question sur quelques intégrales généralisées

[gdm]

bonjour ,
je fais un exo d'entrainement
j'aimerais savoir quelques précisions!
je dois prouver que l'intégrale I de 0 à + inf de ln (t)/(t²+1) converge
remarquant qu'il y a à première vue 2 singularité en 0 et+ inf ,je les étudies
sauf erreur de ma part je trouve que la fonction f qui à t associe ln(t)/(t²+1)
admet 0 comme limite pour les 2 "singularités "
Plus généralement ,ma question est la suivante ,puis-je affirmer la convergence de l'intégrale si il n'y a aucune singularité ou des fausses singularités? ou dois-je nécéssairement majorer la fonction (dans l'exemple je n'ai pas réussi )?

d'une autre part
pour une intégrale Jk de 0 a +inf de x^k*e^x....(dsl j'ai oublié le latex pendant les vacances)
en premier ,j'ai calculé Jk par récurrence
ensuite on pose un polynôme Q=somme k=0 à n de P^(k)
je dos alors montrer qu'il existe un C tel que e^(-x).Q(x)=C- intégrale de 0 a x de e^(-t).P(t)dt
j'aurais besoin d'une idée pour commencer ,(je pense à l'intégration par partie..mais ..)
cordialement
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[MMu]

1) . Attention gdm , la limite en 0 de n'est pas 0 mais .
Et de toute façon l'absence de "singularité" n'entraine pas la convergence comme on le voit avec .
Dans ton cas il suffit de majorer ... etc

2)Pas clair ton énoncé ! Il semblerait que est un polynôme de degré .
Dans ce cas tu observes que et ensuite ..etc

[gdm]

merci MMu pour l'exemple ,je comprends un peu mieux ,je vais tâcher de faire sa proprement
pour le 2eme énoncé c'est bien un polynôme
de degré " n" :

[MMu]

Mea culpa, je m'aperçoit avoir fait une erreur de rédaction dans la majoration !!
Je corrige donc :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gdm]

est-on obligé de garder le terme en ln(t) à droite ,peut ton directement majorer par l'intégrale de 1/(t²+1)? étant donné que le calcul de cette intégrale ne pose pas de probleme en 0et donc la majoration sera directe!

[gdm]

ah ok c'est aps ce que j'avais pensé ,je me repenche dessus

---merci