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quelques questions sur les limites



  1. #1
    Seirios

    quelques questions sur les limites


    ------

    Salut à tous,
    je suis en train de faire le chapitre de mon cours sur les limites, et il y a quelques questions qui me posent problème :

    Calculer
    Comme et
    Alors est indéterminée
    => Je ne comprend pas pourquoi les résultats et entraîne le résultat final


    Calculer
    Comme
    Alors
    => Je ne comprend pas pourquoi le résultat entraîne le résultat final


    Merci d'avance
    Phys2

    -----

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  3. #2
    Raphaël futur ingénieur

    Re : quelques questions sur les limites

    Calculer
    Comme
    Alors
    => Je ne comprend pas pourquoi le résultat entraîne le résultat final




    Comme

    est faux qd x tend vers 2 (+ ou -) 2x-4 tend vers 0 donc son inverse vers l'infini.

  4. #3
    Raphaël futur ingénieur

    Re : quelques questions sur les limites

    pour la première si a gauche ca tend vers - infini et a droite vers + infini tu peux pas connaitre la limite en 2. c'est comme 1/x en 0 tu connais pas la limite

  5. #4
    Cassano

    Re : quelques questions sur les limites

    Pour la premiere, comme tu as une limite différente a gauche et a droite, tu ne peux pas dire que tu as une limite en 2. Pour ca, ils faudrait que les limites a gauche et a droite soient égales...

    Pour le deuxième tu as du faire une erreur. Les deux limites sont bien égales, mais sont égales a + l'infini et non a 0+. e tcomme les deux limites sont égales, la limitre ne 2 est + l'infini.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Seirios

    Re : quelques questions sur les limites

    Citation Envoyé par Cassano
    Pour le deuxième tu as du faire une erreur. Les deux limites sont bien égales, mais sont égales a + l'infini et non a 0+. e tcomme les deux limites sont égales, la limitre ne 2 est + l'infini.
    Oui effectivement, tu as raison j'ai fait une erreur. La version correcte est (Raphäel futur ingénieur l'avait également corrigé, mais je le réécris pour plus de clarté):

    Calculer
    Comme
    Alors

    Pour la premiere, comme tu as une limite différente a gauche et a droite, tu ne peux pas dire que tu as une limite en 2. Pour ca, ils faudrait que les limites a gauche et a droite soient égales...
    Oui mais pourquoi ? parce que c'est écrit dans mon bouquin mais il n'y a pas d'explication

  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : quelques questions sur les limites

    Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, ça veut dire que ta fonction n'est pas continue en ce point.
    Essaye de la tracer sans lever le crayon : c'est impossible !

    Pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en a, une méthode est de montrer que la limite à gauche et la limite à droite en a sont différentes.

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  10. #7
    Seirios

    Re : quelques questions sur les limites

    Citation Envoyé par Romain29
    Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, ça veut dire que ta fonction n'est pas continue en ce point
    Et donc que la valeur du point en question ne tend vers aucune valeur, et donc que la limite de ce point est indéterminé (je crois que je commence à comprendre )
    Et pour le deuxième calcul de limite, la limite à gauche est identique à la limite de droite (égale à ), donc la fonction est continue en ce point, et la valeur en ce point temps vers (surtout corrigez moi si je me trompe)
    Merci à tous

  11. #8
    ericcc

    Re : quelques questions sur les limites

    Hmmmm...

    Si une fonction tend vers + infini, on peut guère dire qu'elle est continue en ce point. Pour qu'elle soit continue, il faut certes que les limites droite et gauche soient égales, mais il faut également qu'elle soit un réel.

    Par exemple la fonction 1/x2 n'est pas continue en 0, même si les limites à droite et à gauche sont identiques.

    L'analogie avec "tracer à la main" est bonne : comment traces tu un point à l'infini ?

  12. #9
    Alezic

    Re : quelques questions sur les limites

    Il faut bien comprendre que la forme b/0 reste une forme indéterminé même si tu peut conclure que celle si tend vers le même infini à gauche et à droite. Pourquoi la limite n'existe pas si elle ne tend pas vers la même valeur à gauche et à droite? La limite est une méthode qui sert à suivre le tracé d'une fonction pour en dèduire la position d'un point (ce qui ne garanti pas que le point est à la limite ou même qu'il existe) or si l'on trouve une réponse différente en suivant le tracé à partir de la gauche que si l'on le suit de la droite il est impossible de déduire logiquement la position de ce point.

  13. #10
    Cassano

    Re : quelques questions sur les limites

    On fait d'ailleurs souvent ce qu'on appelle un prolongement par continuité d'une fonction (c'est a dire qu'on considèere une fonction continue sur un intervalle, même si elle n'est pas définie en un point X0 de cet intervalle, et ce a condition que la limite soit la meme a gauche et a droite en X0, et qu'elle soit finie).

    Comme ca a été di, l'analogie avec le tracé "sans lever le crayon" est bonne. Sinon un peu de logique suffit. Si tu fais ce que j'ai di, un prolongement par continuité, tu peux dire que ta fonction f s'applique en tout point de I, même en X0 (il me semble qu'on la note alors f~). Or quelle est la définition d'une fonction : pour tout x de I, correspond un et un seul point y, appelée image (c'est pour ca que le graphe d'une fonction ne peut pas revenir sur lui-même). A ce moment la, tout devient clair (enfin j'espere ) : si l'image un point X0 est une ordonnée unique, et si tu as deux limites différentes en X0, il est faux et absurde de dire que ta fonction est définie en ce point X0 (puisque la définiton de la fonction même ne s'applique pas...).

  14. #11
    matthias

    Re : quelques questions sur les limites

    Citation Envoyé par Cassano
    Or quelle est la définition d'une fonction : pour tout x de I, correspond un et un seul point y, appelée image
    Ca dépend de ce que tu appelles I. Si c'est l'ensemble de départ alors ta définition est fausse (ce serait en ce cas la définiton d'une application). Si I est l'ensemble de définition de la fonction, alors c'est vrai mais c'est prendre le problème à l'envers (pour savoir ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, il faut déjà savoir ce qu'est une fonction).

    Citation Envoyé par Cassano
    si l'image un point X0 est une ordonnée unique, et si tu as deux limites différentes en X0, il est faux et absurde de dire que ta fonction est définie en ce point X0 (puisque la définiton de la fonction même ne s'applique pas...).
    C'est encore prendre le problème à l'envers à mon avis. C'est la définition de la limite qui lui impose son unicité quand elle existe.
    On peut très bien avoir une fonction qui soit définie en X0 et qui admette une limite à gauche et à droite différentes en X0 (mais elle n'admet alors pas de limite en X0 bien sûr).

  15. #12
    Seirios

    Re : quelques questions sur les limites

    Encore une petite question mais de méthode cette fois ci :
    Pour calculer on me donne la méthode suivante :



    Donc

    Mais je suis arrivé au même résultat mais avec une méthode différente :


    Donc

    La méthode est-elle correcte ?

  16. Publicité
  17. #13
    matthias

    Re : quelques questions sur les limites

    Citation Envoyé par Phys2
    Mais je suis arrivé au même résultat mais avec une méthode différente :


    Donc

    La méthode est-elle correcte ?
    Arghhhhh, non. Tu ne peux rien conclure si tu multiplies un terme qui tend vers 0 par un terme qui tend vers l'infini.
    Si j'utilise ta méthode avec :
    1/x tend vers 0+ en + l'infini.
    tend vers + l'infini.
    Donc tend vers + l'infini.
    Or c'est évidemment faux.

    La bonne méthode est celle qui t'est proposée, à savoir de mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers l'infini au dénominateur et au numérateur (ici x au numérateur et au dénominateur).

    Tu as aussi d'autres méthodes quand tu as des racines carrées, comme l'utilisation de l'expression conjuguée.
    Dernière modification par matthias ; 06/05/2006 à 09h29.

  18. #14
    Cassano

    Re : quelques questions sur les limites

    J'appelais I l'intervalle de définition. ET c'est vrai que dans les deux cas, j'ai un peu pris le problème a l'envers. Pour la deuxième aprtie, je parlais d'une fonction non définie en X0 (dans le cas que tu présente, il n'y aurai pas de limite en effet, même si la fonction est définie).

    Maintenant c'est ma logique perso, j'ai jamaisdis que j'étais pas tordu .

    Je suis pas un matheux, pour moi, les maths ne sont qu'un outil (très) laborieux, où je peine grandement!!

  19. #15
    matthias

    Re : quelques questions sur les limites

    Citation Envoyé par Cassano
    J'appelais I l'intervalle de définition.
    A ceci près que l'ensemble de définition n'est pas nécessairement un intervalle

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