quelques questions sur les limites

[Seirios]

Salut à tous,
je suis en train de faire le chapitre de mon cours sur les limites, et il y a quelques questions qui me posent problème :

Calculer
Comme et
Alors est indéterminée
=> Je ne comprend pas pourquoi les résultats et entraîne le résultat final


Calculer
Comme
Alors
=> Je ne comprend pas pourquoi le résultat entraîne le résultat final


Merci d'avance
Phys2
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[invite5690f305]

Calculer
Comme
Alors
=> Je ne comprend pas pourquoi le résultat entraîne le résultat final




Comme

est faux qd x tend vers 2 (+ ou -) 2x-4 tend vers 0 donc son inverse vers l'infini.

[invite5690f305]

pour la première si a gauche ca tend vers - infini et a droite vers + infini tu peux pas connaitre la limite en 2. c'est comme 1/x en 0 tu connais pas la limite

[Cassano]

Pour la premiere, comme tu as une limite différente a gauche et a droite, tu ne peux pas dire que tu as une limite en 2. Pour ca, ils faudrait que les limites a gauche et a droite soient égales...

Pour le deuxième tu as du faire une erreur. Les deux limites sont bien égales, mais sont égales a + l'infini et non a 0+. e tcomme les deux limites sont égales, la limitre ne 2 est + l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour le deuxième tu as du faire une erreur. Les deux limites sont bien égales, mais sont égales a + l'infini et non a 0+. e tcomme les deux limites sont égales, la limitre ne 2 est + l'infini.

Oui effectivement, tu as raison j'ai fait une erreur. La version correcte est (Raphäel futur ingénieur l'avait également corrigé, mais je le réécris pour plus de clarté):

Calculer
Comme
Alors

Pour la premiere, comme tu as une limite différente a gauche et a droite, tu ne peux pas dire que tu as une limite en 2. Pour ca, ils faudrait que les limites a gauche et a droite soient égales...

Oui mais pourquoi ? parce que c'est écrit dans mon bouquin mais il n'y a pas d'explication

[Romain-des-Bois]

Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, ça veut dire que ta fonction n'est pas continue en ce point.
Essaye de la tracer sans lever le crayon : c'est impossible !

Pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en a, une méthode est de montrer que la limite à gauche et la limite à droite en a sont différentes.

[Seirios]

Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, ça veut dire que ta fonction n'est pas continue en ce point

Et donc que la valeur du point en question ne tend vers aucune valeur, et donc que la limite de ce point est indéterminé (je crois que je commence à comprendre )
Et pour le deuxième calcul de limite, la limite à gauche est identique à la limite de droite (égale à ), donc la fonction est continue en ce point, et la valeur en ce point temps vers (surtout corrigez moi si je me trompe)
Merci à tous

[ericcc]

Hmmmm...

Si une fonction tend vers + infini, on peut guère dire qu'elle est continue en ce point. Pour qu'elle soit continue, il faut certes que les limites droite et gauche soient égales, mais il faut également qu'elle soit un réel.

Par exemple la fonction 1/x² n'est pas continue en 0, même si les limites à droite et à gauche sont identiques.

L'analogie avec "tracer à la main" est bonne : comment traces tu un point à l'infini ?

[invite202d02c7]

Il faut bien comprendre que la forme b/0 reste une forme indéterminé même si tu peut conclure que celle si tend vers le même infini à gauche et à droite. Pourquoi la limite n'existe pas si elle ne tend pas vers la même valeur à gauche et à droite? La limite est une méthode qui sert à suivre le tracé d'une fonction pour en dèduire la position d'un point (ce qui ne garanti pas que le point est à la limite ou même qu'il existe) or si l'on trouve une réponse différente en suivant le tracé à partir de la gauche que si l'on le suit de la droite il est impossible de déduire logiquement la position de ce point.

[Cassano]

On fait d'ailleurs souvent ce qu'on appelle un prolongement par continuité d'une fonction (c'est a dire qu'on considèere une fonction continue sur un intervalle, même si elle n'est pas définie en un point X0 de cet intervalle, et ce a condition que la limite soit la meme a gauche et a droite en X0, et qu'elle soit finie).

Comme ca a été di, l'analogie avec le tracé "sans lever le crayon" est bonne. Sinon un peu de logique suffit. Si tu fais ce que j'ai di, un prolongement par continuité, tu peux dire que ta fonction f s'applique en tout point de I, même en X0 (il me semble qu'on la note alors f~). Or quelle est la définition d'une fonction : pour tout x de I, correspond un et un seul point y, appelée image (c'est pour ca que le graphe d'une fonction ne peut pas revenir sur lui-même). A ce moment la, tout devient clair (enfin j'espere ) : si l'image un point X0 est une ordonnée unique, et si tu as deux limites différentes en X0, il est faux et absurde de dire que ta fonction est définie en ce point X0 (puisque la définiton de la fonction même ne s'applique pas...).

[matthias]

Or quelle est la définition d'une fonction : pour tout x de I, correspond un et un seul point y, appelée image

Ca dépend de ce que tu appelles I. Si c'est l'ensemble de départ alors ta définition est fausse (ce serait en ce cas la définiton d'une application). Si I est l'ensemble de définition de la fonction, alors c'est vrai mais c'est prendre le problème à l'envers (pour savoir ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, il faut déjà savoir ce qu'est une fonction).

si l'image un point X0 est une ordonnée unique, et si tu as deux limites différentes en X0, il est faux et absurde de dire que ta fonction est définie en ce point X0 (puisque la définiton de la fonction même ne s'applique pas...).

C'est encore prendre le problème à l'envers à mon avis. C'est la définition de la limite qui lui impose son unicité quand elle existe.
On peut très bien avoir une fonction qui soit définie en X₀ et qui admette une limite à gauche et à droite différentes en X₀ (mais elle n'admet alors pas de limite en X₀ bien sûr).

[Seirios]

Encore une petite question mais de méthode cette fois ci :
Pour calculer on me donne la méthode suivante :



Donc

Mais je suis arrivé au même résultat mais avec une méthode différente :


Donc

La méthode est-elle correcte ?

[matthias]

Mais je suis arrivé au même résultat mais avec une méthode différente :


Donc

La méthode est-elle correcte ?

Arghhhhh, non. Tu ne peux rien conclure si tu multiplies un terme qui tend vers 0 par un terme qui tend vers l'infini.
Si j'utilise ta méthode avec :
1/x tend vers 0+ en + l'infini.
tend vers + l'infini.
Donc tend vers + l'infini.
Or c'est évidemment faux.

La bonne méthode est celle qui t'est proposée, à savoir de mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers l'infini au dénominateur et au numérateur (ici x au numérateur et au dénominateur).

Tu as aussi d'autres méthodes quand tu as des racines carrées, comme l'utilisation de l'expression conjuguée.

[Cassano]

J'appelais I l'intervalle de définition. ET c'est vrai que dans les deux cas, j'ai un peu pris le problème a l'envers. Pour la deuxième aprtie, je parlais d'une fonction non définie en X0 (dans le cas que tu présente, il n'y aurai pas de limite en effet, même si la fonction est définie).

Maintenant c'est ma logique perso, j'ai jamaisdis que j'étais pas tordu .

Je suis pas un matheux, pour moi, les maths ne sont qu'un outil (très) laborieux, où je peine grandement!!

[matthias]

J'appelais I l'intervalle de définition.

A ceci près que l'ensemble de définition n'est pas nécessairement un intervalle