Bonsoir,
J'ai une question au sujet des produits scalaires sous forme de Ket, Bra:
Pour faire le produit scalaire (sous forme Bra Ket) de <Ui|Vj> on fait simplement:
(U1, U2, U3) . V1
____________ V2
____________ V3
Alors que pour faire la même chose avec des vecteurs de la base réciproque, on doit utiliser la métrique:
(U1, U2, U3).gij.V1
_____________ V2
_____________ V3
Pourquoi doit on utiliser la métrique?
Merci de vos réponses
Bratak
Bonjour,
Pour deux vecteurs u et v, le produit scalire est(en utilisant la sommation d'Einstein) ; mais
If your method does not solve the problem, change the problem.
C'est plus simple, et bien plus correct de dire seulement :Envoyé par Phys2
Bonjour,
Pour deux vecteurs u et v, le produit scalire est
Pour deux vecteurs u et v, le produit scalaire est
Merci de vos réponses, j'ai bien compris vos démonstrations, mais je ne suis pas sur d'avoir bien exposé mon problème.
Par exemple, dans un de mes exercice on donne les vecteurs d'une base orthonormée:
e1=
1
0
0
e2=
0
1
1
e3=
1
0
1
Si on fait le prod. scalaire de ces vecteurs on trouve la métrique g.
<e1|e1>=g11
<e1|e2>=g12
<e1|e3>=g13
<e2|e1>=g21
<e2|e2>=g22
<e2|e3>=g23
<e3|e1>=g31
<e3|e2>=g32
<e3|e3>=g33
Donc ici on fait un produit scalaire simple, n'utilisant que les vecteurs de la base donnée.
Par la suite on calcule g-1 la métrique inverse et on nous dit que les colonnes de cette matrice sont les vecteurs de la base réciproque €1, €2 et €3
Et c'est ici que je ne saisie pas pourquoi les produits scalaire des vecteurs de la base réciproque font intervenir la métrique g.
<€1|€1>=€1.g.€1=g11
<€1|€2>=€1.g.€2=g12
<€1|€3>=€1.g.€3=g13
<€2|€1>=€2.g.€1=g21
<€2|€2>=€2.g.€2=g22
<€2|€3>=€2.g.€3=g23
<€3|€1>=€3.g.€1=g31
<€3|€2>=€3.g.€2=g32
<€3|€3>=€3.g.€3=g33
soit les composantes de la métrique inverse g-1.
Pourquoi lorsqu'on fait le prod.scalaire des vecteurs de la base réciproque on doit passer par la métrique alors que pour les vecteurs de la base initiale non?
C'est la notion de base réciproque qui est, disons, bizarre. Ci après, je préfère parler en termes de dual, en espérant que c'est bien la même chose.
Si la métrique et la base choisies sont telles que la métrique soit diag(1,1,1), alors on peut "confondre" un vecteur
[Le "vecteur dual"
Dans un cas différent, les coordonnées du vecteur dual dans la base duale (
Le produit scalaire de vecteurs duaux s'obtient en appliquant la métrique (
La métrique inverse apparaît donc comme ce qu'il faut appliquer aux vecteurs duaux pour obtenir le produit scalaire image de celui entre vecteurs.
D'accord, je pense avoir saisi maintenant, merci pour vos réponses et bonne continuation
