Matrice : changement de coordonnées

[Sethy]

Bonjour à toutes et à tous,

Tout d'abord, deux mots à mon sujet, j'ai 49 ans et je suis chimiste. Si j'ai encore quelques restes en physique et en math ... ils datent un peu

Le sujet qui m'occupe aujourd'hui tient au changement de coordonnées mais si j'ai posté en physique et pas en math, c'est qu'il s'agit des métriques relativistes. Je souhaiterais convertir la métrique de Schwarschild des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes.

Pour rappel, la métrique :



Je sais qu'un simple changement de coordonnées de rho, phi et theta vers leurs valeurs en x,y,z n'est pas permis. Outre les raisons mathématiques qui m'échappent, la preuve est assez simple, puisque le 3ème élément de la matrice serait transformé en x^2+y^2+z^2. Or, à la limite pour r grand, on doit tendre vers la métrique plate de Minkowski.

J'ai lu que pour opérer proprement ce genre de changement de coordonnées, il fallait recourir aux matrices Jacobiennes. Mais je ne sais pas comment les utiliser. Je peux évidemment tenter par essai/erreur (multiplier par le jacobien, ou prendre en sandwich par la matrice inverse et la matrice directe) mais ça reste du chipotage. J'ai bien tenté de trouver des exercices sur les matrices Jacobiennes mais j'ai essayé de comprendre et ça reste trop mathématique.

Une bonne âme pourrait m'expliquer ce que je dois faire dans mon cas ?

Merci d'avance.

Sethy
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[Sethy]

Je vais essayer de détailler mon propos, puisqu'en l'état, il n'enthousiasme pas les foules

La métrique de Minkowski en coordonnées polaires peut, d'après moi, se déduire aisément des facteurs d'échelles.

En coordonnées cartésiennes (et avec la convention +--- pour l'intervalle) elle s'écrit



Ce qui donne en coordonnées polaires :



Dans ces conditions on voit bien que la métrique de Schwarschild à la limite pour r grand, tend vers la métrique de Minkowski en coordonnées polaires.

J'imagine qu'on peut en déduire la forme de la métrique en coordonnées cartésiennes, avec r = racine de x^2+y^2+z^2 :



Mais je voudrais des certitudes et pouvoir le prouver mathématiquement. Je voudrais surtout connaitre un moyen infaillible pour établir ce changement de coordonnées.

Merci d'avance.

[invite6c093f92]

je suis chimiste.

Bah, que veux-tu...personne n'est parfait.
Sinon, si il y a peu de monde...c'est qu' il faut quand même s'y connaître...
Vois ici:
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j...KsUSxEUzGtGxRA
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j...f08np_ZTjsBAzw
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j...tc5XF6WogdaCVQ
Tu devrais pouvoir trouver ton bonheur.

[invite6c093f92]

Sinon, si il y a peu de monde...c'est qu' il faut quand même s'y connaître...

Heu...pour préciser, ce n'est pas mon cas (après relecture, cela pourrait le faire penser ...) sinon j'aurais expliqué, pas renvoyé à des liens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec998f71d]

Cherhez vous à écrire en coordonnees cartesienne l'element de longueur ds^2 ou la matrice de la métrique?

[invitec998f71d]

Le mieux c'est de voir comment s'écrit la matrice encartesien
prend un vecteur (x,y,z,t) et ecrit chacune de ces coordonnées en polaires:: x= ..., y= ... etc
tu differentie tout çà; dx=..., dy= ... dz=... dt=...
prend le vecteur (dx,dy,dz dt) et écrit le comme le produit matriciel d'une matrice de passage P (dépendan deq coordonn&es polaires) et du vecteur
(dr,dthéta, ,dtau) tu cherches à exprimer le produit scalaire d'un tel vecteur avec ub autre 'dx',dy',dz',dt')? tu le mets en 4 polaires et tu fait leur produit scalaire à laide de l'ancienne métrique et de la matrice de passage (et de sa transposée).

[Sethy]

Avant de me lancer, j'essaie de voir où ça me mène.

J'imagine que ce que tu appelles matrice de passage est le Jacobien, ce genre de matrice :



Imaginons que dans la métrique, j'ai des termes un plus compliqués, comme par exemple un x^2



Si on se rappelle que



J'obtiens donc pour le premier terme quelque chose comme



Comment je gère ça ?

[invitec998f71d]

Je ne commencerais pas comme çà
Ayant

je le différencie:

tu fais pareil pot dy dz et dt
Tu trouves ainsi une matrice P 4 sur 4 telle que le 4 vecteur colonne D = dt dx dy dz soit egal au produit de P par le vecteur colonne des dtau dtetha etc
Tu cherche la metrique Mc en cartesien en ayant la métrique en polaire Mp.
Forme le 4 produit transposé(D1) Mc D2. avec la matrice P tu peux exprimer çà en polaire. Comme tu connais le 4 produit scalaire en polaire tu vois que
Le calcul de l'inverse de P(pas facile) te permet de trouver Mc

[Sethy]

En fait, ton approche et la mienne sont identiques :

Ce que tu me proposes de faire, c'est d'écrire cette égalité:



Si tu regardes bien, c'est exactement équivalent à ce que j'ai appelé le Jacobien.

Le problème, c'est et tu peux le voir facilement que ces valeurs sont des fonctions de rho, theta et phi et que je les multiplie avec des valeurs de x,y,z. C'est ça mon problème.

[invitec998f71d]

Ce n'est pas un probleme.
En un point de l'espace temps tu as réussi à trouver les 16 coefficients de la metrique qui te permettent de calculer tout ce que tu veux concernant des quadrivecteurs dont connus par leurs coordonnées cartésiennes. Le faitque les valeurs de la métrique sont données litteralement en fonction de theta etc ne pose pas de probleme. Si tu connais les 4 coordonnées cartesienne du point ou tu fais les calculs c'est un jeu d'enfant de trouver ses coordonnées polaires donc d'obtenir les 16 valeurs numériques de la métrique. Ou si tu y tiens d'inverser les formules pour en avoir les valeurs en fonction de x y z et t.