Séries et intégrales

[mehdi_128]

Bonjour je bloque un peu sur cet exercie:

Soit a un réel.On considère l'intégrale:



a/Montrer que cette série est convergente.(j'ai réussi par comparaison )

b/Montrer que la série:

est uniformément convergente sur [1,x] pour tout x>0 et donner sa somme.

Pour uniformément j'aurai tendance a faire la convergence normale avec :

Ninfini(f_n(t)) = exp(-nx) qui tend vers 0 mais pas sur du tout.
Pour la somme j'ai aucune idée.....

c/En déduire sous forme de série:



d/Montrer que la série obtenue est uniformément convergente pour tout x>= 1 et en déduire l'expression de I(a ) sous forme de série.


merci d'avance ...
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[invite35452583]

b) la convergence normale, très bien, quand ça converge sans difficulté pourquoi s'embêter ?
Pour la somme, (-1)ⁿe^-nt=(-e^-t)ⁿ, si je ne m'abuse.

Une fois fait, tu devrais t'apercevoir que tu peux remplacer le dénominateur dans l'intégrale par une série ce qui répondra au c).

[mehdi_128]

b) la convergence normale, très bien, quand ça converge sans difficulté pourquoi s'embêter ?
Pour la somme, (-1)ⁿe^-nt=(-e^-t)ⁿ, si je ne m'abuse.

Une fois fait, tu devrais t'apercevoir que tu peux remplacer le dénominateur dans l'intégrale par une série ce qui répondra au c).

merci pour ton aide ....

[mehdi_128]

Je trouve:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Je trouve:

n commence en 1 pas en 0.

[mehdi_128]

Je trouve:

et la je bloque car pour intervertir il me faut la convergence uniforme. ...

[mehdi_128]

et la je bloque car pour intervertir il me faut la convergence uniforme. ...

C'est plutot:

[invite35452583]

n commence en 1 pas en 0.

Le calcul de ta série n'est pas bonne ce qui fait que la série sous ton intégrale ne converge pas (on obtient du e^-nx et non du e^nx).

[mehdi_128]

Le calcul de ta série n'est pas bonne ce qui fait que la série sous ton intégrale ne converge pas (on obtient du e^-nx et non du e^nx).

Ah oui donc:



c'est ca ?

[invite35452583]

Ah oui donc:



c'est ca ?

OUi, maintenant, tu peux factoriser par e^-t "en haut et en bas" pour simplifier l'expression.

[mehdi_128]

OUi, maintenant, tu peux factoriser par e^-t "en haut et en bas" pour simplifier l'expression.

Oui ca donne:



A t_on besoin de la convergence uniforme pour intervertir somme et intégrale ?

[invite35452583]

A t_on besoin de la convergence uniforme pour intervertir somme et intégrale ?

Ce n'est pas indispensable mais c'est une condition suffisante pour des intégrales sur un intervalle [a;b] a, b réels, comme c'est le cas ici autant ne pas se géner.