séries

[invite572ebd1a]

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice qui me paraît difficile.

a) Ecrire les développements en séries entières des fonctions
Arctan (x) et ln(1+x²)
Préciser les rayons de convergence.

J'ai seulement trouvé le développement de Arctan(x)

b) Chercher les solutions développables en séries entière de l'équation différentielle
x(x²+1)y''+(x²-1)y'=1.
Exprimer ces solutions à l'aide des fonctions du a).

c) Résoudre l'équation différentielle
x(x²+1)z'+(x²-1)z=1.
En déduire que l'équation différentielle du b) n'a d'autres solutions que celles déterminées dans la question b).

Voilà je n'arrive pas du tout à faire cet exercice pouvez-vous me donner des indications svp?
Merci.
-----

[cedbont]

Bonjour,
pour la a) ln(1+x²) tu connais (?) le développement en SE de ln(1+u) donc tu fais un changement de variable et hop c'est bon !

[invite572ebd1a]

ok je trouve
Est-ce que c'est juste?
Pour le rayon de convergence je sais qu'il faut calculer an et an+1 maisje ne sais pas ce qu'est an ici.

[cedbont]

Oui, c'est juste. Pour calculer le rayon de convergence, utilise le critère de d'Alembert en considérant que ta série à pour variable x² (ça évite d'avoir des a_n nuls une fois sur deux).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite572ebd1a]

Je n'ai pas bien compris comment je dois faire pour que les an ne s'annulent pas une fois sur deux.

[invite572ebd1a]

Personne ne peut m'aider un peu?

[inviteaf1870ed]

Si tu écris u=x², que deviennent les an de ta série ? Tu en déduis le rayon de convergence.
Pour comprendre l'exercice je te suggère également de dériver arctan(x) et
ln(1+x²)

[invite572ebd1a]

Si tu écris u=x², que deviennent les an de ta série ? Tu en déduis le rayon de convergence.

Je ne vois pas trop ce que devienne les an je ne vois pas ce qu'est an exactement ici.

Pour comprendre l'exercice je te suggère également de dériver arctan(x) et
ln(1+x²)

Dérivée de Arctang(x)=1/(1+x²) et dérivée de ln(1+x²)=2x/(1+x²)

[invite572ebd1a]

J'ai besoin d'un peu d'aide svp.

[inviteaf1870ed]

Ta somme s'écrit :
Ecris u=x², ta somme devient
Cette somme n'a pas de termes nuls, tu peux en calculer le rayon de convergence

[invite572ebd1a]

ok merci.
Pour l'équation différentielle je n'arrive pas à la résoudre.

[inviteaf1870ed]

Pour le b) tu dérives ta série terme à terme, puis tu fais les multiplications et les sommes. Tu vas trouver une équation pour les coefficients an. Ensuite tu n'as plus qu'à identifier avec les séries entières que tu connais.

[invite572ebd1a]

ok merci je pense avoir trouvé.