Probabilité de gagner 2 fois à l'Euromillion

[invite394471b6]

Bonjour !
Quelqu'un peut-il m'aider?
Voilà de quoi il s'agit. J'ai vu dans le journal un article qui traitait de la probabilité de gagner à l'Euromillion. Le journaliste disait que la probabilté de gagner le gros lot était de 1/ 76 275 360. (environ) ==> Cela est exact.
Or, un (heureux) gagnant ayant joué 2 fois le même numéro au même tirage a gagné 2 fois (en réalité les 2/3 du jackpot, puisqu'il y avait un 3ème gagnant ailleurs en Europe. Le journaliste disait que la probabilité de gagner 2 fois au même tirage était de :
1 / (2 x 76 275 360) = 1 / 152 550 720
Cela m' a semblé complètement faux ! La probabilté exacte étant plutôt, d'après moi, de l'ordre de :
1 / (76 275 360)^2 = 1 / (5 817 930 543 129 600)

J'en ai fait part à des amis lors d'un dîner, qui m'ont dit que j'avais tort, et que c'était le journaliste qui avait raison. Quelqu'un peut-il me donner la réponse?

Je rappelle les principes de l'EuroMillion :
L'EuroMillion consiste à choisir :
- 5 nombres de 1 à 50, soit 5 objets parmi 50, ce qui correspond encore au nombre de combinaisons de 5 objets parmi 50 soit :
(50!)/[(45!)*(5!)] = 2 118 760
- et choisir en même temps 2 étoiles parmi 9, ce qui correspond au nombre de combinaisons de 2 objets parmi 9, soit :
(9!) / [(7!) * (2!)] = 36
Chaque jeu correspond donc à un nombre de combinaisons de :
2 118 760 * 36 = 76 275 360

Par ailleurs, voici des précisions sur le problème :
* il n'y a pas plus d'une combinaison gagnante à chaque tirage
* Le gagnant a joué 2 fois le même n° à 1 même tirage (peut-être par erreur, mais qu'importe, en général, lorsqu'on joue à l'Euromillion, on ne joue pas 2 fois la même combinaison, on joue en 2ème combinaison plutôt une autre combinaison que la première).

-- Voici mes hypothèses et conclusions (merci de me dire si elles sont valables !)
Il me semble :
* que les probabilités de gagner 1 fois, c'est-à dire avec une mise ou 2 fois, c'est-à dire avec 2 mises, pour le même tirage sont indépendantes du nombre de joueurs et de gagnants
* que la probabilité de gagner à 2 tirages successifs avec 2 combinaisons différentes à 1 Euro chacune
(2 fois x 1E = 2E) est la même que de gagner 2 fois au même tirage avec la même combinaison
(1 fois * 2E = 2E ). La dépense est la même, le gain est le même (toutes choses étant égales par ailleurs, bien sûr), et donc l'espérance mathématique est la même.

Dans ces conditions, j'aimerais savoir, strictement et au sens mathématique des probabilités, quelle est la probabilité de gagner avec une double validation lors d'un tirage de l'Euromillion.
est ce bien 1 / [(76 275 360)^2] et non pas 1/ ( 2 x 76 375 360) ?

Merci de me répondre (à condition que la réponse ait une certaine fiabilité, pour que je puisse m'en prévaloir!). J'ai tjs été plutôt bon en maths, mais mes cours sur les probabilités remontent à un certain temps !

Cordialement,
Marc
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[taladris]

Salut! J'ai survolé ton post. J'espère ne pas me tromper mais c'est un simple problème d'équiprobabilité. Alors:

-> Nombre de cas probables: c'est le nombre de tirages possibles à savoir 76 275 360.

Après je n'ai pas compris ce que tu cherchais exactement:
-> si le joueur joue deux fois la même combinaison, le nombre de cas favorable reste 1: la combinaison qu'il a joué. Soit une probabilité p=1/76275360.La probabilité ne change pas. (par contre, si il gagne et si il y a un autre gagnant, son gain est plus grand: 2/3 de la gagnotte pour deux tickets contre 1/2 si il joue un unique ticket)

-> si le joueur joue deux combinaisons différentes, le nombre de cas favorable est 2 (les deux combinaisons qu'il a joué) donc la probabilité est 2/76275360=1/38137680

-> Si tu cherches la probabilité de gagner deux fois en deux tirages successifs, c'est 1/76275360² (indépendance des tirages), que tu joue la même combinaison à chaque tirage ou des combinaisons différentes.

Voili voilou

[Médiat]

taladris a raison sur toute la ligne, quant au cas cité par Marc_1000, c'est la réponse 1 qui convient (le joueur jouait toujours la même combinaison, et une semaine il a oublié avoir déjà joué, il a donc rejoué les mêmes N° ; on pourrait se demander quelle est la probabilité pour qu'un joueur répète ce schéma la semaine où ce joueur gagne, est une bonne question, mais j'ai peur qu'elle reste sans réponse : trop d'inconnus).

[invite394471b6]

Salut! J'ai survolé ton post. J'espère ne pas me tromper mais c'est un simple problème d'équiprobabilité. Alors:

-> Nombre de cas probables: c'est le nombre de tirages possibles à savoir 76 275 360.

Après je n'ai pas compris ce que tu cherchais exactement:
-> si le joueur joue deux fois la même combinaison, le nombre de cas favorable reste 1: la combinaison qu'il a joué. Soit une probabilité p=1/76275360.La probabilité ne change pas. (par contre, si il gagne et si il y a un autre gagnant, son gain est plus grand: 2/3 de la gagnotte pour deux tickets contre 1/2 si il joue un unique ticket)

-> si le joueur joue deux combinaisons différentes, le nombre de cas favorable est 2 (les deux combinaisons qu'il a joué) donc la probabilité est 2/76275360=1/38137680

-> Si tu cherches la probabilité de gagner deux fois en deux tirages successifs, c'est 1/76275360² (indépendance des tirages), que tu joue la même combinaison à chaque tirage ou des combinaisons différentes.

Voili voilou

Merci beaucoup, Taladris, pour cette réponse claire.

Comme ma question ne semblait pas parfaitement précise, puisqu'elle soulève d'autres questions, j'essaye de mieux la formuler :
Quelle est la probabilité, à un même tirage et avec 2 mises, de gagner le double du gain nominal? (gain nominal = gain pour une mise)
(peut-être peut-on raisonner en termes d'espérance mathématique -- produit de la probabilité par le gain --)
Je suis à la fois de ton avis, et de l'avis de Mediat, que je remercie également au passage pour sa réponse : quelle est la probabilité qu'un joueur répète ce schéma de jouer 2 fois juste la fois où il gagne? A mon avis, elle n'est pas de 1,(ce qui donnerait comme tu le dis une probabilité finale de 1/76 275 360),
ni de (1/2) comme le laisse supposer le journaliste (ce qui donnerait une probabilité finale de (1 / 152 550 720) car la proportion de joueurs qui jouent 2 fois la mise sur la même combinaison n'est pas de (1/2).
Pour avoir la réponse, il me semble (mais peut-être me trompè-je) que l'on peut raisonner, encore une fois, en termes d'espérance mathématique, c'est à dire à chercher la probabilité par rapport à un gain double escompté.
Ne peut-on dire que la probabilité de gagner 2 fois au même tirage est comparable à la probabilité de gagner 2 fois à 2 tirages successifs (puisque la mise est la même -- 1 x 2 Euros = 2 x 1 Euro -- et le gain est le même, toutes choses étant égales par ailleurs bien sûr.

Merci d'avance pour les éclaircissements que vous pourrez m'apporter sur la question.
Cordialement,
Marc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0617f33f]

Quelle est la probabilité, à un même tirage et avec 2 mises, de gagner le double du gain nominal? (gain nominal = gain pour une mise)
(peut-être peut-on raisonner en termes d'espérance mathématique -- produit de la probabilité par le gain --)

Si on parle du gros lot (une seule combinaison gagnante), et en admettant que le joueur gagne au moins une fois, elle est de :
1 s'il joue deux fois la même combinaison
0 dans tous els autres cas

Je suis à la fois de ton avis, et de l'avis de Mediat, que je remercie également au passage pour sa réponse : quelle est la probabilité qu'un joueur répète ce schéma de jouer 2 fois juste la fois où il gagne? A mon avis, elle n'est pas de 1,(ce qui donnerait comme tu le dis une probabilité finale de 1/76 275 360),
ni de (1/2) comme le laisse supposer le journaliste (ce qui donnerait une probabilité finale de (1 / 152 550 720) car la proportion de joueurs qui jouent 2 fois la mise sur la même combinaison n'est pas de (1/2).
Pour avoir la réponse, il me semble (mais peut-être me trompè-je) que l'on peut raisonner, encore une fois, en termes d'espérance mathématique, c'est à dire à chercher la probabilité par rapport à un gain double escompté.

Là on arrive dans un domaine purement statistique : il faudrait faire une étude sur le comportement des joueurs, afin de déterminer la fréquence à laquelle un joueur joue deux fois la même combinaison pour un tirage. Impossible je pense de calculer ça.

Ne peut-on dire que la probabilité de gagner 2 fois au même tirage est comparable à la probabilité de gagner 2 fois à 2 tirages successifs (puisque la mise est la même -- 1 x 2 Euros = 2 x 1 Euro -- et le gain est le même, toutes choses étant égales par ailleurs bien sûr.

Non, la probabilité de gagner à 2 tirages successifs est de 1/76275360² , comme cela a été dit. La probabilité de gagner 2 fois au même tirage est de 1/76275360 * p, où p est la probabilité qu'il ait joué deux fois. Probabilité qu'on ne peut obtenir que par une étude statistique, comme precisé plus haut.

[invite394471b6]

Si on parle du gros lot (une seule combinaison gagnante), et en admettant que le joueur gagne au moins une fois, elle est de :
1 s'il joue deux fois la même combinaison
0 dans tous els autres cas




Là on arrive dans un domaine purement statistique : il faudrait faire une étude sur le comportement des joueurs, afin de déterminer la fréquence à laquelle un joueur joue deux fois la même combinaison pour un tirage. Impossible je pense de calculer ça.




Non, la probabilité de gagner à 2 tirages successifs est de 1/76275360² , comme cela a été dit. La probabilité de gagner 2 fois au même tirage est de 1/76275360 * p, où p est la probabilité qu'il ait joué deux fois. Probabilité qu'on ne peut obtenir que par une étude statistique, comme precisé plus haut.

o.k., merci pour vos réponses, je considère le problème résolu !

Cordialement,
Marc

[invite394471b6]

o.k., merci pour vos réponses, je considère le problème résolu !

Cordialement,
Marc

Après réflexion complémentaire, je me suis demandé si le problème que j'ai posé (probabilité du double gain à l'EuroMillion) ne serait pas mathématiquement équivalent au problème suivant. La solution serait alors évidente. Mais où est la faille (s'il y en a une?):
-- Soit une urne contenant 76 275 360 boules numérotées
-- On affiche le n° gagnant d'un seul tirage, par exemple , le N° 12 345 678
-- Une mise coûte un Euro et consiste à donner le droit à faire sortir une boule, pour ce tirage unique. Après chaque mise, on remet la boule dans l'urne. On gagne si la boule a le même n° que le tirage.
==> Quelle est la probabilité, avec 2 mises c'est-àdire 2 €, de gagner 2 fois?

Là, la réponse est bien 1/ (76 250 360)².
Je ne vois pas où ce problème diffère du problème initial. (un joueur qui a gagné 2 fois le gros lot à l'Euromillion avec une mise de 2 € à un même tirage)
Merci de vos éclairages sur la question.
Cordialement,
Marc

[Médiat]

Là, la réponse est bien 1/ (76 250 360)².
Je ne vois pas où ce problème diffère du problème initial. (un joueur qui a gagné 2 fois le gros lot à l'Euromillion avec une mise de 2 € à un même tirage)
Merci de vos éclairages sur la question.

Il ne différerait pas si le joueur avait joué deux combinaisons au hasard (comme prendre 2 boules au hasard), alors qu'il a joué deux fois la même combinaison parce qu'il joue toujours cette combinaison ; pour avoir l'équivalent avec les boules il faudrait imaginer que le joueur triche et prenne deux fois la même boule sans que le hasard y soit pour quoi que ce soit.

[invite394471b6]

Il ne différerait pas si le joueur avait joué deux combinaisons au hasard (comme prendre 2 boules au hasard), alors qu'il a joué deux fois la même combinaison parce qu'il joue toujours cette combinaison ; pour avoir l'équivalent avec les boules il faudrait imaginer que le joueur triche et prenne deux fois la même boule sans que le hasard y soit pour quoi que ce soit.

En fait, il a joué par hasard 2 fois la même combinaison.

De plus un joueur, dans le cas général joue "un peu comme il veut", soit en jouant des combinaisons préétablies, soit des combinaisons au hasard. La façon dont il choisit 1 de ces 2 possibilités, ne doit pas en principe, à mon avis, intervenir dans le calcul des probabilités.
Qu'en pensez-vous?

[Médiat]

En fait, il a joué par hasard 2 fois la même combinaison.
De plus un joueur, dans le cas général joue "un peu comme il veut", soit en jouant des combinaisons préétablies, soit des combinaisons au hasard. La façon dont il choisit 1 de ces 2 possibilités, ne doit pas en principe, à mon avis, intervenir dans le calcul des probabilités.
Qu'en pensez-vous?

Non, effectivement cela n'intervient pas pour une combinaison, mais si une personne joue toujours la même combinaison, la probabilité pour qu'il joue deux fois de suite la même combinaison est 100%... Ce qui est le cas du gagnant dont on parle, cf. le post #3.

[invite394471b6]

Non, effectivement cela n'intervient pas pour une combinaison, mais si une personne joue toujours la même combinaison, la probabilité pour qu'il joue deux fois de suite la même combinaison est 100%... Ce qui est le cas du gagnant dont on parle, cf. le post #3.

J'affirme "péremptoirement" que le joueur ne jouait pas forcément toujours la même combinaison. (En tout cas, ce n'est pas moi qui l'ai dit, et je ne connais pas du tout ses intentions)
Je pense en définitive, toujours dans le cadre de la comparaison du problème comportant une urne géante, problème qui me semble plus simple, et pour ne pas faire intervenir des considérations psychologiques du joueur (qu'on ne connait pas) dans le genre avait-il envie de jouer la même combinaison, l'a-t-il jouée par hasard ... :
- que si le joueur a coché 1 seule fois une combinaison avec une mise double de 2 Euros, alors strictement la probabilité est de 1/76 250 360
- que si le joueur a coché à 2 reprises (à 1 jour d'intervalle, en plus) alors la probabilité est de 1/(76 250 360)²
Or, à l'Euromillion, on ne peut pas jouer une mise double, on est obligé de cocher 2 fois la même combinaison.

Cordialement,
Marc Robert