Equation de Dirac et de Klein Gordon

[invite90a01a8d]

Bonjours à tous

Est ce que l'equation de Klein Gordon s'applique à tous les bosons. Et est ce que l'équation de Dirac ne s'appliqu'à l'electron ?? Ces 2 questions me turlupinent. Merci d'y répondre
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[invite8ef897e4]

Bonjour,

l'équation de Klein-Gordon s'applique dans le cas de champs scalaires, de spin 0. Seuls le boson de Higgs (s'il existe) est une particule fondamentale scalaire. Il existe néanmoins des états liés (des noyaux par exemple) de spin 0. L'équation de Dirac s'applique pour des champs de spin 1/2. Toutes les particules fondamentales de matière sont de spin 1/2 : électron, muon, tau, neutrinos, quarks.

[mariposa]

Bonjours à tous

Est ce que l'equation de Klein Gordon s'applique à tous les bosons. Et est ce que l'équation de Dirac ne s'appliqu'à l'electron ?? Ces 2 questions me turlupinent. Merci d'y répondre

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L'équation de Klein-Gordon s'applique à tous les types de particules quelquesoit leur spin S (entier ou demi-entier).

Le spin S défini le nombre de composantes du champ 2S+1 ainsi que leur transformation par changement de base..

Lorsque le spin est entier le champ est suivant le cas un tenseur de rang 0 (scalaire), un tenseur de rang 1 (un vecteur), un tenseur de rang 2 etc...
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Lorsque le spin est demi-entier il y a toujours 2S+1 composantes, mais ces composantes ne se transforment pas comme les tenseurs dans un changement de base. Pour cette raison on les appelle spineurs.
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Quand on veut quantifier ces champs il y a des problèmes pour les spineurs (voir les travaux originaux de Dirac). La solution est de décomposer l'équation aux dérivées partielles du second ordre en temps en 2 équations aux dérivées partielles couplées du premier ordre.

On peut presenter l'ensemble de ces 2 équations en 1 seule: C'est l'équation de Dirac dont la solution est un "vecteur" à 4 composantes 2+2 dont 1 couple se transforment sous la representation fondamentale de SU(2) cad comme un spin 1/2.

[Karibou Blanc]

L'équation de Klein-Gordon s'applique à tous les types de particules quelquesoit leur spin S (entier ou demi-entier).

Euh, qu'appelles-tu équation de Klein-Gordon alors ? Il est usuel d'appeler Klein-Gordon, l'équation qui décrit l'évolution d'un champ scalaire.

la solution est un "vecteur" à 4 composantes 2+2 dont 1 couple se transforment sous la representation fondamentale de SU(2) cad comme un spin 1/2.

(1) je dirais plutot un objet à quatre composante, plutot qu'un "vecteur". Note que j'ai saisi la nuance engendrée par les " " mais ca risque d'embrouiller certains.

(2) C'est SL(2,C) et non SU(2).
Le groupe de Lorentz SO(3,1) est localement isomorphe à SL(2,C)xSL(2,C) et les dimensions des représentations irréductibles de SL(2,C) sont demi-entières (fondamentale = 1/2). Un spineur à deux composantes (dit de Weyl) est représenté par (1/2,0) hélicité gauche ou (0,1/2) hélicité droite, un fermion de Dirac est la somme directe d'un spineur de Weyl (1/2,0) et (0,1/2), il est noté donc (1/2,1/2), c'est une représentation réductible donc et contenant 2 états d'hélicité différents (ie une particule et une antiparticule).

KB

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

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L'équation de Klein-Gordon s'applique à tous les types de particules quelquesoit leur spin S (entier ou demi-entier).

Oui, a priori rien ne nous oblige à utiliser cette équation que sur des scalaires puisqu'on peut très bien l'appliquer à chacune des composantes d'un tenseur de rang 1 par exemple. Mais fondamentalement cette equation ne décrit tout simplement pas bien les particules qui ont un spin different de zero alors pourquoi le préciser et le souligner au risque de semer un petit peu de confusion ?

[invite90a01a8d]

[QUOTE=humanino;953087]Bonjour,


Humanino (que je remercie ) dit que l'équation de Klein-Gordon s'applique dans le cas de champs scalaires, de spin 0. Mariposa ( que je remercie aussi ) dit que l'équation de Klein Gordon s'applique à toutes les particules quelque soit leur spin. Probablement vous voulez dire la même chose. Mais pour moi ça fait 2 choses différentes
S'il vous plait est ce vous pouvez clarifier ce point ??
hop hop au boulot
merci

[Karibou Blanc]

hop hop au boulot
merci

non mais vraiment y a des coups de p... au c... qui se perdent. La politesse ne consiste pas simplement à dire merci !

[invite8ef897e4]

Humanino (que je remercie ) dit que l'équation de Klein-Gordon s'applique dans le cas de champs scalaires, de spin 0. Mariposa ( que je remercie aussi ) dit que l'équation de Klein Gordon s'applique à toutes les particules quelque soit leur spin. Probablement vous voulez dire la même chose. Mais pour moi ça fait 2 choses différentes

Mariposa a raison, mais je n'ai pas tort
Il est effectivement important de préciser qu'un champ qui satisfait l'équation de Dirac satisfait également l'équation de Klein-Gordon. En un certain sens, l'équation de Dirac est "la racine carrée" de l'équation de Klein-Gordon.

[mariposa]

Oui, a priori rien ne nous oblige à utiliser cette équation que sur des scalaires puisqu'on peut très bien l'appliquer à chacune des composantes d'un tenseur de rang 1 par exemple. Mais fondamentalement cette equation ne décrit tout simplement pas bien les particules qui ont un spin different de zero alors pourquoi le préciser et le souligner au risque de semer un petit peu de confusion ?

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Je reviens au fondement des choses.
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1- L'équation de Klein-Gordon est construite comme produit scalaire de 2 quadrivecteurs (tenseur de rang1) de Minkowski.
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2- En conséquences les solutions sont des "vecteurs" qui se transforment comme les representations irréductibles du groupe de rotation SO(3). J'ai donc supposé que je me met dans un repère attaché a la particule (avec une réserve pour les particules de masse nulles).
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Pour générer les solutions je vais essayer des tenseurs de tous les rangs de 0 à l'infini.
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Exemple: supposons comme solution de KG de masse non nulle un quadritenseur 4 composantes. Si j'impose à ce quadritenseur la jauge de Lorentz j'obtiend 3 composantes indépendantes qui définissent les 3 composantes de spin. Si je choisi comme repère la direction de propagation de l'onde je trouve une composante longitudinale et 2 composantes transversales.
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Si la masse est nulle je peux imposer une condition de jauge de deuxième espèce qui fera que la composante longitudinale est nulle: C'est le cas du champ électromagnétique classsique. dans ce cas on a 2 composantes car l'invariance du problème ce n'est plus le point définie par la particule mais l'axe définie par la propagation qui définie la symétrie du cylindre soit SO(2)
;
Maintenant supposons que j'essaie un quadritenseur de rang 2. Je prend un tenseur completement symétrique soit sonc 10 composantes. Avec une masse nulle et les contraintes de jauge il me restera 5 composantes autrement dit un spin 2 le rève pour décrire la quantification de la RG puisque le potentiel en 1/r signifie une masse nulle. c'est la raison pour laquelle le graviton de masse nulle doit avoir un spin 2.
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Donc KG c'est valable quelquesoit le nombre de composantes du champ 1, 2? 3,....).
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L'équation de Dirac c'est une transformation de KG pour sortir du rang les representations irréductibles de spin demi-entiers.
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C'est une erreur de croire que l'une décrit les bosons et l'autre les fermions

[mariposa]

Euh, qu'appelles-tu équation de Klein-Gordon alors ? Il est usuel d'appeler Klein-Gordon, l'équation qui décrit l'évolution d'un champ scalaire.

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Vous ètes nombreux a avoir réagit dans la même direction, je ne sais pas pourquoi.
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Dire que les seules solutions de KG sont des scalaires c'est comme on disait que les solutions de l'atome d'hydrogène sont les états s qui sont des scalaires de SO(3) (cad la representation triviale du groupe).
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Si l'on admet que l'atome d'hydrogène a des solutions qui se transforment comme s, p, d etc.. cad comme S=0, 1, 2 alors on est obligé d'admettre que KG a des solutions qui se transforment comme S=0,1,2... C'est d'autant plus vrai qu'il s'agit presque des mêmes groupes.
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D'une manière générale les solutions d'un système d' équations,(non linéaire ou pas) aux dérivées partielles invariante par translation temporelle sont des representations irréductibles du groupe qui laisse invariantes ces équations. Si en plus les équations sont linéaires alors les solutions générales sont des combinaisons linéaires de ces representations irréductibles.

[mariposa]

Mariposa a raison, mais je n'ai pas tort
Il est effectivement important de préciser qu'un champ qui satisfait l'équation de Dirac satisfait également l'équation de Klein-Gordon. En un certain sens, l'équation de Dirac est "la racine carrée" de l'équation de Klein-Gordon.

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Absolument. Il serait d'ailleurs preferable de dire que Dirac au carré c'est KG qui est en similitude avec le fait que le produit de deux spins 1/2 (donc Dirac) est un spin 1 + spin 0 (c'est KG).

Donc si on ne prend la racine carré de KG on rate la moitié des solutions.
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La rationalisation de tout ça relève de l'algébre de Clifford qui est une généralisation de l'algébre des quaternions.
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[invite90a01a8d]

non mais vraiment y a des coups de p... au c... qui se perdent. La politesse ne consiste pas simplement à dire merci !

Faut pas exagerer
Et puis comme on dit
la politesse est la plus acceptable des hypocrisies

hip hip hourra pour mariposa

[Gwyddon]

Attention à ne pas déraper, et un petit rappel de la charte :

2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum

[gatsu]

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Je reviens au fondement des choses.
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1- L'équation de Klein-Gordon est construite comme produit scalaire de 2 quadrivecteurs (tenseur de rang1) de Minkowski.
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2- En conséquences les solutions sont des "vecteurs" qui se transforment comme les representations irréductibles du groupe de rotation SO(3). J'ai donc supposé que je me met dans un repère attaché a la particule (avec une réserve pour les particules de masse nulles).
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Pour générer les solutions je vais essayer des tenseurs de tous les rangs de 0 à l'infini.
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Exemple: supposons comme solution de KG de masse non nulle un quadritenseur 4 composantes. Si j'impose à ce quadritenseur la jauge de Lorentz j'obtiend 3 composantes indépendantes qui définissent les 3 composantes de spin. Si je choisi comme repère la direction de propagation de l'onde je trouve une composante longitudinale et 2 composantes transversales.
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Si la masse est nulle je peux imposer une condition de jauge de deuxième espèce qui fera que la composante longitudinale est nulle: C'est le cas du champ électromagnétique classsique. dans ce cas on a 2 composantes car l'invariance du problème ce n'est plus le point définie par la particule mais l'axe définie par la propagation qui définie la symétrie du cylindre soit SO(2)
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Maintenant supposons que j'essaie un quadritenseur de rang 2. Je prend un tenseur completement symétrique soit sonc 10 composantes. Avec une masse nulle et les contraintes de jauge il me restera 5 composantes autrement dit un spin 2 le rève pour décrire la quantification de la RG puisque le potentiel en 1/r signifie une masse nulle. c'est la raison pour laquelle le graviton de masse nulle doit avoir un spin 2.
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Donc KG c'est valable quelquesoit le nombre de composantes du champ 1, 2? 3,....).
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L'équation de Dirac c'est une transformation de KG pour sortir du rang les representations irréductibles de spin demi-entiers.
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C'est une erreur de croire que l'une décrit les bosons et l'autre les fermions

Même si il me manque de façon incontestable certaines notions pour pouvoir discuter de ça serieusement avec toi, il me semble que si on dit en physique des particules que KG décrit un champ scalaire c'est parce qu'on cherche à élaborer l'action invariante de Lorentz la plus simple possible (de degré 2 en champ et en dérivation)...et on tombe inevitablement sur KG pour des bosons de spin 0. Comment on fait pour expliquer ça en disant que KG marche pour tous les spins ?

[mariposa]

Même si il me manque de façon incontestable certaines notions pour pouvoir discuter de ça serieusement avec toi, il me semble que si on dit en physique des particules que KG décrit un champ scalaire c'est parce qu'on cherche à élaborer l'action invariante de Lorentz la plus simple possible (de degré 2 en champ et en dérivation)...et on tombe inevitablement sur KG pour des bosons de spin 0. Comment on fait pour expliquer ça en disant que KG marche pour tous les spins ?

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1- Je construit un Lagrangien invariant de Lorentz le plus simple qu'il soit:
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J'ai L= -1/2 [ (dPhi/dx)2 + m2.(Phi)2]

dPhi/dx represente les 4 dérivées partielles par rapport aux coordonnées espace-temps.

2- J'écrit l'action.
.
3- Je minimise l'action.

4- J'obtiend l'équation de Klein-Gordon:

d2Phi/dx2 -m2.Phi = 0

La résolution de cette équation donne un champ scalaire.

Maintenant on reprend toute la procédure avec un Lagrangien qui est la somme de S+1 lagrangiens à 1 champ de même masse.
.
Tu obtiends 2S+1 équations de Klein-Gordon. Ces équations peuvent s'écrire comme un opérateur Klein-Gordon:

[d2./dx2 -m2]


agissant sur un champ vectoriel à 2S+1 composantes.
.
Comme les composantes ont même masse elles se transforment les unes dans les autres lors d'une transformation du groupe de Lorentz. On aura donc un jeu infini de matrices qui constituent une representation de dimension 2S+1 du groupe de Lorentz.
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Conclusion l'équation de Klein-Gordon contiend des solutions pour des champs dont le nombre de composantes est quelconque et donc pour des spins demi-entiers.

CQFD

[gatsu]

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1- Je construit un Lagrangien invariant de Lorentz le plus simple qu'il soit:
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J'ai L= -1/2 [ (dPhi/dx)2 + m2.(Phi)2]

dPhi/dx represente les 4 dérivées partielles par rapport aux coordonnées espace-temps.

2- J'écrit l'action.
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3- Je minimise l'action.

4- J'obtiend l'équation de Klein-Gordon:

d2Phi/dx2 -m2.Phi = 0

La résolution de cette équation donne un champ scalaire.

Maintenant on reprend toute la procédure avec un Lagrangien qui est la somme de S+1 lagrangiens à 1 champ de même masse.
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Tu obtiends 2S+1 équations de Klein-Gordon. Ces équations peuvent s'écrire comme un opérateur Klein-Gordon:

[d2./dx2 -m2]


agissant sur un champ vectoriel à 2S+1 composantes.
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Comme les composantes ont même masse elles se transforment les unes dans les autres lors d'une transformation du groupe de Lorentz. On aura donc un jeu infini de matrices qui constituent une representation de dimension 2S+1 du groupe de Lorentz.
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Conclusion l'équation de Klein-Gordon contiend des solutions pour des champs dont le nombre de composantes est quelconque et donc pour des spins demi-entiers.

CQFD

Bon ok mais alors pourquoi on n'utilise pas en pratique l'equation de KG pour des spins demi entier par exemple (du moins j'en ai pas entendu parler avant aujourd'hui) ?
Tu aurais des liens détaillé qui traitent de ça? Parce que dans les divers cours que TQC que j'ai lu il faut croire que ça n'y est pas?

[mariposa]

Bon ok mais alors pourquoi on n'utilise pas en pratique l'equation de KG pour des spins demi entier par exemple (du moins j'en ai pas entendu parler avant aujourd'hui) ?

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Tout simplement parceque tu trouves des particules d'énergie négative (ce n'est pas physique) et autres ennuis (des densités de probabilité négative) . C'est pourquoi Dirac a transformé KG en l'équation de....... Dirac qui après quantification l'a obligé a interpreter le champ a 4 composantes comme décrivant 2 particules de spin 1/2.
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C'est ainsi que Dirac cherchait l'équation de Shrodinger relativiste de l'électron et qu'il a trouver 2 particules et en prime le spin qui avait été auparavent observé expérimentalement.

Tu aurais des liens détaillé qui traitent de ça? Parce que dans les divers cours que TQC que j'ai lu il faut croire que ça n'y est pas?

Dans la bibliothèque de Rincevent tu dois avoir des réponses. Sinon je regarderais dans mes livres les introductions.

[gatsu]

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Tout simplement parceque tu trouves des particules d'énergie négative (ce n'est pas physique) et autres ennuis (des densités de probabilité négative) . C'est pourquoi Dirac a transformé KG en l'équation de....... Dirac qui après quantification l'a obligé a interpreter le champ a 4 composantes comme décrivant 2 particules de spin 1/2.

Oui mais il me semble que le fait de trouver des particules d'energie négative n'apparait plus si le champ considéré n'est plus une fonction d'onde, "l'enrgie négative" devient alors juste une fréquence négative dans la décomposition en modes de Fourier et on peut vérifier ensuite que l'energie du champ donnée par la hamiltonien du champ est toujours positif si on retranche l'enregie du vide.

[mariposa]

Oui mais il me semble que le fait de trouver des particules d'energie négative n'apparait plus si le champ considéré n'est plus une fonction d'onde, "l'enrgie négative" devient alors juste une fréquence négative dans la décomposition en modes de Fourier et on peut vérifier ensuite que l'energie du champ donnée par la hamiltonien du champ est toujours positif si on retranche l'enregie du vide.

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Bonjour,

Le problème est que Dirac trouve des énergies propres en dessous du vide, autrement dit le vide est un état excité, ce qui est absurde.
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Il n'est pas facile de répondre par écrit sans écrire des formules (je suis nul en Latex). il faudrait que tu regardes la démonstration de Dirac lorsqu'il passe de l'équation KG à l'équation de Dirac. Cette démonstration est souvent reproduite dans les livres (voir aussi biblio de Rincevent). le point important sont les commentaires qui se trouvent autour du texte dont la qualité est variable (il suffit d'en lire plusieurs pour bien piger le problème).
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Cordialement

[gatsu]

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Bonjour,

Le problème est que Dirac trouve des énergies propres en dessous du vide, autrement dit le vide est un état excité, ce qui est absurde.
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Il n'est pas facile de répondre par écrit sans écrire des formules (je suis nul en Latex). il faudrait que tu regardes la démonstration de Dirac lorsqu'il passe de l'équation KG à l'équation de Dirac. Cette démonstration est souvent reproduite dans les livres (voir aussi biblio de Rincevent). le point important sont les commentaires qui se trouvent autour du texte dont la qualité est variable (il suffit d'en lire plusieurs pour bien piger le problème).
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Cordialement

Je suis tout à fait d'accord avec le fait que la théorie de Dirac prédit des energies négatives pour les électrons par exemple. Mais la théorie de Dirac telle que je l'entends et telle qu'elle a été écrite historiquement il me semble interprete le champ de bi-spinneur considéré comme une fonction d'onde, ce qui n'est pas le cas en TQC, ce qui permet de ne plus avoir ce problème d'energie négative.

[hedihedi]

bonjours à tous
j'ai besoin de l'équation de klein gordon pour un chapms de bousons avec les détails de calcul
merci d'avance

[Deedee81]

Bonjour Hedihedi,

Bienvenue sur Futura.

Attention, ce fil de discussion date de 8 ans !!!! Certains ne sont même plus sur Futura.

Je te conseille plutôt d'ouvrir une nouvelle demande. Et aussi de donner des précisions. L'équation de Klein-Gordon est facile à trouver sur Wikipedia. Mais il faudrait préciser ce que tu entends par "le détail des calculs" . Des calculs, pour calculer.... quoi ???

Merci