Frottement sec sur un cylindre en rotation autour de son axe

[invite58207020]

Bonjour

Le problème dans son ensemble est le suivant: J'ai deux cylindres identiques avec une de leur face "plate" en contact avec le sol. Je leur fournis la même énergie mécanique.

A l'un je lui impose un mouvement rectiligne sans rotation => E = 0.5*m*v²

A l'autre je lui impose une rotation autour de son axe (le cylindre tourne autour de l'axe vertical passant par son centre de masse) sans déplacement rectiligne => E = 0.5*I*w²

Comment savoir lequel va s’arrêter en premier sachant que la dissipation de l'énergie se fait uniquement par la force de frottement sec cinétique (=force de réaction*coefficient de frottement cinétique) ?

Pour celui qui se déplace de façon rectiligne j'ai procédé simplement par :
A l'aide de Newton : m*a = -m*g*mu => je trouve la l'accélération (négative puisque la force de frottement s'oppose au mouvement).
Je trouve la vitesse initiale avec la formule de l'énergie citée plus haut.
Je pose : vitesse initiale + a*t = 0 et donc t = -v/a = -v/(-g*mu) = v/(g*mu)

Ma difficulté se situe pour le temps de celui qui tourne sur lui même. Je trouve évidement la même décélération mais quelle vitesse dois-je prendre pour ce cylindre ? Ca ne fait pas tellement de sens d'appliquer le même raisonnement que pour un déplacement rectiligne.

Est-il en outre possible de calculer le travail de cette force de frottement pour le deuxième cylindre ?
J'imagine qu'il existe un point situé sur la surface du cylindre en contact avec le sol pour lequel le travail de la force de frottement serait égale à F*d avec F la force de frottement cinétique et d la distance parcourue par ce point. Est-ce correct ? Si oui, comment trouver ce point ?

Merci pour votre aide !
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[invitef29758b5]

Salut
La vitesse d' un point du cylindre de rayon R est ω.R

La force de frottement sur une surface ds est : μ.ds , et le moment de cette force μ.r.ds
Traduire en polaire et intégrer sur toute la surface .

[invite58207020]

Salut ! Merci pour ton aide. Peux-tu me confirmer qu'en intégrant j'obtiens bien la somme des moments de forces = dL/dt = I.dw/dt ? A partir de là je peux calculer la décélération angulaire de laquelle je déduis le temps avec l'équation de l'énergie de rotation.
Si je suppose que la masse est repartie linéairement, ne faut t'il pas prendre en compte la force de réaction avec un coefficient linéique comme M.g.ds/S et du coup intégrer : (1/S).M.g.(mu).r^2.d(théta).dr ?

[invitef29758b5]

En intégrant , tu obtiens le moment de frottement .
L' intégrale , c' est bien ça .
En sortant les constantes : μ.m.g/S.∬r².dr.dθ

L' intégrale doit te rappeler quelque chose .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58207020]

Je trouve pour cette intégrale mais elle ne me rappelle rien de particulier. Je constate toutefois par les unités qu'il s'agit bien d'un moment de force.

J'avais d'où je trouve
Par je trouve

J'obtiens donc finalement le temps avec qui correspond bien à un temps mais qui diffère du obtenu pour le mouvement rectiligne

Merci !

[invite58207020]

Erreurs de calculs ...

Je trouve

et donc finalement le temps

On a donc un temps de
pour le cylindre qui tourne sur lui même et
pour le mouvement rectiligne. Les résultats sont très proches. Sont-ils censés être égaux ou est-ce correct d'obtenir cet écart ? Comment l'expliquer ?

[invitef29758b5]

Vérifié vite fait , je trouve pareil .
La différence vient de la répartition non uniforme de l' énergie de frottement dans le cas de la rotation .

[invite58207020]

D'accord, je vais voir si je trouve plus d'informations là dessus. Merci pour ton suivi et ton aide !

[invite58207020]

Je reviens juste sur un détail dans le calcul de l'intégrale pour trouver le moment de force.

L'intégrale était
On a sorti S de l'intégrale car il s'agit d'une constante. Mais cette constante vaut . Ne dois-t-on pas par conséquent la laisser à l'intérieur de l'intégrale ? Cela change en effet la résultat obtenu d'un facteur 3 puisqu'une fois on aura dans un cas et dans l'autre d'où le rapport de 3 de différence.

[invitef29758b5]

Tu mélanges R , limite d' intégration , donc une constante et r la variable que tu intègres de 0 à R

[invite58207020]

Oh merci ! Ca m'apprendra à faire attention aux noms de variable que j'utilise !

Bonnes fêtes !