Problème d'hyperstatisme

[invite8a0aba44]

Bonsoir,

J'ai un projet dans le cadre de mes études. Le projet consiste à faire du rétro-engineering sur Kart 100 cc, mais je coince sur la répartition des forces sur l'arbre de transmission
J'ai fait un schéma primaire pour illustrer le problème. Ou, vue de coté, H est la roue arrière et I la roue avant. Et A la roue de gauche de l'arbre arrière et E la roue de droite.
KART force flexion.jpg
On a une masse total du kart et du pilote d'environ 160 kg soit un poids (P)de 1569.6 N appliqué en G.
J'ai calculé la résultante (FH) du sol sur l'arbre arrière en faisant la somme des moments extèrieur au point I :

∑ Mext en I = 0

FI x (420+630) - P x 630 = 0
soit
FI = P x 630/(420 + 630)
FI = 1569.6 x 630/(420 + 630) = 941.76 N

Le centre de gravité étant au centre du kart sur la Y j'en déduit que FI = 2 x FA = 2 x FE


Maintenant je cherche à calculer les force en B, C et D.
PFS
∑ Fext = 0
/z : FA + FB + FC +FD +FE = 0

∑ Mext en B = 0
/x : - FA x 234 + FC x 520 + FD x (520+92) + FE x (520+92+234) = 0

FA = FE

/x : FA (-234+520+92+234) + FC x 520 + FD x 612 = 0
/x : FA x 612 + FC x 520 + FD x 612 = 0

Et c'est la que je bloque, car j'ai 3 inconnue FB, FC et FD et seulement 2 équations. J'ai donc un problème hyperstatique de niveau 1.
Si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre comment résoudre se problème. Merci d'avance
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[invitecaafce96]

Bonjour,
N'est ce pas normal ? Sans aucun calcul , vous avez une roue de trop , comme les chaises à 4 pieds , cette configurations étant pourtant largement utilisée ...
Seulement , les karts ont une suspension sur les 4 roues , et de plus , une hauteur de caisse réglable par roue , ce qui change totalement le problème .

[Tifoc]

Bonjour,
Manque de rigueur votre étude...
Ce n'est pas FI qui vaut 942 N, mais FH (mais comme vous avez fait une double erreur, ça colle pour FA et FE...)
Déterminer les réaction du sol aux appuis ne pose pas de problème. Mais il faudrait savoir ce qu'il y a en B, C et D pour résoudre ! Des paliers ? Un organe de transmission ? Normal que le poids ait disparu ? Vous êtes à l'arrêt ? Statique ou dynamique ? Ligne droite ou virage ?

[invite8a0aba44]

Bonjour et merci pour vos interventions,

Pour mon étude, je dois démontrer par le calcul que l'arbre de transmission a bien été dimensionné pour résister aux efforts subit durant une course. Pour cela je dois donc faire une étude en dynamique, en ligne droite et en virage. Donc FH varie en fonction de l'accélération du kart.
Je connais les accélérations du kart en verticale, latérale et longitudinale durant un tour appliqué en G.

J'ai enlevé le poids sur le schéma car, comme le montre le schéma suivant, le poids du kart repose sur l'arbre arrière en B,C et D. On a donc FB + FC +FD qui est égale à la répartition arrière du poids soit FB + FC +FD = -FH
kart.jpg


En B , C et en D il y a un roulement à bille, avec un arrêt axial pour B et D.

Il y a une transmission par roue cranté et chaîne représenté en vert au point M, donc un couple exercé sur l'arbre et un effort radial
Il y a un frein à disque représenté en rouge au point J
KART force flexion.jpg

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0b658bd]

Une méthode pour résoudre cet hyperstatisme est de faire l'hypothèse (douteuse et à vérifier) que le chassi peut être considéré comme indéformable.
après tu supprimes un de tes roulements que tu remplace par une force inconnue, tu calcules la déformée de ton axe (paramétrée par cette force inconnue) et tu ajustes cette force pour que la déformée soit nulle au niveau de l'appui que tu as supprimé au début

[Tifoc]

Curieux ce montage...
La pièce de structure dans laquelle est logé le roulement C ne serait pas articulée quelque part ?
En fait la question à se poser avant simplification (éventuelle) est : à quoi sert le roulement C ?
Intuitivement... je n'en tiendrais pas compte . Surtout s'il vous faut "vérifier" le dimensionnement de l'arbre : si ça tient sans C, ça tient avec !

[invite8a0aba44]

Je me suis posé cette question sur l'utilité de C, étant donné que le point B et D sont à égale distance du centre de gravité.
Mais je me dit aussi que si il est là c'est qu'il y a une raison non ?

[invitee0b658bd]

les montages hyperstatiques sont quand même dans la pratique très courants (toutes les chaises et les tables auraient 3 pieds sinon et le kart serait à 3 roues)
Je vous invite à faire le calcul de l'ensemble avec toutes les forces (celles exercées sur le disque de frein et sur le pignon de transmission)
La methode que j'ai proposée est un grand classique ou on se contente d'appliquer le theoreme de superposition
aprés c'est c'est votre travail, pas le mien.

[invite8a0aba44]

Merci verdifre pour votre aide, je n'ai pas vu ce qu'est le théorème de superposition, mais en cherchant sur internet j'ai trouvé des cours.
Si j'ai bien compris

On dit que A = A1 +A2 + A3 et E = E1 + E2 + E3
On pose
A1 = E1 – B E1 = A1 - B
A2 = E2 – C E2 = A2 - C
A3 = E3 – D E3 = A3 – D
Donc
A = E1 – B +E2 – C +E3 – D
E = A1 – B + A2 – C + A3 -D

Suis je sur la bonne voie ?

[invite8a0aba44]

J'ai fait une erreur de signe

On pose
A1 = - E1 + B E1 = - A1 + B
A2 = - E2 + C E2 = - A2 + C
A3 = - E3 + D E3 = - A3 + D
Donc
A = - E1 + B - E2 + C - E3 + D
E = - A1 + B - A2 + C - A3 + D

[invitee0b658bd]

le theoreme de superposition dit en substance:
si on a la même poutre qui est soumise à 2 chargements différents, la deformée de la poutre soumise aux deux chargements simultanés sera la somme des deformées dues aux deux chargements initiaux.
l'usage pratique de ce theoreme dans le cas qui nous interesse est le suivant.
1) on calcule la deformée de la poutre en supprimant un des appuis qui nous embête (on se retrouve donc dans un cas isostatique que l'on sait normalement calculer)
2) on repere la deformée au niveau du point d'appui (ou du roulement) que l'on a supprimé
3)on reprend encore la même poutre (ou axe dans notre cas) sans aucune charge et on lui applique au point ou on a supprimé l'appui une force telle que la deformées en ce point soit l'opposée de ce que l'on a trouvé en (2) on determine les reactions aux deux autres appuis que l'on a conservé
4) on fait la somme des deux cas de chargement, la résolution est terminée
on obtient alors
a) les reactions aux 3 appuis
b) les diagrammes d'efforts tranchants et flechissants sur toute la poutre
c) la deformée de la poutre

donc tout le necessaire pour dimensionner l'axe soit au niveau des contraintes soit au niveau de la deformation

[invitee0b658bd]

une methode pratique pour calculer tout cela est de passer par les torseurs, est ce une methode que vous connaissez ?

[invite8a0aba44]

Oui je connais les torseurs, je vais essayer de mettre en application vos conseil. Merci à vous

[invite8a0aba44]

Bonjour,



1) J'ai décidé de supprimer l'appui C pour calculer la déformé au point C

J'ai donc pour la suite

Zone A1 B 0<y<234

Mfx(y) = A1*y
la déformé est donc de Z''(y) = YA1*y/E*IGx ;

Z'(y)= YA1*y²/2*E*IGx + C1 ; en y=0, Z'(0)=0 donc C1=0

Z(y)= YA1*y^3/6*E*IGx + C2; en y=0, Z(0)=0 donc C2=0

Zone B D 234<y<846

Mfx(y) = (ZA1 - ZB)*y + ZB*234
ZA1 = ZB
Donc Mfx(y) = ZB*234

Calcul de déformé

Z''(y) = Mfx(y)/E*IGx

= ZB*234/E*IGx

Z'(y) = ZB*234*y/E*IGx + K1

Calcul de K1

en B soit en y=234, dans la zone A1B Z'(234) est égale à Z'(y) de la zone BD.

soit K1 = - ZB * 234² / 2*E*IGx

Donc

Z(y) = (ZB*234*y²/2*E*IGx) + K1*y+ K2

Calcul de K2

en B soit en y=234, la déformé de la zone A1B est égale à la déformé de la zone BD.

K2= (-ZB*234^3/3*E*IGx) - K1*234

2) La déformé en C est donc Z(754) = ZB*( (234*754²*3 - 234²*754*3 - 5*234^3)/6*E*IGx)

3) Calcul de ZC

Dans le second système

Mfx(y) = YA2*y avec YA2= (YC*326)/1080
Mfx(y) = (YC*326*y)/1080

Z''(y) = (YC*326*y)/1080*E*IGx
Z'(y) = (YC*326*y²)/1080*2*E*IGx + Q1
En y=0 Z'(o) = 0 donc Q1 = 0

Z(y) = (YC*326*y^3)/1080*6*E*IGx + Q2
En y=0 Z(o) = 0 donc Q2 = 0


On pose Z(754) de la zone BD égale à -Z(754)de la zone A2C
ZB * ((234*754²*3/6*E*IGx) -(234²*754*3/6*E*IGx) - (5*234^3/6*E*IGx)) =-(YC*326*754^3)/1080*6*E*IGx

et au final avec un diamètre d'arbre de 25 mm et un module de young de 210 000 MPa
IGx= 19174.76 mm^4
je trouve ZC = -1.2866 ZB

Et donc en faisant la somme des deux cas de chargement
ZA + ZB +ZC +ZD +ZE = 0
- 846*ZA +ZB*612 + ZC*92 + 234*E = 0

ZB*612 - 1.2866 ZB = -846*ZA -234*ZE
ZA = ZE
ZB*612 + 1.2866 ZB = -612*ZA
ZB = -612*ZA/(612-1.2866)
ZA = 470.88
ZB = -471.87
ZC = -6.58
ZD = -463.31


Il y a une erreur car, lorsque que je calcul le PFS je ne trouve pas = 0. ai je fais une erreur dans la méthode ou est ce dû à un arrondi.

[Tifoc]

Z(y)= YA1*y^3/6*E*IGx + C2; en y=0, Z(0)=0 donc C2=0

manque C1.y

J'ai lu la suite en diagonale : vous gagneriez à considérer la symétrie...

[Tifoc]

... et puis les appuis sont en B et D (c'est là que vous cherchez les efforts). Et donc C2 n'est pas nul.

[invitee0b658bd]

Bonsoir,
Il manque les efforts dus à la transmission et au frein afin d'être dans un cas un peu réaliste. (efforts vraisemblablements importants dans le dimensionnement) Vous faites implicitement l'hypothese qui me semble fausse de dire que le chassi reste // au sol
Si votre repere pour l'etude est bien fixé sur l'axe, vous ne pouvez en aucun cas affirmer à priori que Z(a) et Z(e) sont nuls

[invite8a0aba44]

Bonjour,



Je connais seulement les accélérations ( longitudinale, latérale et verticale) en fonction du temps (t)

Calcul de FH, le centre de gravité et à 20 cm du sol

∑Mext en I = 0
FH*420 - P*630 - FAvert*630 - FAlong*200 = 0

P = 160*9.81 = 1569.6 N

∑fext = M* accélération

Donc FAvert = M* accélération vertical ( notons la [Gvert])
FAlong = M* accélération longitudinale ( notons la [Glong])

Soit

FH= (P*630 + M*[Gvert]*630 + M*[Glong]*200)/420

Le centre gravité étant au centre des deux roues arrières FA = FE = FH/2 tant que l'accélération latérale est nulle

Soit ∑Mext en E = 0

-FA*1080 + FH*540 - FAlat*200 = 0
FAlat = M* accélération latérale ( notons la [Glat])


(-FA*1080 + FH*540 - M*[Glat]*200)/1080 =FA
FA = (-FA*1080 + FH*540 - M*[Glat]*200)/1080

Voila pour ce qui est des forces sur l'arbre arrière

FE = FH - FA

[invite8a0aba44]

En revanche pour ce qui est du calcul de C1 et C2 je ne vois pas comment faire.