Tenseur métrique : changement de coordonnées

[Sethy]

Bonjour à tous,

Je me présente, j'ai 48 ans, chimiste de formation (je poste assez régulièrement dans cette section) et j'ai une question concernant les tenseurs métriques.

Je sais que le sujet est plus physique que mathématique, mais mon problème est "purement" mathématique.

Lorsqu'on écrit une métrique en physique, il y a deux manières de le faire, soit via l'intervalle :



ou sous forme du tenseur métrique :



Ici , vous aurez probablement reconnu la matrice de Schwarzschild.

Ce que j'aimerais savoir, c'est s'il existe une manière de transformer ces grandeurs de manière à les exprimer comme une fonction d'autres variables.

Si je prends le cas des coordonnées cartésiennes, c'est possible en remplaçant r par sa valeur (racine de x.x ....) et ainsi de suite et en remplaçant dr par sa valeur. Ensuite, il faut regrouper les termes en dx, dy et dz.

Mais ma question, existe-t-il une méthode générale qui permet d'opérer cette transformation autrement ? Je pense notamment à des systèmes de coordonnées beaucoup plus exotiques.

D'avance merci,

Sethy
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[Sethy]

Personne n'a un avis ?

[invite473b98a4]

Bonjour, il s'est glissé un petit d theta en trop dans la matrice.
Bien sûr que c'est possible, vous donnez une méthode. Il faut bien savoir faire des dérivées partielles, et il faut déjà connaître l'expression d'une coordonnée en fonction d'une autre.
Sinon, il faut utiliser le fait que le tenseur métrique...est un tenseur. donc que

[invite473b98a4]

Pardon, j'avais un petit doute, je crois que c'est

en espace courbe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite473b98a4]

Pardon, j'avais un petit doute sur la courbure mais en fait le premier message est bon aussi en espace courbe. le cristoffel apparaitra justement dans la dérivée partielle. C'est loin tout ça. Normalement c'est valable, sauf qu'en RG, il faut voir qu'entre 2 systèmes de coordonnées, on ne décrira jamais exactement la même région de l'espace temps.

[invite47ecce17]

Bonjour,

Pardon, j'avais un petit doute sur la courbure mais en fait le premier message est bon aussi en espace courbe. le cristoffel apparaitra justement dans la dérivée partielle. C'est loin tout ça. Normalement c'est valable, sauf qu'en RG, il faut voir qu'entre 2 systèmes de coordonnées, on ne décrira jamais exactement la même région de l'espace temps.

Il n'y a pas d'histoire de symbole de Christoffel ici.
Et deux systemes de coordonnées peuvent tres bien decrire exactement la meme region, c'est deja le cas sur R^n par exemple.

[invite473b98a4]

Je dois surement me répéter: En relativité générale, cad en espace courbe (je ne dis pas sur une variété parce que vous allez me dire qu'il en existe des plates), non, une carte ne décrit en général pas la même région, c'est comme ça, c'est dans tous les bouquins de RG, je peux vous en citer deux ou trois.

Normalement c'est valable, sauf qu'en RG, il faut voir qu'entre 2 systèmes de coordonnées, on ne décrira jamais exactement la même région de l'espace temps.

Et je ne vais pas commencer avec vous, je ne vous parlerai plus jamais. Et si si il est bien question de christoffel, même dans R^n. puisque les Christoffels servent à quoi?

[invite47ecce17]

Il y a une difference entre ne pas décrire en general la meme region, et ne jamais decrire la meme region. Le premier est correct, le second est faux.
Et non, les symboles de Christoffel (de quelle connexion d'abord?) n'interviennent pas dans l'expression de changement de carte pour la métrique, ou pour n'importe quel tenseur doit dit en passant.
Les symboles de christoffel servent simplement a donner l'action d'une connexion sur une base locale du fibré tangent. Ici il n'y a nullement besoin de savoir ca. Ni meme de choisir une connexion.

[invite473b98a4]

C'est vrai au temps pour moi. Mauvaise mémoire, je pensais à des tenseurs que l'on définit à partir de leur dérivée covariantes ou contrat variantes, comme c'est souvent ce qu'on fait comme calcul, donc forcément ils contiennent des christoffels, j'ai fait un petit mélange mnésique.

Plus simplement les Christoffel sont une manière d'évaluer comment les "coordonnées changent en fonction des coordonnées" quand les transformations entre systèmes de coordonnées ne sont pas linéaires. La métrique de Schwarschild s'appliquant à la RG, la connexion associée est celle de levi civita, bien que vous en sachiez surement plus que moi à propos des connexions. Et de mémoire, les christoffel apparaissent y compris entre deux systèmes décrivant R^n par exemple entre un repère comobile sphérique et un repère cartésien.

Par contre pour l'histoire des cartes ça me semble quand même être toujours le cas en RG dans la "réalité", car il est très difficile voire impossible de trouver une région de l'espace dont la courbure est totalement nulle. (déjà par la constante cosmologique et parce que la gravité a une portée infinie)

[Sethy]

Merci à vous pour ces éclaircissements. J'ai fait les changements à la main et j'ai presque fini ...

Au fait, il manquait aussi un r^2 dans la matrice, mais je n'avais pas rectifié sûr que vous l'auriez fait