Quelques intégrales

[inviteb9de7e4c]

Bonjour j'ai deux intégrales à soumettre:
Entre Pi et -Pi:1/(1+cos²(x)) (en fait j'ai fait un changement de variable en tan mais a-t-on le droit car cela n'est pas bijectif??? Au final j'ai toruvé comme primitive 1/sqrt(2)*ln(tan(x)/sqrt(2))).
Entre 0 et 1: t/(t+sqrt(1-t²).
Je bloque je ne vois pas comment procéder.
Merci d'avance!!!!!!!
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[invited5b2473a]

1) Utilise la parité et découpe ton intégrale en morceaux.
2) Pose y = sin(t).

[inviteb9de7e4c]

POur la parité il me suffit de calculer 2*intégrale ente 0 et Pi.
Mais tan n'est tjs pas bijective entre 0 et Pi.

[invite57a1e779]

La fonction est périodique, de période ; tu cherches donc son intégrale sur deux périodes, qui est le double de l'intégrale sur une période.

Tu peux donc écrire : ; tu peux alors utiliser le changement de variable .

Tu peux de plus user de la parité pour écrire : ; mais cela ne simplifie pas spécialement le calcul.

Tu peux aussi calculer en utilisant le changement de variable .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9de7e4c]

Merci mon seul problème est que l'intégrale est alros entre Pi/2 et -Pi/2. Comment calculer la valeur de cette intégrale en Pi/2 et -Pi/2 alors tan n'est pas défini en Pi/2.

[invite9617f995]

Tu utilises alors les limites de la fonction tangente en -pi/2 et pi/2 soit respectivement - l'infini et + l'infini.

Sinon, tu peux aussi utiliser le changement t=tan(x/2), mais les calculs seront plus compliquées (si je ne me trompe pas ça te donnera une fraction rationnelle d'ordre plus grande donc plus longue à résoudre).

[inviteb9de7e4c]

Ca me fait donc +infini --infini donc + infini au final. Est-ce juste?

[invite9617f995]

J'ai pas trop compris ce que tu voulais dire ...
Si c'est de dire que ton intégrale diverge vers l'infini c'est faux, elle a une valeur finie.

Edit : et je viens de voir la primitive que tu proposais après le changement t=tan(x) et je trouve pas ça, peux-tu détailler tes calculs ?

[inviteb9de7e4c]

J'avais posé u=tanx. Je trouvais 1/(2+u^2). D'ou la primitive.

[invite9617f995]

Hmm déjà je trouve 1/(1+2u²) et non 1/(2+u²). Et puis de toute façon je vois pas comment tu te retrouves avec un ln avec ça, ça te donne un arctan.

[inviteb9de7e4c]

Je vais le refaire mais je trouvais bien 1/2+u^2.
En effet c'est du arctan j'ai mal lu le formulaire^^

[inviteb9de7e4c]

Mais j'ai alors du arctan(tan(x)/racine2)) qui ne se simplifie pas..

[invite9617f995]

Perso je trouve :


Or on a sqrt(2)*tan(x) qui tend vers - l'infini et + l'infini en x=-pi/2 et x=pi/2 et on a arctan qui tend vers -pi/2 et pi/2 en - l'infini et + l'infini donc on a :