-Gordon et non pas l'inverse svp ?

Merci beaucoup d'avance !
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[chaverondier]

Auriez-vous un cours ou quoique ce soit avec la démonstration du passage de Dirac à Klein-Gordon et non pas l'inverse svp ?

Je ne comprends pas très bien la question. En partant du polynôme du second degré en p et en E relatif à l'équation de Klein Gordon (exprimant l'invariance de Lorentz de la quadri-impulsion) et en factorisant, on obtient le produit de polynômes du premier degré en p_i et en E relatifs à l'équation de Dirac et à l'équation de Dirac adjointe (1).

Dans le sens inverse, en multipliant le polynôme relatif à l'équation de Dirac par le polynôme relatif à l'équation de Dirac adjointe (cf. Dirac equation) obtenu en changeant le signe de la masse dans le polynôme relatif à l'équation de Dirac (1) on retombe bien sur l'équation de Klein Gordon.

(1) Le polynôme relatif à l'équation de Dirac adjointe (cf. Conservation of probability current Dirac equation) est obtenu en changeant le signe de la masse dans le polynôme relatif à l'équation de Dirac. L'inversion du signe de la masse dans l'équation de Dirac correspond (sauf erreur de ma part) à l'inversion du sens de l'écoulement du temps. Le couple équation de Dirac + équation de Dirac adjointe est bien T-symétrique, comme l'équation de Klein Gordon dont elles sont issues par factorisation.