Mécanique rationnelle - Balistique

[maxime10]

Bonjour à tous,

J'ai un petit soucis avec un exercice :

On veut propulser un projectile de masse m au dessus d'un mur de hauteur h à un distance 3l du point de lancement (on néglige la résistance de l'air). On cherche la vitesse minimale.

En partant de Newton :

s''*m=g*m

Il me faut intégrer 2 fois pour obtenir l'équation du mouvement :

J'ai comme conditions initiales que s(0)=0 et s'(0)=v.

Ainsi j'obtiens successivement :

s'(t)=g*t+v

puis

s(t)=g*t^2/2+v*t

En projetant sur les axes on a :

g=-ge_z (où z est mon axe verticale)

v=v*cos(a)e_x+v*sin(a)e_z (où x est mon axe horizontal)

et finalement

x(t)=v*cos(a)*t (1)

z(t)=v/sin(a)*t-g*t^2/2 (2)

En isolant t dans (1) et en l'injectant dans (2) on obtiens encore :

z(t)=(-g*x(t)^2)/(v^2*cos(a)^2) + tg(a)*x(t) (3)

Je sais (en faisant un petit dessin) que :

tg(a)=h/3l
cos(a)=3l/hyp
sin(a)=h/hyp

où hyp = (9l^2+h^2)

Comme on cherche la vitesse minimale, le projectile doit frôler tout juste le mur de hauteur h et donc la hauteur max du tir parabolique doit etre h, si la hauteur max (h) à lieu en 3l , on sait que la portée doit valoir 6l. On sait aussi que en h , la dérivée de z(t) (vitesse verticale est nulle).

La solution est v^2 = g*(h^2+9l^2)^(1/2)+h*g

J'ai essayé en remplaçant de (3) z(t) par h et x(t) par 3l mais je n'arrive pas au bon résultat. Je ne comprends pas pourquoi.
J'ai essayé en isolant t dans la dérivée de z(t) et de substituer t dans z(t) où je remplace z(t) par la hauteur h mais je n'y arrive toujours pas.

------> Est-ce que quelqu'un à une explication à me donner ? où indiquer mon erreur ?

Ensuite, on considère que a (l'angle de tir) vaut 60 deg et on veut que le projectile passe 2 mur de hauteur h, on cherche la distance max (d) qui peut séparer les deux murs pour que le projectile passe.

Pour ce faire , j'ai calculer la hauteur max (un annulant la dérivée de z(t) pour isoler t et l'injecter dans z(t) )

J'obtiens z(t)=(v^2*sin(a)^2)/2*g et si a=60 deg , h_max=3v^2/8g

On sait donc que le problème n'a pas de sens si la hauteur du mur (h) est plus grande que h_max.

Si h=h_max, les deux murs de hauteur h doivent être confondus (d=0)

Si h<h_max:

J'ai essayé de calculé pdt combien de temps le projectile était plus haut que les 2 murs , pour ensuite trouver la distance sur laquelle le projectile était plus haut de que le mur. Cette distance devrait être selon moi, la distance max permise entre les deux mur et donc la réponse au problème.

Je devrais obtenir d=v/(2g)*(3v^2-8gh), seulement je n'y arrive jamais en suivant mon raisonnement

Pourriez-vous me donner un conseil ou m'indiquer une erreur dans mon raisonnement ?

Merci d'avance,

Maxime10


PS : Désolé pour cette longue question
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[Resartus]

L'angle a de tir ne peut pas être l'angle entre le point de départ et le haut du mur (il est nécessairement plus grand).
Le reste de la méthode est bon : écrire que la valeur de z quand x vaut 3L est égale à h.
Cela va donner une équation en a et v. On peut exprimer v en fonction de a, et voir quand cela donne la valeur minimum

[maxime10]

Si je remplace dans (3) , (t) par h et x(t) par 3l ;

h=(-g*9l^2)/(2*v^2*cos(a)^2)+tg(a)*3l

En isolant v^2 ;

(9*g*l^2)/(2*(tg(a)*3l-h)*cos(a)^2)=v^2

Si je dérive v, ce sera nécessairement par rapport à t , mais ni g,ni l,ni h, ni a ne dépende de t si ?

[Resartus]

C'est une fonction de a. Il faut donc dériver par rapport à a et voir d'abord pour quelle valeur de a la dérivée s'annule, puis reintroduire pour avoir v^2.
NB: on peut se contenter de dériver l'expression du dénominateur avec tga et cos^2a.

NB2 : sachant que la vitesse minimale sera celle pour laquelle la trajectoire sera tangentielle au passage du mur, on aurait pu trouver directement l'équation de la parabole z fonction de x, puis reintroduire dans les équations que vous avez déjà écrites pour retrouver a et v.

[A voir en vidéo sur Futura]

[maxime10]

Je viens d'essayer de résoudre en dérivant en fonction de a mais j'obtiens un fonction assez dégueulasse dont je ne parviens pas à trouver les racines.

En utilisant l'autre méhode, je doit déterminer l'eqt de la parabole passant par (0,0) ; (3l,h) ; (0,6l) pour pouvoir continuer ?

[LPFR]

Bonjour.
Souvenez-vous que 1/cos² = 1 + tg²
Remplacez tg(a) par une variable quelconque P et dérivez.
Vous aurez une équation de premier degré en P avec la valeur qui rend la dérivée nulle.
Au revoir.
Édit: dérivez par rapport à P.

[maxime10]

Merci beaucoup j'arrive au résultat attendu pour la partie a

[maxime10]

J'ai aussi la réponse pour la partie b Merci

[bobinox]

pourriez vous m'envoyer la réponse a ce problème

[bobinox]

BONJOUR TT LE MONDE j'ai un problème avec cette exercice j ai essayer tt les méthode possible j'arrive pas a résoudre se problème plz help

[bobinox]

BNJOUR MAXIME 10
je vous ai envoyé mon adresse email j’espère me répondre le plutôt possible