Quelques questions en maths: intégrales, limites et séries

[invite13e0016f]

Bonjour,

il y a certaines choses que je ne comprends pas dans mes exercices, pourriez-vous m'expliquer? Merci

J'écris chaque question d'une couleur différente, pour bien les différencier.

on a les intégrales I_n=₀∫¹ f(x) dx
et J_n=₁∫^+∞ f(x) dx

avec f(x)= (ln x)ⁿ/(1+x)²

on pose comme changement de variable pour J_n u=1/x
on trouve alors que J_n=(-1)ⁿ ₀∫¹ ((ln u)ⁿ/(1+u)²) du

Le prof nous a dit que cela est égal à (-1)ⁿ I_n mais je ne comprends pas pourquoi car u et x, ce n'est pas la même chose.



J'ai mis ce qu'on a fait avec l'énocé de l'exercice en pièce jointe. La réponse est sur deux pages.

Je ne comprends pas pourquoi ∑ n e^{-n alpha} converge. J'ai essayé le théorème des gendarmes mais je n'y arrive pas.

Je ne comprend pas non plus, dans l'intégrale, comment l'on passe de la dernière ligne de la 1^ère feuille à la première de la 2^ème feuille.
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[invite57a1e779]

je ne comprends pas pourquoi car u et x, ce n'est pas la même chose

Mais si !! C'est la même chose, le nom de la variable d'intégration n'a aucune importance (c'est pourquoi on dit que c'est une variable muette) : .
Pour calculer ces intégrales, tu utilises une primitive que tu appelles ou ou suivant le cas, mais le nom de la variable ne change rien, ni aux calculs ni au résultat.

[invite57a1e779]

Je ne comprends pas pourquoi ∑ n e^{-n alpha} converge. J'ai essayé le théorème des gendarmes mais je n'y arrive pas.

On obtient rapidement la convergence de la série en utilisant la règle de d'Alembert.

Je ne comprend pas non plus, dans l'intégrale, comment l'on passe de la dernière ligne de la 1^ère feuille à la première de la 2^ème feuille.[/COLOR]

On détermine la primitive F de f qui s'annule en a en intégrant la série terme à terme, ce qui est licite grâce à la convergence normale.
On obtient, en bas de la première page, l'expression de F(b).

Par définition même d'une primitive, on dérive en F'=f ; et c'est ce qu' l'on s'empresse de faire en haut de la deuxième page afin de calculer f(b) !!!

[invite13e0016f]

C'est la même chose, le nom de la variable d'intégration n'a aucune importance (c'est pourquoi on dit que c'est une variable muette)

Merci! je ne le savait pas!

On détermine la primitive F de f qui s'annule en a en intégrant la série terme à terme, ce qui est licite grâce à la convergence normale.
On obtient, en bas de la première page, l'expression de F(b).

Par définition même d'une primitive, on dérive en F'=f ; et c'est ce qu' l'on s'empresse de faire en haut de la deuxième page afin de calculer f(b) !!!

Ok, merci, j'ai compris. En fait, c'était tout bête! Je crois que ce qui me gênait était les b.

[A voir en vidéo sur Futura]