Problème de vecteurs propres

[invitedfb61b74]

Bonjour a tous.

La question devrait être vite réglée je pense, je vous fais confiance .

Je bloque bêtement sur une diagonalisation de matrice a cause de vecteur propres que je n'arrive pas a denicher. Voici la matrice dont il est question :



J'ai rapidement trouvé les valeurs propres a l'aide de la matrice identité : 2 et la racine double 1

Pour la premiere des trois on obtient le vecteur propre :

Par contre, pour ce qui est des deux autres, je patauge.

J'applique la formule :

jusqu'a arriver au systeme suivant :


Vous comprenez mon embarras .
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[invitea07f6506]

Tu as fait une erreur dans le calcul des valeurs propres. 2 est racine double, et il existe une autre valeur propre évidente (mais pas 1). Si nécessaire, recalcule le déterminant de , mais ça se voit à l'oeil nu.

Pour la valeur propre deux, tu peux trouver deux vecteurs propres facilement en écrivant A-2I, mais celui que tu donnes n'en est pas un. Pour t'en convaincre, calcule A(1,1,1) - et plus généralement, dans ce genre de cas, calcule l'image de tes vecteurs propres par ta matrice pour vérifier que ton calcul est bon..

[invitedfb61b74]

Merci pour ta reponse.

Effectivement, je m'etais planté dans le calcul de mes valeurs propres. J'ai du me trompé d'exercice quand j'ai fait les calculs .

Je trouve 2 comme racine double et 0 (je presume que c'est celle-ci que tu dis etre evidente. comment le vois-tu ?).

Je parviens facilement au premier vecteur propre :

En revanche j'ai le meme probleme pour la racine double. Je retombe sur le meme genre de sale systeme . J'ai calculé mais bon, j'imagine que doit avoir une égalité pour pouvoir en tirer quelque chose .

[invite7ffe9b6a]

Merci pour ta reponse.

Effectivement, je m'etais planté dans le calcul de mes valeurs propres. J'ai du me trompé d'exercice quand j'ai fait les calculs .

Je trouve 2 comme racine double et 0 (je presume que c'est celle-ci que tu dis etre evidente. comment le vois-tu ?).

Je parviens facilement au premier vecteur propre :

En revanche j'ai le meme probleme pour la racine double. Je retombe sur le meme genre de sale systeme . J'ai calculé mais bon, j'imagine que doit avoir une égalité pour pouvoir en tirer quelque chose .

On voit que 0 est valeur propre parce que rg(A)=2 (La premiere ligne + la troisieme donne la deuxieme).

si rg(A)=2
alors dim(kerA)=2
donc il existe x dans Ker(A)=Ker (A-0 I)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

Pour la valeur Propre 2.
Je trouve 2 vecteurs propres: (1,0,-1) et (1,2,1)

[invitedfb61b74]

Je me suis trompé.

La matrice que j'ai donné n'est pas la bonne ...

Remplacez par

[invitedfb61b74]

Dans ce cas la, les valeurs propres sont bien 2 et 1 (racine double) et le systeme que j'ai donné est bien celui que l'on obtient avec la formule

Du coup j'ai toujours le meme probleme pour determiner les vecteurs propres a partir de la racine double.

Antho. Je presume que ta methode reste la meme qu'avec premiere matrice que j'avais donné. Tu peux m'expliquer tout ca ?

[invitebb921944]

Salut !
Je capte pas trop le problème !
Il suffit de trouver 2 vecteurs propres qui vérifient ton système et de manière à ce que tes 3 vecteurs propres ne soient pas liés.
Au hasard :
(1,0,1) et (1,-1,0) vérifient cela.
Tu as donc P, tu calcules P^(-1) et tu n'as plus qu'à vérifier que
P^(-1)AP=D où D est ta matrice diagonale.
Si un jour tu as un problème pour calculer le deuxième vecteur propre associé à une valeur propre, cherche le dans Ker[(A-tI)²]. (puis dans Ker[(A-tI)^3] pour le troisième vecteur propre si t est de mulitiplicité 3 et ainsi de suite)

[invite62ffc9d0]

On voit que 0 est valeur propre parce que rg(A)=2 (La premiere ligne + la troisieme donne la deuxieme).

si rg(A)=2
alors dim(kerA)=2
donc il existe x dans Ker(A)=Ker (A-0 I)

0 est valeur propre car déterminant de A =0 (1ère et 3ème colonnes opposées)
Er rang(A)=dim(ImA)=n-dim(KerA).