Dynamique de n point matériels liés par des rappels élastiques

[evergreen4life]

Bonjour à tous, j'ai un souci concernant le problème suivant :

Je cherche à déterminer les équations de mouvements (uniaxe) de n points matériel massifs lié à un point matériel massif, lui-même rappelé élastiquement par l'origine (voir schéma).



Dans le cas présent, je débouche sur un système de 4 équations différentielles du second ordre (linéaires ?) avec plusieurs variables dépendant toutes du temps. Ma question est la suivante :

Est-il possible de résoudre ce système analytiquement ? Si oui comment ?

J'aimerais éviter de passer par une numérisation de type RK4, vu que je vais devoir répéter l'opération un grand nombre de fois pour des systèmes beaucoup plus complexes. Si cela peut aider toutes les masses sont égales à 1. Et p est un coefficient de pénétration, c'est le même pour tous les points (il vaut environ 0,01). Les différents k sont positifs et inférieurs à 1 (voir très inférieur à 1).

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[le_STI]

Salut.

tu aurais peut-être plus de réponse en faisant déplacer ton sujet dans la section mathématiques du forum.

La seule remarque que j'aurais à faire est qu'il me parait étrange que pour faire ta modélisation tu ais posé l'hypothèse de ressorts de longueur nulle au repos.
De plus, as-tu laissé sciemment la possibilité d'avoir une longueur de ressort négative?

[Resartus]

Le principe général, s'agissant d'équations différentielles linéaires, est de chercher les solutions où toutes les variables ont la forme a1exp(iwt), a2exp(iwt)... où w sera un nombre avec une composante réelle (pulsation) et une partie imaginaire (amortissement).
En les reportant dans les équations, on obtient un système d'équations linéaires à n variables dont le déterminant est fonction de w. Comme on veut qu'il existe une solution non triviale pour les valeurs de ai, il faut que le déterminant de ce système soit nul, ce qui donne une équation en w de degré 2n.
Le problème qui apparait alors immédiatement est qu'on ne sait pas résoudre mathématiquement cette équation qui est de degré trop élevé dès que n dépasse 2.
Si on admet que les masses et raideurs sont petites par rapport à la masse principale, on peut sans doute traiter ce problème par une méthode de perturbation (c'est à dire que on cherche des pulsations qui sont proches de la pulsation de résonance de la masse principale). Faisable mais assez laborieux...

Ensuite, il faut trouver une solution particulière :
par exemple si on veut savoir comment le système évolue librement à partir du temps 0, il faut introduire les conditions aux limites sur les ri et les dri/dt, ce qui permet de trouver les ai qui vont bien : encore un système de n équations linéaires à résoudre).

Pour toutes ces raisons, le plus pratique me semble quand même être de modéliser cela en utilisant un logiciel de calcul avec lequel vous soyez familier...

[evergreen4life]

Rebonjour, merci pour vos réponses.

En fait il s'agit d'un milieu très visqueux (donc amortissement très fort, pas d'oscillations) qui lorsqu'on n'étudie que la masse principale (sans les autres masses liées) donne une solution en r0exp(-kpt) lorsque le régime permanent est atteint (et il est atteint très vite au vu des échelles de temps considérées).

Donc par exemple si r est fixe (lorsqu'on a une masse m grande devant les mi) tous les ri auront une expression de la forme ri0 exp(-ki p t), mon gros problème est que r n'est absolument pas fixe, bien au contraire.

J'ai aussi pensé a passer dans le référentiel du centre de masse de chaque liaison, mais encore une fois les barycentres dépendent tous de r et on débouche sur le même problème.

Donc pas de solution analytique ? Juste numérique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Si vous vous intéressez au mouvement des petites masses et que celles-ci sont négligeables par rapport à celui de la grande, il y a une solution simple, car les mouvements de ces petites masses sont découplés (pas de ressorts entre elles).
Il faut calculer directement le mouvement de la grande masse, ce qui donne avec une approximation suffisante l'évolution de r au cours du temps.
Ensuite on résout indépendamment chaque système de petite masse, à chaque fois une seule équation différentielle du second ordre (voire premier ordre si l'amortissement est très important).
Même méthode que précédemment : on cherche une solution particulière pour chaque ri, qui sera en gros le même mouvement que r mais avec un décalage de phase, et on ajoute les solutions de l'équation homogène qui respectent les conditions aux limites pour chaque petite masse

[evergreen4life]

J'ai finalement opté pour la modélisation numérique pour résoudre ce problème.

Merci pour vos réponses.